[歷年真題]2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）已知集合A=1,2,3,B=2,3,則（）AA=BBAB=CABDBA2（5分）在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=（）A1B0C1D63（5分）重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A19B20C21.5D234（5分）“x1”是“（x+2）0”的（）A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件5（5分）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD6（5分）若非

2、零向量,滿足|=|,且（）（3+2）,則與的夾角為（）ABCD7（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出k的值為8,則判斷框圖可填入的條件是（）AsBsCsDs8（5分）已知直線x+ay1=0是圓C:x2+y24x2y+1=0的對(duì)稱軸,過點(diǎn)A（4,a）作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=（）A2B6C4D29（5分）若tan=2tan,則=（）A1B2C3D410（5分）設(shè)雙曲線=1（a0,b0）的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A（1,0）（0,

3、1）B（,1）（1,+）C（,0）（0,）D（,）（,+）二、填空題:本大題共3小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.11（5分）設(shè)復(fù)數(shù)a+bi（a,bR）的模為,則（a+bi）（abi）=12（5分）的展開式中x8的系數(shù)是（用數(shù)字作答）13（5分）在ABC中,B=120,AB=,A的角平分線AD=,則AC=三、考生注意:（14）、（15）、（16）三題為選做題,請(qǐng)從中任選兩題作答,若三題全做,則按前兩題給分14（5分）如題圖,圓O的弦AB,CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1,則BE=

4、15（5分）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為,則直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為16若函數(shù)f（x）=|x+1|+2|xa|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=四、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（13分）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個(gè)（）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；（）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望18（13分）已知函數(shù)f（x）=sin（x）sinxcos2x（I）求f（x

5、）的最小正周期和最大值；（II）討論f（x）在,上的單調(diào)性19（13分）如題圖,三棱錐PABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=D,E分別為線段AB,BC上的點(diǎn),且CD=DE=,CE=2EB=2（）證明:DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值20（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1）處的切線方程；（）若f（x）在3,+）上為減函數(shù),求a的取值范圍21（12分）如題圖,橢圓=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQPF1（）若|PF1|=2+|=2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

6、；（）若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e22（12分）在數(shù)列an中,a1=3,an+1an+an+1+an2=0（nN+）（）若=0,=2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）若=（k0N+,k02）,=1,證明:2+2+2015年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）（2015重慶）已知集合A=1,2,3,B=2,3,則（）AA=BBAB=CABDBA【分析】直接利用集合的運(yùn)算法則求解即可【解答】解:集合A=1,2,3,B=2,3,可得AB,AB=2,3,BA,所以D正確故選:

7、D【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的基本運(yùn)算,基本知識(shí)的考查2（5分）（2015重慶）在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a6=（）A1B0C1D6【分析】直接利用等差中項(xiàng)求解即可【解答】解:在等差數(shù)列an中,若a2=4,a4=2,則a4=（a2+a6）=2,解得a6=0故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差中項(xiàng)個(gè)數(shù)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力3（5分）（2015重慶）重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A19B20C21.5D23【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可【解答】解:樣本數(shù)據(jù)有12個(gè),位于中間的兩個(gè)數(shù)為20,20,則中位數(shù)為,故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考

8、查莖葉圖的應(yīng)用,根據(jù)中位數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)4（5分）（2015重慶）“x1”是“（x+2）0”的（）A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件【分析】解“（x+2）0”,求出其充要條件,再和x1比較,從而求出答案【解答】解:由“（x+2）0”得:x+21,解得:x1,故“x1”是“（x+2）0”的充分不必要條件,故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題考察了充分必要條件,考察對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題5（5分）（2015重慶）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD【分析】判斷三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的形狀,利用三視圖的數(shù)據(jù),求解幾何體的體積即可【解答】解:由三

9、視圖可知,幾何體是組合體,左側(cè)是三棱錐,底面是等腰三角形,腰長為,高為1,一個(gè)側(cè)面與底面垂直,并且垂直底面三角形的斜邊,右側(cè)是半圓柱,底面半徑為1,高為2,所求幾何體的體積為:=故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系,組合體的體積的求法,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵6（5分）（2015重慶）若非零向量,滿足|=|,且（）（3+2）,則與的夾角為（）ABCD【分析】根據(jù)向量垂直的等價(jià)條件以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行求解即可【解答】解:（）（3+2）,（）（3+2）=0,即3222=0,即=3222=2,cos,=,即,=,故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量夾角的求解,利用向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量

10、垂直的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵7（5分）（2015重慶）執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出k的值為8,則判斷框圖可填入的條件是（）AsBsCsDs【分析】模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的k,S的值,當(dāng)S時(shí),退出循環(huán),輸出k的值為8,故判斷框圖可填入的條件是S【解答】解:模擬執(zhí)行程序框圖,k的值依次為0,2,4,6,8,因此S=（此時(shí)k=6）,因此可填:S故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,根據(jù)框圖的流程判斷程序運(yùn)行的S值是解題的關(guān)鍵8（5分）（2015重慶）已知直線x+ay1=0是圓C:x2+y24x2y+1=0的對(duì)稱軸,過點(diǎn)A（4,a）作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|

