2 3常用的離散分布

1、2.3 常用的離散型分布一、分布如果隨量X即則稱隨量X 服從此時(shí)處的分布.*二、兩點(diǎn)分布如果隨量X 只取兩個(gè)值其中 則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布.此時(shí)當(dāng)時(shí)，即為01分布.此時(shí) 也稱X是參數(shù)為p的伯努利隨 量.三、離散均勻分布數(shù)如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)具有離散均勻分布.四、二項(xiàng)分布設(shè)在一次試驗(yàn)中, 只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果或可形象地把這兩個(gè)對(duì)立:結(jié)果叫作“成功和“失敗重復(fù)進(jìn)行 次獨(dú)立試驗(yàn),(“重”復(fù)”指各 次試驗(yàn)”的條件相同, “獨(dú)立”指各次試驗(yàn)的結(jié)互不影響) 每一果次試驗(yàn),成功的概率都是失敗的概率都是這樣的 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 稱作 重貝努里 試驗(yàn), 簡(jiǎn) 稱貝努里試驗(yàn) 或 貝努里概型. 用 表示 n重貝努里

2、試驗(yàn)中A(成功)出現(xiàn)的次數(shù), 可能取值: 設(shè) 表 示 第 次 發(fā) 生 A 設(shè) 表 示 第 次 發(fā) 生A 即量隨稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布,記為當(dāng)n=1時(shí), 二項(xiàng)分布即是參數(shù)為p的01分布.可以證明，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差 分別為可以證明，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差 分別為例已知隨量 求解 例 設(shè) 且求解例 在四舍五入時(shí),每個(gè)加數(shù)的取整誤差服從 上的均勻分布,今有n個(gè)加數(shù),計(jì)算它們中至少有3個(gè)的絕對(duì)誤差小于 的概率.每個(gè)加數(shù)的絕對(duì)誤差小于的概率為:解 設(shè) 表示一個(gè)加數(shù)的取整誤差設(shè) 為n個(gè)加數(shù)中絕對(duì)誤差小于0.3的個(gè)數(shù). 的可能取值為設(shè) 表示一個(gè)加數(shù)的取整誤差設(shè) 為n個(gè)加數(shù)中絕對(duì)誤差小于0.3的個(gè)數(shù).

3、至少有3個(gè)加數(shù)的絕對(duì)誤差小 于 的 概 率 為:1) n個(gè)加數(shù)2) 每個(gè)加數(shù)的絕對(duì)誤差或者小于 的概3) 每個(gè)加數(shù)的絕對(duì)誤差小于于4) 各加數(shù)的絕對(duì)誤差是否小或 者 率都是互不影響.五、幾何分布一般地,假定一個(gè)試驗(yàn)成功的概率是 不斷地重復(fù)試驗(yàn),直到首次成功為止,且各次試驗(yàn)的結(jié)果是獨(dú)立的.令 表示試驗(yàn)的次數(shù). 可能取的值是: 設(shè) 表示“第 次成功” 其中 服從 參數(shù)為 的幾何分布.幾何分布：其中其中幾何分布有性質(zhì)：對(duì)任意自然數(shù)m，n，有證稱為無記憶性，是幾何分布的特征性質(zhì).六、超幾何分布例 一個(gè)池塘中有1000條魚,其中有600條草魚, 400條鰱魚,從池中任意撈100條魚,求這100條魚中草魚

4、的數(shù)量的概率分布.條草魚條鰱魚解設(shè) 表示撈出的100條魚中草魚的數(shù)量. 的可能取值為例 一個(gè)池塘中有1000條魚,其中有80條草魚,920條鰱魚,從池中任意撈100條魚,求這100條魚中草魚的數(shù)量的概率分布.條草魚條鰱魚解設(shè) 表示撈出的100條魚中草魚的數(shù)量. 的可能取值為規(guī)定即當(dāng)k 80時(shí), 例 一個(gè)池塘中有1000條魚,其中有930條草魚, 70條鰱魚, 從池中任意撈100條魚,求這100條魚中草魚的數(shù)量的概率分布.條草魚條鰱魚解設(shè) 表示撈出的100條魚中草魚的數(shù)量. 的可能取值為規(guī)定 即當(dāng)j 70時(shí),然數(shù)定義對(duì)給定的自以及如果這里約定, 當(dāng)時(shí),共 個(gè) 則稱服從超幾何分布.個(gè)個(gè)個(gè)可以證明,

5、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為設(shè)袋中有 個(gè)紅球,個(gè)黑球,從中取 次, 每次取一個(gè)球,(1) 無返回 服從超幾何分布.表示取到的紅球個(gè)數(shù).共 個(gè) (2) 有返回 服從二項(xiàng)分布.當(dāng) 很大時(shí), 無返回接近于有返回, 故超幾何分布接近于二項(xiàng)分布.1) 次摸取2) 每次或取到紅球或取到黑球.3) 每次取到紅球的概率都是4) 各次摸取互不影響(1) 無返回(2) 有返回共 個(gè) 對(duì)于固定的當(dāng)且P55 (2.57)其中當(dāng) 很大時(shí),無返回接近于有返回,故超幾何分布接近于二項(xiàng)分布.例 一大批種子的發(fā)芽率為 從中任取10粒,求播種后(1)恰有8粒發(fā)芽的概率;(2)不少于8粒發(fā)芽的概率.解設(shè)10粒種子N粒七、泊松分

6、布定義 設(shè)隨量 可能取的值為且取這些值的概率為其中為常數(shù),則稱 服從參數(shù)為的泊松分布, 記為由 滿足歸一性.：泊松分布用同樣的方法可求得泊松分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別為例書籍中每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤 服從泊松分布, 有一個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)與有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同, 求任意檢驗(yàn)4頁(yè),每頁(yè)上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率.有一個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)總頁(yè)數(shù)解設(shè)任一頁(yè)上有個(gè)印刷錯(cuò)誤. 有兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)總頁(yè)數(shù)任取4頁(yè),設(shè)表示 “第 頁(yè)上沒有印刷錯(cuò)誤” 為一頁(yè)上沒有印刷錯(cuò)誤的概率.定理2.4 (泊松定理) 在 重貝努利試驗(yàn)中,A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為（與試驗(yàn)的次數(shù)n，有關(guān)）如果時(shí)則對(duì)任意k有（ 0，為常數(shù) ) 根據(jù)此定理,若充分大,充分小,則X近似服從參數(shù)為的泊松分布.即例 一臺(tái)電子儀器由1000個(gè)元件組成,每個(gè)元件在一年的工作時(shí)間內(nèi) 發(fā)生故障的概率為 并且元件之間互不影響,求在一年內(nèi): 1) 有2個(gè)元件發(fā)生故障的概率. 2) 有不少于2個(gè)元件發(fā)生故障的概率.解 設(shè) 表示1000個(gè)元件中在一年的工作時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障 的元件數(shù).1) 1000個(gè)元件2) 每個(gè)元件或發(fā)生故障或不發(fā)生故障.3) 每個(gè)元件發(fā)生故障的概率都是4) 是否發(fā)生故障互不影響P267例 一袋種子約 粒, 設(shè)種