正態(tài)分布示范教案

1、.2.4 正態(tài)分布（ 1）教材分析正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)中是一種很重要的分布.一般說(shuō)來(lái)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布. 我們知道，離散型隨機(jī)變量最多取可列個(gè)不同值，它等于某一特定實(shí)數(shù)的概率可能大于0 ，人們感興趣的是它取某些特定值的概率，即感興趣的是其分布列；連續(xù)型隨機(jī)變量可能取某個(gè)區(qū)間上的任何值，它等于任何一個(gè)實(shí)數(shù)的概率都為0，所以通常感興趣的是它落在某個(gè)區(qū)間的概率. 離散型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用分布列描述，而連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律用密度函數(shù)（曲線）描述. 要求同學(xué)們學(xué)會(huì)從離散到連續(xù)用函數(shù)的觀點(diǎn)解決問(wèn)題.課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用 2

2、課時(shí)的時(shí)間完成，第一課時(shí)主要講解正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).3原則放在了第二課時(shí).教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn) :正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及其所表示的意義.難點(diǎn)：了解在實(shí)際中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，并掌握正態(tài)分布曲線所表示的意義知識(shí)點(diǎn)：通過(guò)正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).能力點(diǎn)：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解.教育點(diǎn)：通過(guò)教學(xué)中一系列的探究過(guò)程使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識(shí)和科學(xué)精神 .自主探究點(diǎn)： 講授法與引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法通過(guò)教師先講， 師生再共同探究的方式，讓學(xué)生深刻理解相關(guān)概念，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成.考試點(diǎn)：通過(guò)正態(tài)分布的圖形特征

3、，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).易錯(cuò)易混點(diǎn)：求系數(shù)最大項(xiàng)時(shí)的約分化簡(jiǎn).拓展點(diǎn)：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法.教具準(zhǔn)備電子白板，多媒體，高爾頓試驗(yàn)板課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、創(chuàng)設(shè)情境學(xué)生上臺(tái)演示高爾頓板試驗(yàn)?zāi)M高爾頓板試驗(yàn)截圖師生活動(dòng)：創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備學(xué)生感悟體驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行定向思考學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察小球在槽中的堆積形狀發(fā)現(xiàn)：下落的小球在槽中的分布是有規(guī)律的【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生演示試驗(yàn)，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣讓學(xué)生體驗(yàn)“正態(tài)分布.曲線“的生成和發(fā)現(xiàn)歷程二、探究新知1用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律將球槽編號(hào)，算出各個(gè)球槽內(nèi)的小球個(gè)數(shù)，作出頻率分布表以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo)，以小球落入各個(gè)球槽內(nèi)

4、的頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)，畫出頻率分布直方圖 . 連接各個(gè)長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)得到頻率分布折線圖（如圖1）圖1圖2師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生思考回顧，教師通過(guò)課件演示作圖過(guò)程在這里引導(dǎo)學(xué)生回憶得到，此處的縱坐標(biāo)為頻率除以組距教師提出問(wèn)題：這里每個(gè)長(zhǎng)方形的面積的含義是什么？學(xué)生經(jīng)過(guò)回憶，易得：長(zhǎng)方形面積代表相應(yīng)區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的頻率【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)把與新內(nèi)容有關(guān)的舊知識(shí)抽出來(lái)作為新知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)” ，為引入新知搭橋鋪路，形成正遷移通過(guò)這里的思考回憶，加深對(duì)頻率分布直方圖的理解隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，折線圖就越來(lái)越接近于一條光滑的曲線（如圖2）2x,x1e 22從描述曲線形狀的角度自然引入了正態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式：2,

5、x,師生活動(dòng)：分析表達(dá)式特點(diǎn)：解析式中前有一個(gè)系數(shù)1，后面是一個(gè)以e 為底數(shù)的指數(shù)形式，冪2( x)2和 e ，還含有兩個(gè)參數(shù)指數(shù)為22，解析式中含兩個(gè)常數(shù)和，分別指總體隨機(jī)變量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，可用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)【設(shè)計(jì)意圖】 該處在學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)了正態(tài)曲線之后才給出曲線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，這樣處理能更直觀，學(xué)生更易理解正態(tài)曲線的來(lái)源2繼續(xù)探究：當(dāng)我們?nèi)サ舾郀栴D板試驗(yàn)最下邊的球槽，并沿其底部建立一個(gè)水平坐標(biāo)軸，其刻度單位為球槽的寬度，用X 表示落下的小球第一次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo)提出問(wèn)題：圖3 中陰影部分面積有什么意義？圖 3P a X bb, x dxa師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生得