11、=（）A2B6C4D2【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑,由直線l:x+ay1=0經(jīng)過圓C的圓心（2,1）,求得a的值,可得點(diǎn)A的坐標(biāo),再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值【解答】解:圓C:x2+y24x2y+1=0,即（x2）2+（y1）2 =4,表示以C（2,1）為圓心、半徑等于2的圓由題意可得,直線l:x+ay1=0經(jīng)過圓C的圓心（2,1）,故有2+a1=0,a=1,點(diǎn)A（4,1）AC=2,CB=R=2,切線的長|AB|=6故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的切線長的求法,解題時(shí)要注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線和圓相切的性質(zhì)的合理運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題9（5分）（2015重慶）若tan=2tan,

12、則=（）A1B2C3D4【分析】直接利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡所求表達(dá)式,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式結(jié)合已知條件以及積化和差個(gè)數(shù)化簡求解即可【解答】解:tan=2tan,則=3故答案為:3【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),積化和差以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力10（5分）（2015重慶）設(shè)雙曲線=1（a0,b0）的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A（1,0）（0,1）B（,1）（1,+）C（,0）（0,）D（,）（,+）【分析】由雙曲線的對(duì)

13、稱性知D在x軸上,設(shè)D（x,0）,則由BDAB得=1,求出cx,利用D到直線BC的距離小于a+,即可得出結(jié)論【解答】解:由題意,A（a,0）,B（c,）,C（c,）,由雙曲線的對(duì)稱性知D在x軸上,設(shè)D（x,0）,則由BDAB得=1,cx=,D到直線BC的距離小于a+,cx=|a+,c2a2=b2,01,雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（1,0）（0,1）故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算能力,確定D到直線BC的距離是關(guān)鍵二、填空題:本大題共3小題,考生作答5小題,每小題5分,共25分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.11（5分）（2015重慶）設(shè)復(fù)數(shù)a+bi（a,bR）的模為,則

14、（a+bi）（abi）=3【分析】將所求利用平方差公式展開得到a2+b2,恰好為已知復(fù)數(shù)的模的平方【解答】解:因?yàn)閺?fù)數(shù)a+bi（a,bR）的模為,所以a2+b2=3,則（a+bi）（abi）=a2+b2=3；故答案為:3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算；屬于基礎(chǔ)題12（5分）（2015重慶）的展開式中x8的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,再令x的冪指數(shù)等于8,求得r的值,即可求得展開式中的x8的系數(shù)【解答】解:由于的展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=,令15=8,求得r=2,故開式中x8的系數(shù)是 =,故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式展開式

15、的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題13（5分）（2015重慶）在ABC中,B=120,AB=,A的角平分線AD=,則AC=【分析】利用已知條件求出A,C,然后利用正弦定理求出AC即可【解答】解:由題意以及正弦定理可知:,即,ADB=45,A=18012045,可得A=30,則C=30,三角形ABC是等腰三角形,AC=2=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用,三角形的解法,考查計(jì)算能力三、考生注意:（14）、（15）、（16）三題為選做題,請(qǐng)從中任選兩題作答,若三題全做,則按前兩題給分14（5分）（2015重慶）如題圖,圓O的弦AB,CD相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)P,

16、若PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1,則BE=2【分析】利用切割線定理計(jì)算CE,利用相交弦定理求出BE即可【解答】解:設(shè)CE=2x,ED=x,則過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)P,由切割線定理可得PA2=PCPD,即36=3（3+3x）,x=3,由相交弦定理可得9BE=CEED,即9BE=63,BE=2故答案為:2【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線定理、相交弦定理,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ)15（5分）（2015重慶）已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為,則直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2,）【分析】求出直線以及

17、曲線的直角坐標(biāo)方程,然后求解交點(diǎn)坐標(biāo),轉(zhuǎn)化我2極坐標(biāo)即可【解答】解:直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,它的直角坐標(biāo)方程為:xy+2=0；曲線C的極坐標(biāo)方程為,可得它的直角坐標(biāo)方程為:x2y2=4,x0由,可得x=2,y=0,交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,它的極坐標(biāo)為（2,）故答案為:（2,）【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程直線的參數(shù)方程與普通方程的互化,基本知識(shí)的考查16（2015重慶）若函數(shù)f（x）=|x+1|+2|xa|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=6或4【分析】分類討論a與1的大小關(guān)系,化簡函數(shù)f（x）的解析式,利用單調(diào)性求得f（x）的最小值,再根據(jù)f（x）的最小值等于5,求得a的值【解答】解:函數(shù)f（

18、x）=|x+1|+2|xa|,故當(dāng)a1時(shí),f（x）=,根據(jù)它的最小值為f（a）=3a+2a1=5,求得a=6當(dāng)a=1時(shí),f（x）=3|x+1|,它的最小值為0,不滿足條件當(dāng)a1時(shí),f（x）=,根據(jù)它的最小值為f（a）=a+1=5,求得a=4綜上可得,a=6 或a=4,故答案為:6或4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)由絕對(duì)值的函數(shù),利用單調(diào)性求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題四、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（13分）（2015重慶）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀

