高一數(shù)學直線方程知識點歸納及典型例題

1、直線的一般式方程及綜合【學習目標】1掌握直線的一般式方程；2能將直線的點斜式、兩點式等方程化為直線的一般式方程，并理解這些直線的不同形式的方程在表示直線時的異同之處；3能利用直線的一般式方程解決有關問題.【要點梳理】要點一：直線方程的一般式關于x和y的一次方程都表示一條直線我們把方程寫為Ax+By+C=0，這個方程(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式要點詮釋：1A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線.當B0時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線當B=0，A0時，方程可變形為Ax+C=0，即，它表示一條與x軸垂直的直線由上可知，關于x、y的二元一次方程，它都表

2、示一條直線2在平面直角坐標系中，一個關于x、y的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數(shù)個關于x、y的一次方程（如斜率為2，在y軸上的截距為1的直線，其方程可以是2xy+1=0，也可以是，還可以是4x2y+2=0等）要點二：直線方程的不同形式間的關系直線方程的五種形式的比較如下表：名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式y(tǒng)y1=k(xx1)（x1，y1）是直線上一定點，k是斜率不垂直于x軸斜截式y(tǒng)=kx+bk是斜率，b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點式（x1，y1），（x2，y2）是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的

3、非零截距不垂直于x軸和y軸，且不過原點一般式Ax+By+C=0（A2+B20）A、B、C為系數(shù)任何位置的直線要點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多（x1x2，y1y2），應用時若采用(y2y1)(xx1)(x2x1)(yy1)=0的形式，即可消除局限性截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式一般式?；癁樾苯厥脚c截距式若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同要點三：

4、直線方程的綜合應用1已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求2根據(jù)題目所給條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同（1）從斜截式考慮 已知直線, ；于是與直線平行的直線可以設為；垂直的直線可以設為（2）從一般式考慮： 且或，記憶式（） 與重合，于是與直線平行的直線可以設為；垂直的直線可以設為.【典型例題】類型一：直線的一般式方程例1根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程 （1）斜率是，經(jīng)過點A（8，2）；（2）經(jīng)過點B（4，2），平行于x軸；（3）在x軸和y軸上的截距分別是，3；（4）經(jīng)過兩點P1（3，2），P2（5，4）【

5、答案】（1）x+2y4=0（2）y2=0（3）2xy3=0（4）【解析】 （1）由點斜式方程得，化成一般式得x+2y4=0（2）由斜截式得y=2，化為一般式得y2=0（3）由截距式得，化成一般式得2xy3=0（4）由兩點式得，化成一般式方程為【總結(jié)升華】本題主要是讓學生體會直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)，一般按含x項、y項、常數(shù)項順序排列求直線方程的題目，無特別要求時，結(jié)果寫成直線方程的一般式舉一反三：【變式1】已知直線經(jīng)過點，且傾斜角是，求直線的點斜式方程和一般式方程.【答案】 【解析】因

6、為直線傾斜角是，所以直線的斜率，所以直線的點斜式方程為：，化成一般式方程為：.例2的一個頂點為，、 的平分線在直線和上，求直線BC的方程. 【答案】【解析】由角平分線的性質(zhì)知，角平分線上的任意一點到角兩邊的距離相等，所以可得A點關于的平分線的對稱點在BC上，B點關于的平分線的對稱點也在BC上寫出直線的方程，即為直線BC的方程. 例3求與直線3x+4y+1=0平行且過點（1，2）的直線的方程【答案】3x+4y11=0【解析】解法一：設直線的斜率為k，與直線3x+4y+1=0平行，又經(jīng)過點（1，2），可得所求直線方程為，即3x+4y11=0解法二：設與直線3x+4y+1=0平行的直線的方程為3x+

7、4y+m=0，經(jīng)過點（1，2），31+42+m=0，解得m=11所求直線方程為3x+4y11=0【總結(jié)升華】（1）一般地，直線Ax+By+C=0中系數(shù)A、B確定直線的斜率，因此，與直線Ax+By+C=0平行的直線可設為Ax+By+m=0，這是常采用的解題技巧我們稱Ax+By+m=0是與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程參數(shù)m可以取mC的任意實數(shù)，這樣就得到無數(shù)條與直線Ax+By+C=0平行的直線當m=C時，Ax+By+m=0與Ax+By+C=0重合（2）一般地，經(jīng)過點A（x0，y0），且與直線Ax+By+C=0平行的直線方程為A(xx0)+B(yy0)=0（3）類似地有：與直線Ax+By+

