全國初中數(shù)學(xué)競賽二次函數(shù)問題

1、全國初中數(shù)學(xué)競賽二次函數(shù)歷屆考題11（2008）、已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,2），且對于任意實(shí)數(shù)x的同一個值，這三個函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，都有成立？若存在，求出函數(shù)的解析式；若不存在，請說明理由。解：存在滿足條件的二次函數(shù)。因?yàn)椋?，?dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時，均成立。由已知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,2），得25當(dāng)時，有，由于對于自變量取任實(shí)數(shù)時，均成立，所以有22，故由，得，所以5分當(dāng)時，有，即所以，二次函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以當(dāng)時，有，即，所以，二次函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以綜上，所以，存在二次函數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

2、，對于x的同一個值，都有成立。15分11（2009）函數(shù)的圖象與軸的兩個交點(diǎn)是否都在直線的右側(cè)？若是，請說明理由；若不一定是，請求出兩個交點(diǎn)都在直線的右側(cè)時k的取值范圍解：不一定，例如，當(dāng)k0時，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（0，0）和（1，0），不都在直線的右側(cè) 5分設(shè)函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件 10分時，拋物線與軸的兩交點(diǎn)都在直線的右側(cè)由 解之，得 15分所以當(dāng)時，拋物線與軸的兩交點(diǎn)在直線的右側(cè) 20分12（2010）如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k

3、的值；（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線ACx軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足EOCAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).（第12題）解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有 解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t（舍去）所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以 解得 （10分）（2）如圖，因?yàn)锳Cx軸，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.（第12題）設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)镃ODBOD，所以COB=.（i）將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得

4、到.這時，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長到點(diǎn)，使得=，這時點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作關(guān)于x軸的對稱圖形，得到點(diǎn)（1，）；延長到點(diǎn)，使得，這時點(diǎn)E（2，）是符合條件的點(diǎn)所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）. （20分）13（2011）點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，過點(diǎn)任作直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求證：=；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），且=60，試求所有滿足條件的直線的函數(shù)解析式. 解：（1）如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），則點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）.設(shè)直線的函數(shù)解析式為,并設(shè)的坐標(biāo)分別為 ,.由（第13題）得 ，于是 ，即 . 于是 又因?yàn)椋? 因?yàn)?，所以?故=.（2） 設(shè)，不妨設(shè)0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因?yàn)?，所?于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 將代入，得到點(diǎn)的坐標(biāo)（，）. 再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求得 所以直線的函數(shù)解析式為.11（2007）、已知拋物線C1：和拋物線C2：相交于A，B兩點(diǎn)。點(diǎn)P在拋物線C1上，且位于點(diǎn)