19、完全相同,從中任意選取3個(gè)（）求三種粽子各取到1個(gè)的概率；（）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望【分析】（）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（）隨機(jī)變量X的取值為:0,1,2,別求出對(duì)應(yīng)的概率,即可求出分布列和期望【解答】解:（）令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”,則由古典概型的概率公式有P（A）=（）隨機(jī)變量X的取值為:0,1,2,則P（X=0）=,P（X=1）=,P（X=2）=,X012PEX=0+1+2=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算,求出對(duì)應(yīng)的概率是解決本題的關(guān)鍵18（13分）（2015重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（x）sinxcos2x（I

20、）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）討論f（x）在,上的單調(diào)性【分析】（）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值（）根據(jù)2x0,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,分類討論求得f（x）在上的單調(diào)性【解答】解:（）函數(shù)f（x）=sin（x）sinxx=cosxsinx（1+cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x）,故函數(shù)的周期為=,最大值為1（）當(dāng)x 時(shí),2x0,故當(dāng)02x時(shí),即x,時(shí),f（x）為增函數(shù)；當(dāng)2x時(shí),即x,時(shí),f（x）為減函數(shù)【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和最值,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題19（1

21、3分）（2015重慶）如題圖,三棱錐PABC中,PC平面ABC,PC=3,ACB=D,E分別為線段AB,BC上的點(diǎn),且CD=DE=,CE=2EB=2（）證明:DE平面PCD（）求二面角APDC的余弦值【分析】（）由已知條件易得PCDE,CDDE,由線面垂直的判定定理可得；（）以C為原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤yz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,易得,的坐標(biāo),可求平面PAD的法向量,平面PCD的法向量可取,由向量的夾角公式可得【解答】（）證明:PC平面ABC,DE平面ABC,PCDE,CE=2,CD=DE=,CDE為等腰直角三角形,CDDE,PCCD=C,DE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線,DE平面

22、PCD（）由（）知CDE為等腰直角三角形,DCE=,過點(diǎn)D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=FE=1,又由已知EB=1,故FB=2,由ACB=得DFAC,故AC=DF=,以C為原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)閤yz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則C（0,0,0）,P（0,0,3）,A（,0,0）,E（0,2,0）,D（1,1,0）,=（1,1,0）,=（1,1,3）,=（,1,0）,設(shè)平面PAD的法向量=（x,y,z）,由,故可取=（2,1,1）,由（）知DE平面PCD,故平面PCD的法向量可取=（1,1,0）,兩法向量夾角的余弦值cos,=二面角APDC的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角,涉及直線與平

23、面垂直的判定,建系化歸為平面法向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵,屬難題20（12分）（2015重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=（aR）（）若f（x）在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1）處的切線方程；（）若f（x）在3,+）上為減函數(shù),求a的取值范圍【分析】（I）f（x）=,由f（x）在x=0處取得極值,可得f（0）=0,解得a可得f（1）,f（1）,即可得出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1）處的切線方程；（II）解法一:由（I）可得:f（x）=,令g（x）=3x2+（6a）x+a,由g（x）=0,解得x1=,x2=對(duì)x分類討論:當(dāng)xx1時(shí)；當(dāng)x1xx2時(shí)；當(dāng)xx2時(shí)由f（

24、x）在3,+）上為減函數(shù),可知:x2=3,解得即可解法二:“分離參數(shù)法”:由f（x）在3,+）上為減函數(shù),可得f（x）0,可得a,在3,+）上恒成立令u（x）=,利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值即可【解答】解:（I）f（x）=,f（x）在x=0處取得極值,f（0）=0,解得a=0當(dāng)a=0時(shí),f（x）=,f（x）=,f（1）=,f（1）=,曲線y=f（x）在點(diǎn)（1,f（1）處的切線方程為,化為:3xey=0；（II）解法一:由（I）可得:f（x）=,令g（x）=3x2+（6a）x+a,由g（x）=0,解得x1=,x2=當(dāng)xx1時(shí),g（x）0,即f（x）0,此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x1xx2時(shí),g（x）0

25、,即f（x）0,此時(shí)函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當(dāng)xx2時(shí),g（x）0,即f（x）0,此時(shí)函數(shù)f（x）為減函數(shù)由f（x）在3,+）上為減函數(shù),可知:x2=3,解得a因此a的取值范圍為:解法二:由f（x）在3,+）上為減函數(shù),f（x）0,可得a,在3,+）上恒成立令u（x）=,u（x）=0,u（x）在3,+）上單調(diào)遞減,au（3）=因此a的取值范圍為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值,考查了分類討論思想方法、“分離參數(shù)法”、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題21（12分）（2015重慶）如題圖,橢圓=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQPF1（）若|PF1|=2+|=2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e【分析】（）由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|,求出a,再根據(jù)2c=|F1F2|=2,求出c,進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）由橢圓的定義和勾股定理,得|QF1|=|PF1|=4a2|PF1|,解得|PF1|=2（2）a,從而|PF2|=2a|PF1|=2（1）a,再一次根據(jù)勾股定理可求出離心率【解答】解:（）由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|=2+2=4,故a=2,設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF2PF1,因此