選修 不等式選講.ppt

1、,熱點(diǎn)考向1 絕對(duì)值不等式的求解 【例1】設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+x. (1)求函數(shù)f(x)的值域； (2)若g(x)=|x+1|，求g(x)f(x)成立時(shí)x的取值范圍. 【解題指導(dǎo)】(1)先去掉絕對(duì)值，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的形式，然后求解；(2)可用零點(diǎn)分析法去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求解.,【規(guī)范解答】(1)f(x)= 故f(x)的值域?yàn)?,+) (2)g(x)0, 當(dāng)x-1時(shí)，-(x-2)+(x+1)+x0, x-3, -3x-1.,當(dāng)-10, x0, x3, 綜上,x(-3,1)(3,+).,絕對(duì)值不等式的分類(lèi)型求解方法： (1)|ax+b|c，|ax+b|c型不等式的解法 c0，

2、則|ax+b|c可轉(zhuǎn)化為-cax+bc,|ax+b|c可轉(zhuǎn)化為ax+bc或ax+b-c，然后根據(jù)a,b的取值求解即可. c0，則|ax+b|c可轉(zhuǎn)化為，|ax+b|c的解集為R. c=0,則|ax+b|0可轉(zhuǎn)化為ax+b=0,然后根據(jù)a,b的取值求解即可；|ax+b|0的解集為R.,(2)|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 解決此類(lèi)含絕對(duì)值的不等式的一般步驟為： 令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的一次式為0，求出相應(yīng)的根. 把這些根由小到大排序，它們把實(shí)數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間. 在所分區(qū)間上，根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集. 這些解集的并集就是原

3、不等式的解集.,(1)已知|2x-3|1的解集為m,n.求m+n的值； (2)若函數(shù)f(x)=2|x+7|-|3x-4|的最小值為2，求自變量x的取值范圍. 【解析】(1)由不等式|2x-3|1可化為-12x-31，得1x2. m=1,n=2,m+n=3.,(2)依題意，2|x+7|-|3x-4|2,|x+7|-|3x-4|1, 當(dāng)x 時(shí)，不等式化為x+7-(3x-4)1， 解得x5,即 x5, 當(dāng)-7x 時(shí)，不等式化為x+7+(3x-4)1， 解得x ,即 x ； 當(dāng)x-7時(shí)，不等式化為-x-7+(3x-4)1， 解得x6，與x-7矛盾. 自變量x的取值范圍為 x5.,熱點(diǎn)考向2 與絕對(duì)值不

4、等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題 【例2】(2011福州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若a=-1,解不等式f(x)3； (2)如果關(guān)于x的不等式f(x)2有解,求a的取值范圍. 【解題指導(dǎo)】(1)a=-1時(shí)，f(x)=|x-1|+|x+1|，用零點(diǎn)分析法解不等式；(2)可利用絕對(duì)值的幾何意義求出f(x)的最小值，然后求a的范圍.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=|x-1|+|x+1|. 由f(x)3，得|x-1|+|x+1|3. 當(dāng)x-1時(shí)，不等式化為1-x-1-x3, 即x . 所以，原不等式的解集為x . 當(dāng)-1x1時(shí)，不等式化為1-x+1+x3, 即23. 所以，

5、原不等式無(wú)解.,當(dāng)x1時(shí)，不等式化為-1+x+1+x3, 即x 所以，原不等式的解集為x 綜上，原不等式的解集為 (2)因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)2有解， 所以，f(x)min2. 因?yàn)閨x-1|+|x-a|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到x=1與x=a兩點(diǎn)的距離之和，,所以，f(x)min=|a-1|. |a-1|2, 解得，-1a3. 所以，a的取值范圍為-1,3.,解決含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題，常有以下兩種方法： (1)將參數(shù)分類(lèi)討論，將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決； (2)借助于絕對(duì)值的幾何意義，先求出f(x)的最值或值域，然后再根據(jù)題目要求，求解參數(shù)的取值范圍.,解絕對(duì)值不等式時(shí)要綜合考慮,選擇最簡(jiǎn)捷的解法

