函數(shù)的零點(diǎn)存在定理

1、函數(shù)的零點(diǎn)存在定理1、 教材內(nèi)容分析 函數(shù)的零點(diǎn)第二課時，選自人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版必修1第三章第一節(jié)。1、 教材的地位與作用函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的原因之一就在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個鏈結(jié)點(diǎn)，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系研究，不僅為“用二分法求方程的近似解”的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，而且揭示了方程與函數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系，這種聯(lián)系正是中學(xué)數(shù)學(xué)重要思想方法“函數(shù)與方程思想”的理論基礎(chǔ)。可見，函數(shù)零點(diǎn)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有核心地位。2、 內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)

2、存在性定理。函數(shù)零點(diǎn)是研究當(dāng)函數(shù)的值為零時，相應(yīng)的自變量的取值，反映在函數(shù)圖象上，也就是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。由于函數(shù)的值為零亦即，其本身已是方程的形式，因而函數(shù)的零點(diǎn)必然與方程有著不可分割的聯(lián)系，事實(shí)上，若方程有解，則函數(shù)存在零點(diǎn)，且方程的根就是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)，也是函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。順理成章的，方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題。這是函數(shù)與方程關(guān)系認(rèn)識的第一步。零點(diǎn)存在性定理，是函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件。如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，但零點(diǎn)的個數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷。定理的逆命題不成立。方程

3、的根與函數(shù)零點(diǎn)的研究方法，符合從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，從特殊的、具體的二次函數(shù)入手，建立二次函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)二次方程的聯(lián)系，然后將其推廣到一般的、抽象的函數(shù)與相應(yīng)方程的情形；零點(diǎn)存在性的研究，也同樣采用了似的方法，同時還使用了“數(shù)形結(jié)合思想”及“轉(zhuǎn)化與化歸思想”。2、 教學(xué)內(nèi)容診斷分析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)，具備初步的數(shù)形結(jié)合的能力基礎(chǔ)之上，利用函數(shù)圖象和性質(zhì)來判斷方程的根的存在性及根的個數(shù)。對于高一學(xué)生，在經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，對函數(shù)和方程已有了一定的認(rèn)知，但大部分學(xué)生還缺乏自主學(xué)習(xí)的能力，這就需要我們老師的啟發(fā)與引導(dǎo)。 3、 教學(xué)目標(biāo) 分析 知識與技能目標(biāo)： 了解函數(shù)零

4、點(diǎn)的概念,理解函數(shù)零點(diǎn)與對應(yīng)方程根之間的關(guān)系。 理解函數(shù)零點(diǎn)的兩條性質(zhì),初步掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的方法。 在教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想,在函數(shù)與方程,不等式的聯(lián)系中體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷“類比歸納應(yīng)用”的過程，培養(yǎng)學(xué)生分析問題探究問題的能力，感悟從具體到抽象的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生自主探究，合作交流的能力，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。4、 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)零點(diǎn)的定義；函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)對應(yīng)方程的實(shí)根、函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)之間的關(guān)系；函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。教學(xué)難點(diǎn):探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理，及利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)判別函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)

5、。5、 教學(xué)支持條件分析（即教法與學(xué)法分析）結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平：在教法上，借助多媒體和幾何畫板軟件，采用“啟發(fā)探究討論”的教學(xué)模式。充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)、啟發(fā)、充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動的主體。在學(xué)法上，“授人以魚，不如授人以漁”，以培養(yǎng)學(xué)生探究精神為出發(fā)點(diǎn)，著眼于知識的形成和發(fā)展，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，精心設(shè)置一個個問題鏈，并以此為主線，由淺入深、循序漸進(jìn)，給不同層次的學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的舞臺。6、 教學(xué)過程設(shè)計(jì)1、 溫故知新 零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使方程成立的實(shí)數(shù)x,叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 實(shí)數(shù)的三重身份：是函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)對應(yīng)方程的實(shí)

6、根；也是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 我們知道了什么是函數(shù)的零點(diǎn)，那么怎樣判斷一個函數(shù)是否具有零點(diǎn)呢？這是我們這堂課主要研究的問題。設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)生順利進(jìn)入新知探究做好鋪墊，以舊引新，也利于學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。2、 探索新知 思考：對于任意給定的一個函數(shù)y=f(x)，如何判定它是否存在零點(diǎn)呢？ 答：判定方程f(x)=0是否有實(shí)根。師：很好，同學(xué)對函數(shù)零點(diǎn)的定義掌握得很透徹，這確實(shí)是一種直觀的方法，它抓住了函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)根之間的關(guān)系，這種方法可以解決一些我們熟悉的函數(shù)，比如一次函數(shù)、二次函數(shù)等的零點(diǎn)的問題。這樣我們得到一種簡單直觀的判定函數(shù)零點(diǎn)存在性的方法：看對應(yīng)函數(shù)的方程是否有實(shí)根。 探究：對

