第5章 常微分方程初值問(wèn)題初步.ppt

1、1,第五章 常微分方程的數(shù)值解法,馬爾薩斯人口模型：假設(shè)某特定區(qū)域在 t0 時(shí)刻的人口p(t0) = p0為已知的，該區(qū)域人口的自然增長(zhǎng)率為。人口的增長(zhǎng)與人口的總數(shù)成正比，所以 t 時(shí)刻的人口總數(shù) p(t)滿(mǎn)足如下的微分方程：,生活中常常有這樣一類(lèi)問(wèn)題：,問(wèn) 題 的 提 出,這些常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來(lái)求解一些特殊類(lèi)型的問(wèn)題，實(shí)際問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的微分方程主要靠數(shù)值解法。,解析法：給出精確解析解。只適合少數(shù)簡(jiǎn)單情況。 近似解法：給出解的近似表達(dá)式。如級(jí)數(shù)法,逐步逼近法。 數(shù)值方法：給出方程在離散點(diǎn)上的近似解。它適合計(jì)算機(jī)求解,應(yīng)用廣泛,具有理論應(yīng)用價(jià)值。,常微分方程的解

2、法：,內(nèi)容分類(lèi)：,定解問(wèn)題,初值問(wèn)題,邊值問(wèn)題,單步法,Euler方法,Taylor方法和Runge-Kutta方法,多步法,Adams方法和一般線(xiàn)性多部法,線(xiàn)性多部法的收斂性與穩(wěn)定性,一階常微分方程初值問(wèn)題的一般形式：,問(wèn)題:,其中: f (x, y) 為已知函數(shù), 是已知值. (可能是觀(guān)察值或?qū)嶒?yàn)值),基本條件：,f (x,y)在D上連續(xù)； f (x,y)在D上關(guān)于變量y滿(mǎn)足Lipschitz連續(xù)條件：,設(shè),對(duì)求解區(qū)域a,b做剖分,在區(qū)間xk, xk+1上對(duì)微分方程做積分,則有,常用等步長(zhǎng):, 則有,將微分方程的準(zhǔn)確解記為y(x),稱(chēng)為步長(zhǎng)。,的近似解記為,能不能將微分轉(zhuǎn)化為積分？,因此，

3、建立節(jié)點(diǎn)處近似值yn滿(mǎn)足的差分公式,稱(chēng)之為Euler公式.,對(duì)右邊的積分應(yīng)用左矩形公式，則有,Euler公式的幾何意義,特點(diǎn)：簡(jiǎn)單，精度低.,例 求解初值問(wèn)題,解： Euler公式的具體形式為,取步長(zhǎng) h=0.1，那么即可計(jì)算該微分方程。 具體結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)。,解析解：,(2) 前向差分近似微分法,前向差分,近似 , 得,將近似號(hào)改為等號(hào)，結(jié)合初始條件即得：,前面Euler方法是通過(guò)左矩形積分方法推導(dǎo)出來(lái)的，實(shí)際上 Euler方法還可以通過(guò)其他幾種方法推導(dǎo)出來(lái)。,(3) Taylor展開(kāi)法,忽略高階項(xiàng) ，,結(jié)合初值條件y (x0)=即得,將 y (xk+1)在x = xk點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開(kāi),1

4、1,Euler公式的局部截?cái)嗾`差：,后退的Euler公式,如果采用后向差分,近似 , 得,將近似號(hào)改為等號(hào)，結(jié)合初始條件即得：,這一類(lèi)公式稱(chēng)為隱式的，相對(duì)應(yīng)的前面介紹的Euler公式稱(chēng)為顯式的,顯式：更加方便計(jì)算 隱式：數(shù)值穩(wěn)定性更好,顯式與隱式的特點(diǎn)：,隱式方程的計(jì)算方法：,隱式方程常用迭代法計(jì)算，而迭代的過(guò)程實(shí)質(zhì)是逐步顯式化。,設(shè)用Euler公式 給出迭代的初值 ，用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得,然后再代入后退Euler公式,如此反復(fù)進(jìn)行得：,如果迭代過(guò)程收斂，則極限值 必滿(mǎn)足隱式方程，從而獲得后退Euler方法的解。,后退Euler方法局部截?cái)嗾`差為,例 用后退Euler

5、方法求解初值問(wèn)題,解： (1)取步長(zhǎng) h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，,(2)用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得,Euler,后退Euler, 誤差,如果將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分 從而獲得更高的精度。這種平均化的方法通常稱(chēng)為梯形方法，其計(jì)算公式為：,即為前面導(dǎo)出的梯形微分方程公式.,若對(duì)上式右邊的積分應(yīng)用梯形求積公式，則可導(dǎo)出差分公式,梯形公式也可以通過(guò)積分的方法來(lái)獲得：,將微分方程化為積分方程的形式,梯形方法的求解,梯形方法是隱式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一樣，仍用Euler方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為：,例 用梯形方法

6、求解初值問(wèn)題,解： (1)取步長(zhǎng) h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，,(2)用它代入梯形公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得,梯形法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在迭代公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù) f 的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計(jì)算量很大，而且往往難以預(yù)測(cè)。,1,用Euler公式求得一個(gè)初步的近似值,再用梯度公式將它校正一次,為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算,2,預(yù)測(cè)值,校正值,這個(gè)方法也叫做：改進(jìn)的Euler公式 或 預(yù)估-校正公式,預(yù)測(cè),校正,這個(gè)公式也可以寫(xiě)為,梯形法步驟：,預(yù)估校正法步驟：,Euler 梯形 梯形 梯形,Euler 梯形 Euler

7、梯形,Euler兩步方法,前面介紹過(guò)的數(shù)值方法，無(wú)論是Euler方法，后退的Euler方法，還是改進(jìn)的Euler方法，他們都是單步法，其特點(diǎn)是在計(jì)算 yn+1 時(shí)值用到前一步的信息 yn；然而Euler兩步法中的公式除了 yn 外，還顯含更前面一部的信息 yn-1，即調(diào)用了前面兩步的信息，Euler兩步法因此而得名。,單步法的優(yōu)點(diǎn)：,單步法的優(yōu)點(diǎn)是“自開(kāi)始的”，只要給出初值 y0 ，依計(jì)算公式可順次計(jì)算 y1， y2 而兩步法除了給出初值 y0 ，還需要求助于其他單步法再提供一個(gè)開(kāi)始值 y1 ，然后才能啟動(dòng)計(jì)算公式依次計(jì)算 y2， y3 ,兩步法的優(yōu)點(diǎn)：,兩步法的優(yōu)點(diǎn)是它調(diào)用了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的已知信息，從而能以較少的計(jì)算量獲得較高的精度。,如果用Euler兩步公式與梯形公式相匹配，得到下列預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)：,校正,預(yù)測(cè),例 用Euler兩步法求解初值問(wèn)題,解： (1)取步長(zhǎng) h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，,(2)用它代入Euler兩步法公式，得,例 用Euler兩步法的預(yù)測(cè)校正方法求解初值問(wèn)題,解： (1)取步長(zhǎng) h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，,(2)用它代入Euler兩步法公式，得,(3)用它代入梯形公式，