6、到：此時(shí)小球與底部接觸時(shí)的坐標(biāo)X 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量啟發(fā)學(xué)生回憶：頻率分布直方圖中面積對(duì)應(yīng)頻率，不難理解，圖中陰影部分的面積，就可以看成多個(gè)矩形面積的和，也就是 X 落在區(qū)間 (a,b 的頻率；再結(jié)合定積分的意義, 陰影部分面積就是正態(tài)密度函數(shù)在該區(qū)間上的積分值，這樣，概率與積分間就建立了一個(gè)等量關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過(guò)渡通過(guò)設(shè)疑，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的.深入思考，加深對(duì)定積分幾何意義的理解直接問(wèn)X 落在區(qū)間 ( a,b 上的概率，學(xué)生不容易反應(yīng)過(guò)來(lái)，改為問(wèn)面積的意義后，便于學(xué)生理解該問(wèn)題在前面分析的基礎(chǔ)上，引出正態(tài)分布概念：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a b

7、 ，隨機(jī)變量 X 滿足： P a Xbbx dx ，則稱 X 的分布為a,正態(tài)分布，常記作 N ,2如果隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則記作X N,2 師生活動(dòng)：教師在前面分析的基礎(chǔ)上引出正態(tài)分布的概念，并說(shuō)明記法引導(dǎo)學(xué)生分析得，X 所落區(qū)間的端點(diǎn)能否取值，均不影響X 落在該區(qū)間內(nèi)的概率【設(shè)計(jì)意圖】 以舊引新，雖概念較抽象，但這樣處理學(xué)生不會(huì)覺(jué)得太突兀，易于接受新知識(shí)同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生把前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行思維的習(xí)慣請(qǐng)學(xué)生結(jié)合高爾頓板試驗(yàn)討論提出的問(wèn)題，嘗試歸納服從或近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量所具有的特征：1小球落下的位置是隨機(jī)的嗎？2若沒(méi)有上部的小木塊，小球會(huì)落在哪里？是什么影響了小球落下的位置？3

8、前一個(gè)小球?qū)ο乱粋€(gè)小球落下的位置有影響嗎？哪個(gè)小球?qū)Y(jié)果的影響大？4你能事先確定某個(gè)小球下落時(shí)會(huì)與哪些小木塊發(fā)生碰撞嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出問(wèn)題的結(jié)果：1它是隨機(jī)的2豎直落下受眾多次碰撞的影響3互不相干、不分主次4不能，具有偶然性然后歸納出特征：一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布教師列舉實(shí)例分析，幫助學(xué)生更加透徹的理解【設(shè)計(jì)意圖】 “什么樣的隨機(jī)變量服從（或近似服從）正態(tài)分布？”是本節(jié)課的難點(diǎn)，采用問(wèn)題串的方式，將復(fù)雜的問(wèn)題分解成幾個(gè)容易解決的問(wèn)題，能有效突破難點(diǎn)同時(shí)采用小組討論的形式，加強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)他

9、們的辯證觀通過(guò)舉例， 讓學(xué)生體會(huì)到生活中處處有正態(tài)分布，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用教師通過(guò)計(jì)算機(jī)繪出兩組圖像（動(dòng)畫），讓學(xué)生觀察：第一組：固定的值，取三個(gè)不同的數(shù)（如圖4）；第二組：固定的值，取三個(gè)不同的數(shù)（如圖5）；圖 4圖 5師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察并結(jié)合參數(shù)與的意義可得：當(dāng)一定時(shí)，曲線隨的變化而沿x 平移；當(dāng)一定時(shí)，影響了曲線的形狀即：越小，則曲線越瘦高，表示總體分布越集中；越大，則曲線越矮胖，表示總體分布越分散【設(shè)計(jì)意圖】 針對(duì)解析式中含有兩個(gè)參數(shù)，學(xué)生較難獨(dú)立分析參數(shù)對(duì)曲線的影響，這里通過(guò)固定一個(gè)參數(shù)，討論另一個(gè)參數(shù)對(duì)圖象的影響，這樣的處理大大降低了難度，并能很好地突出重點(diǎn).三、理解新知圖

10、6引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合三幅圖像（如圖6）及高爾頓板試驗(yàn)，根據(jù)問(wèn)題歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在 x 軸的上方，與x 軸不相交；曲線是單峰的，圖像關(guān)于直線x對(duì)稱；曲線在 x處達(dá)峰值1；2曲線與 x 軸之間的面積為1；x 軸平移 , 故 稱為位置參數(shù)；若 固定 ,隨值的變化而沿當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形狀由確定 .越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，故稱為形狀參數(shù) .師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系三幅圖像（如圖6），結(jié)合高爾頓板試驗(yàn)思考以下問(wèn)題：曲線在坐標(biāo)平面的什么位置？曲線為什么與x 軸不相交？曲線有沒(méi)有對(duì)稱軸？曲線有沒(méi)有最高點(diǎn)？坐標(biāo)是？曲線與 x 軸圍成的面積是多少？

11、曲線的位置與參數(shù)有什么關(guān)系？曲線的形狀與參數(shù)有什么關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】 該環(huán)節(jié)借助計(jì)算機(jī)模擬及高爾頓板試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)了教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容，能很好地鍛煉學(xué)生觀察歸納的能力，體現(xiàn)了歸納分類、化難為易、數(shù)形結(jié)合的思想四、運(yùn)用新知例 1. 下列函數(shù)是正態(tài)密度函數(shù)的是（B ）1( x) 2A.f ( x)e 2221( x1)2C.f ( x)e4222x2, , (0)都是實(shí)數(shù) ；B.f (x)e 2 ；21x2；D.f ( x)e 22師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察解析式的結(jié)構(gòu)特征可知只有B 選項(xiàng)符合正態(tài)密度函數(shù)解析式的特點(diǎn)x2例 2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的函數(shù)為f ( x)1 e 2 , x( , ).2