7、于函數(shù)，它對應(yīng)的方程是否用實(shí)根不容易判斷是時，如何判定它是否存在零點(diǎn)？師：可是更多的我們遇到的卻不是一次、二次函數(shù)這樣的能夠容易求解實(shí)根的方程對應(yīng)的函數(shù)。比如，函數(shù)，我們就不容易直接判斷它對應(yīng)的方程是否具有實(shí)根。前面我們有的方法不能解決這個問題，那么這時我們應(yīng)該怎么辦？這是我們接下來要探究的重要問題。 引入情境：過河問題觀察兩組圖，看第幾組圖片能夠說明人一定曾渡過河？觀察可以發(fā)現(xiàn)，如果人到達(dá)了河的對岸，我們就可以肯定他過了這條河，人的初末位置應(yīng)該位于河的兩側(cè)。 問題轉(zhuǎn)化:利用情境的結(jié)論將生活中的實(shí)例轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，用以解決數(shù)學(xué)問題。將河流看成x軸，人的初、末位置轉(zhuǎn)化為A、B兩點(diǎn)，人的運(yùn)動軌跡轉(zhuǎn)

8、化為函數(shù)的圖像，那么，人是否過河究等價于AB段的函數(shù)圖像與x軸是否相交。思考：結(jié)合之前的情境和問題的轉(zhuǎn)化，思考過A、B點(diǎn)的函數(shù)滿足什么條件,它的圖像才能與x軸相交呢？ 歸納結(jié)論：得出零點(diǎn)存在性定理分析轉(zhuǎn)化過程和轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。理解定理：注意條件和結(jié)論注意定理的兩個條件：在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且滿足式子。注意定理的結(jié)論：在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。至于有幾個零點(diǎn)，怎樣求出零點(diǎn)，是沒有解決的問題，是需要思考，并在接下來的課上需要解決的。3、 總結(jié)鞏固這堂課重點(diǎn)學(xué)習(xí)了判定函數(shù)是否存在零點(diǎn)的方法：（

9、1）直接法：根據(jù)方程是否有實(shí)根來判定；（2）間接法：利用零點(diǎn)存在性定理判定；設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以循序漸進(jìn)的在教師的引導(dǎo)下自主動腦解決問題。體現(xiàn)了新課程中學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的地位，7、 目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)（1） 函數(shù)在區(qū)間是否有零點(diǎn)？（2） 學(xué)習(xí)生活中，曾經(jīng)遇到有哪些問題利用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想進(jìn)行解答呢？設(shè)計(jì)意圖：可以用所學(xué)知識解決具體問題，也可以將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際生活中，解決生活問題，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。8、 教學(xué)反思 學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是，初中學(xué)習(xí)過二次函數(shù)圖象和二次方程，并且解過“當(dāng)函數(shù)值為0時，求相應(yīng)自變量的值”的問題，初步認(rèn)識到二次方程與二次函數(shù)的聯(lián)系，對二次函數(shù)圖象與軸是否相交，也有一

10、些直觀的認(rèn)識與體會。在高中階段，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與性質(zhì)，掌握了部分基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)。學(xué)生對于零點(diǎn)的概念是高中剛剛接觸到的，對于零點(diǎn)的理解一定要強(qiáng)調(diào)是一個實(shí)數(shù)。對于怎么判斷零點(diǎn)的存在，對于學(xué)生是一個難點(diǎn)。教學(xué)的重點(diǎn)是方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系及零點(diǎn)存在性定理的深入理解與應(yīng)用。對于各個問題學(xué)生可以在教師的引導(dǎo)下得到有效的答案，可以針對的解決相應(yīng)問題。以二次方程及相應(yīng)的二次函數(shù)為例，引入函數(shù)零點(diǎn)的概念，說明方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，學(xué)生并不會覺得困難。學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理，并針對具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點(diǎn)（或根）的區(qū)間。為此，我選取了生活中的實(shí)例，過河問題，使問題實(shí)際化，具體化，并且將實(shí)際的生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用生活中的經(jīng)驗(yàn)給數(shù)學(xué)問題以啟示，一方面，使數(shù)學(xué)生活化，趣味化，另一方