8、C=0垂直的直線系方程為BxAy+m=0（A，B不同時為零）舉一反三：【變式1】已知直線：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .問 m為何值時:（1）與平行（2）與垂直. 【答案】（1）（2）【解析】當時，：8y-10=0；：x-4=0，當時，：；：由，得，由得而無解綜上所述（1），與平行（2），與垂直【變式2】 求經(jīng)過點A（2，1），且與直線2x+y10=0垂直的直線的方程 【答案】x2y=0【解析】因為直線與直線2x+y10=0垂直，可設直線的方程為，把點A（2，1）代入直線的方程得：，所以直線的方程為：x2y=0類型二：直線與坐標軸形成三角形問題例4已知直線的傾斜角的

9、正弦值為，且它與坐標軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程【思路點撥】知道直線的傾斜角就能求出斜率，進而引進參數(shù)直線在y軸上的截距b，再根據(jù)直線與坐標軸圍成的三角形的面積為6，便可求出b也可以根據(jù)直線與坐標軸圍成的三角形的面積為6，設截距式直線方程，從而得出，再根據(jù)它的斜率已知，從而得到關于a，b的方程組，解之即可【答案】或【解析】解法一：設的傾斜角為，由，得設的方程為，令y=0，得直線與x軸、y軸的交點分別為，（0，b），即b2=9，b=3故所求的直線方程分別為或解法二：設直線的方程為，傾斜角為，由，得，解得故所求的直線方程為或【總結(jié)升華】（1）本例中，由于已知直線的傾斜角（與斜率有關）及直

10、線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說（2）在求直線方程時，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏舉一反三：【變式1】（2015春 啟東市期中）已知直線m：2xy3=0，n：x+y3=0 （1）求過兩直線m，n交點且與直線l：x

11、+2y1=0平行的直線方程；（2）求過兩直線m，n交點且與兩坐標軸圍成面積為4的直線方程【思路點撥】（1）求過兩直線m，n交點坐標，結(jié)合直線平行的斜率關系即可求與直線l：x+2y1=0平行的直線方程；（2）設出直線方程，求出直線和坐標軸的交點坐標，結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可【答案】（1）x+2y4=0；（2）【解析】（1）由，解得，即兩直線m，n交點坐標為（2，1），設與直線l：x+2y1=0平行的直線方程為x+2y+c=0，則2+21+c=0，解得c=4，則對應的直線方程為x+2y4=0；（2）設過（2，1）的直線斜率為k，（k0），則對應的直線方程為y1=k(x2)，令x=0，y=1

12、2k，即與y軸的交點坐標為A（0，12k）令y=0，則，即與x軸的交點坐標為，則AOB的面積，即，即，若k0，則方程等價為，解得或，若k0，則方程等價為，解得綜上直線的方程為 ，或，或即，或，或類型三：直線方程的實際應用例6（2015春 湖北期末）光線從點A（2，3）射出，若鏡面的位置在直線l：x+y+1=0上，反射光線經(jīng)過B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程，并求光線從A到B所走過的路線長【思路點撥】求出點A關于l的對稱點，就可以求出反射光線的方程，進一步求得入射點的坐標，從而可求入射光線方程，可求光線從A到B所走過的路線長【答案】【解析】設點A關于l的對稱點A（x0，y0），A

13、A被l垂直平分，解得點A（4，3），B（1，1）在反射光線所在直線上，反射光線的方程為，即4x5y+1=0，解方程組得入射點的坐標為由入射點及點A的坐標得入射光線方程為，即5x4y+2=0，光線從A到B所走過的路線長為【總結(jié)升華】本題重點考查點關于直線的對稱問題，考查入射光線和反射光線，解題的關鍵是利用對稱點的連結(jié)被對稱軸垂直平分舉一反三：【變式1】（2016春 福建廈門期中）一條光線從點A（4，2）射出，到直線y=x上的B點后被直線y=x反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射光線恰好過點D（1，6）求BC所在直線的方程【答案】10x3y+8=0【解析】如圖，A（4，2），D（1，6）， 由對稱性求得A（4，2）關于直線y=x的對稱點A（2，4），D關于y軸的對稱點D（1，6），則由入射光線和反射光線的性質(zhì)可得：過AD的直線方程即為BC所在直線的方程由直線方程的兩點式得：整理得：10x3y+8=0例7如圖，某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE上劃出一塊長方形土地（不改變方向）建造一幢8層的公寓，如何設計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積（精確到1 m2） 【答案】6017【解析】 建立坐標系，則B（30，0），A（0，20）由