12、證明 f (x) 是偶函數(shù)；求f (x) 的最大值；利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明f (x) 的增減性師生活動(dòng)：學(xué)生結(jié)合函數(shù)知識(shí)自行解決問(wèn)題【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)這一題主要為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正態(tài)密度函數(shù)的理解.例 3.把一條正態(tài)曲線 a 沿橫軸向右平移 2 個(gè)單位 , 得到一條新的曲線 b 下列說(shuō)法中不正確的是( D )A . 曲線 b 仍然是正態(tài)曲線B .曲線 a 和曲線 b 的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同C .以曲線 b 為概率密度曲線的總體的均值比以曲線a 為概率密度曲線的總體的均值大2 D .以曲線 b 為概率密度曲線的總體的方差比以曲線a 為概率密度曲線的總體的方差大2 師生活動(dòng)：學(xué)生易分析知：正態(tài)曲線a 經(jīng)過(guò)

13、平移仍是正態(tài)曲線，峰值不變. 而曲線的左右平移與即均值有關(guān)故 D 選項(xiàng)的說(shuō)法不正確【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)該例，深化學(xué)生對(duì)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)與 的理解例 4.某校某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X 服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖7：圖 7寫出 X 的正態(tài)密度函數(shù)；若參加考試的共 1200人（滿分 100分），你能估計(jì)及格人數(shù)嗎？8 ，代入正態(tài)曲線表達(dá)式可得：師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)觀察圖像，可知對(duì)稱軸60 ，根據(jù)峰值可知,x1ex 60 2；第二問(wèn)根據(jù)圖像利用對(duì)稱性知及格人數(shù)占總參考人數(shù)一半12882【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)一個(gè)貼近生活的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知

14、識(shí)解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想練習(xí)：判斷正誤：正態(tài)密度曲線y, ( x) 關(guān)于直線 x 0對(duì)稱（ ）正態(tài)總體 N (3 4) 的標(biāo)準(zhǔn)差為 4 （ ）正態(tài)分布隨機(jī)變量等于一個(gè)特定實(shí)數(shù)的概率為0 （ ）若 X N (32 ) ，則 P( X 3)1 （ ）3【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)一組判斷題，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)正態(tài)分布的認(rèn)識(shí)五、課堂小結(jié)1. 知識(shí)歸納：正態(tài)密度曲線正態(tài)分布的意義正態(tài)密度曲線特點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)例圖6參數(shù)對(duì)正態(tài)曲線的影響2. 思想方法：數(shù)形結(jié)合思想師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容和思想方法兩方面進(jìn)行課堂小結(jié)最后教師說(shuō)明: 正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中, 我們研

15、究它主要還是希望它能服務(wù)于我們的生活, 那么它在實(shí)際中究竟有著怎樣的妙用呢?我們下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)!【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小結(jié)使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí), 同時(shí)使學(xué)生自己內(nèi)化知識(shí)，查漏補(bǔ)缺 , 使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上達(dá)到一個(gè)新的高度.（為了更好地突出本節(jié)課重點(diǎn)，同時(shí)更好地突破難點(diǎn)，考慮到本節(jié)課的課堂容量及學(xué)生的認(rèn)知情況，3 原則放在了第二課時(shí) ）六、布置作業(yè)1.（必做題）設(shè)隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布 N (2 9) ，若 P( X c 1) P( Xc 1) , 求 c 的值并寫出其正態(tài)密度函數(shù)解析式2.（必做題）以學(xué)習(xí)小組（4 人）為單位，搜集某項(xiàng)數(shù)據(jù)資料（如某年級(jí)學(xué)生的身高、體重等）仿照課本的方法，研究該數(shù)據(jù)是否服從（或近似服從）正態(tài)分布？如果是，請(qǐng)估計(jì)參數(shù)的值3. （選做題）在高爾頓板試驗(yàn)中，為什么落在中間球槽的小球最多？七、教后反思1. 數(shù)學(xué)知識(shí)間存在著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，本教案的亮點(diǎn)是充分注意了新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣有助于學(xué)生理解記憶前后所學(xué)知識(shí)，并將其融會(huì)貫通，從而更好地加以運(yùn)用2. 本節(jié)課的弱項(xiàng)是應(yīng)用課件進(jìn)展速度太快，學(xué)生思維節(jié)奏有點(diǎn)趕不上思維進(jìn)程.八、板書設(shè)計(jì)正態(tài)分布1、正態(tài)密度函數(shù), ( x)1e22、正態(tài)分布3、正態(tài)曲線的特點(diǎn)：( x)2(1)曲線在 x 軸上