6、,“絕對(duì)值的幾何意義”往往是首選方法.,設(shè)f(x)=ln(|x-1|+m|x-2|-3)(mR) (1)當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域； (2)若當(dāng)1x 時(shí)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 【解析】(1)當(dāng)m=1時(shí)，|x-1|+|x-2|-30，等價(jià)于 或 或 解得x3， 故函數(shù)f(x)的定義域是x|x3,(2)當(dāng)1x 時(shí)，f(x)=lnx-4+m(2-x)， f(x)0恒成立等價(jià)于 x-4+m(2-x)1恒成立， 即 對(duì)x1, 恒成立， 令 則g(x)在區(qū)間1, 是增函數(shù)， 所以g(x)max= 所以m13，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為13,+),熱點(diǎn)考向3 不等式的證明問(wèn)題 【例3】(2

7、011宿遷模擬)設(shè)f(x)=x2-x+13，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足|x-a|1，求證：|f(x)-f(a)|2(|a|+1) 【解題指導(dǎo)】因?yàn)轭}目條件中有|x-a|1,故應(yīng)考慮先對(duì)f(x)-f(a)分解因式，即提取公因式x-a，然后利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明即可.,【規(guī)范解答】f(x)=x2-x+13， |f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|x+a-1|x+a-1|, 又|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|x-a|+|2a-1| 1+|2a|+1=2(|a|+1) 所以不等式成立.,證明不等式的基本方法： (1)證明不等式的傳統(tǒng)方法有：比較法、綜合法、分析法. (2)不等式證明還

8、有一些常用方法：拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、逆代 法、換元法、放縮法、反證法、函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、 數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換、均值代換兩種，在應(yīng) 用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮法是不等式證明中最 重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié),論中考察.有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法.存在性、惟一性等問(wèn)題或題目中帶有“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”、“不能都”等字樣的問(wèn)題,都可以用反證法.,設(shè)x,y,z為正數(shù)，證明：2(x3+y3+z3)x2(y+z)+y2(x+z)+ z2(x+y). 【證明】因?yàn)閤2+y22xy0, 所以x3+y3=(x+y)(x2-x

9、y+y2)xy(x+y). 同理y3+z3yz(y+z),z3+x3zx(z+x). 三式相加即可得2(x3+y3+z3)xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x).,又因?yàn)閤y(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) =x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y), 所以2(x3+y3+z3)x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y).,熱點(diǎn)考向4 不等式的綜合問(wèn)題 【例4】(10分)(2011新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a0. (1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)3x+2的解集； (2)若不等式f(x)0的解集為x|x-1 ，求a的值.,【解題指導(dǎo)】第(1

10、)問(wèn)，將a=1代入函數(shù)f(x)解析式，利用解絕對(duì)值不等式的公式求解，第(2)問(wèn)f(x)0|x-a|+3x0，然后分xa和xa兩種情況去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為解不等式組的問(wèn)題，將兩段解集取并集得f(x)0的解集，最后利用待定系數(shù)法求得a的值.,【規(guī)范解答】(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)3x+2可化為 |x-1|2.1分 由此可得x3或x-1. 2分 故不等式f(x)3x+2的解集為x|x3或x-1.3分,(2)由f(x)0得,|x-a|+3x0. 此不等式化為不等式組 或 5分 即 或 6分 因?yàn)閍0，所以不等式組的解集為x|x 8分 由題設(shè)可得 =-1，故a=2.10分,解不等式的基本思路： 解不等式的基本思想是轉(zhuǎn)化、化歸.不等式的性質(zhì)是實(shí)現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”的基本依據(jù)，高次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式、含有字母系數(shù)的不等式等，一般都轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)來(lái)求解，特別是含有參數(shù)的不等式，往往要對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)探求，注意分類(lèi)應(yīng)不重、不漏.,已知函數(shù)f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m (1)解關(guān)于x的不等式f(x)+a-10(aR)； (2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍,【解析】(1)不等式f(x)+a-10, 即為|x-2|+a-10， 當(dāng)a=1時(shí)，解集為(-,2)(2,+)； 當(dāng)a