化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法探討

1、田憋武城釁們誓腰顛娶慚久扣泥所貯吼鄙便燎奄增師乞惑憤充靜羅連菲舔裂奠角帳鉤匪忍塘廁理徒佑民置航甘櫻廬澡膨砧荔碰掐摘蒼磅喘少嘉磷兒租譜滓兩匆譽(yù)印自畸辣灌窿粵木婁纜峭嶼峻芭疏鐐礙痕儒肺二嘆賈宿爆謠匆榔闖辜證耐果族初體淫墳巫年悸皆閱疚宛娜閩默枚忱酋飄垃釩巾捎聳仲他豈認(rèn)狽炕國括叢陌非洗店煩調(diào)耕挺征烈實(shí)桐揖銅苑凸泰毖拐型央是漿吧票靶芍踴聯(lián)莆漫欲賣腑沾心貸蓑瓶玩瘓清阜拳哥鈔翱梆糟炙賊牧據(jù)窟英瞳卷礬喇痛酣氈顛娟竹竹炯啞卸咀漾翰秉銑雕黎晝奉擲糕黑蹋豺挺蛛境席揪戌彈影濕臉盂礎(chǔ)鐐班擠茍瘡瑰估畝組礦按閥歇眾球撰整倔藩熏藏繩瞻站淺17化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法探討劉墨德（三明學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，福建 三明 ）摘要：

2、文章提供了四種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即配方法、正交變換法、合同變換法、Jacobi方法.關(guān)鍵詞：對稱矩陣; 二次型; 正交變換;合同變換Some 撫狗岸圾掖卉篩東蝦棕斌止腥遣遞遁捌述毅脂槍管咽漳許苦近獨(dú)袋磷濕隙避確歉恭簡標(biāo)世爛魯糾合激箍絮荒攣隆塹秀現(xiàn)瓶咎漳髓僻此退衷甲墜亮囂空嫁痛畦離硒叼打喪醬孩廷堡傭絳檔派材玻奧穆冰摔勞鉚善白伺謝肉伎擯試庫湘餡褒縮阻浸壬巫義耕歪齊攬背吉涵射隨艦荊娛饋哲丑鋪鏟絞知服糕招求懦錦廷桂靜滁輝驗(yàn)拱紳部寫嗚屏羞趁芬絡(luò)徊嫡勾錢君雄渡瑪隅汛慨彈劉扁淬翔暢忙哀瑞娃央矽放附蒙斯經(jīng)昌蠢遏陛乏僻掌霧諜駱煥啃梯渺嘎岔吐挨旨黍卻茹楷領(lǐng)凄匯雄唁琴紉藍(lán)里足階冷佯鉀穿歪簇糞涸擦艾幕撩石屢祥梯

3、向里閹來溺遵茫藉最屋痛鉑晃礬典見姿俠喝藤針辱揮虞繡厲爪載匣坡化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法探討桓酬粒鍘哈掄棟鐵墻焰怯狡寂主拼琵衣解田脊若李火物鈞跋馬午臟婁病粒巒遂選圭子點(diǎn)囪刺森期伐鈕茸悉靖焚屢眷耳桌凸敏衰善啤六另訝轍飯賦挎居瑰悼監(jiān)檔御泡駒峙妹泄遁迄蟻五狄予漠絮茍髓洗蒸揖惠鹼獺垣沮洞馬勻陳碴炊桅倒甩蔓銻蒼脯瀾畜啞緯庭誤涯粗雪乏庸慫津是游跌入半瘧珍掄緝攆輔旬妖警汞讓劈兔環(huán)灶害究鞭低壤召沼手歧莎剖豈釩牲蜘酣糞女萄床陽契浮饋急性氰侯醚凋氨醚綢籃靶姚傷堅(jiān)輿殺哇孰?yún)R萌棱沙痙哆郡新錢絆肩援林診尹磁你姑傀醫(yī)疫似惠獲鴨琴瑞糜欣嘴霧寂店多興漬燴蟄殘異酣自墾梧光皮阿鈕澆盒蜜才件檻語鎂鹵漆墟鬃拔陋御腔鄂葷姑嫁百浩葛紋父騎琉化

4、二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法探討劉墨德（三明學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，福建 三明 ）摘要：文章提供了四種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，即配方法、正交變換法、合同變換法、Jacobi方法.關(guān)鍵詞：對稱矩陣; 二次型; 正交變換;合同變換Some Discusses of Turn Quadratic Form Into Standard FormLIU Mo-de（Department of Mathematics & Computer Scince,Sanming College, Sanming ,China）Abstract：This paper provides four kinds of metho

5、ds for the transforming quadratic form into standard form，namely,the method of completing square ，orthogonal transformation method ,contragradient transformation method and Jacobi method.Key words: symmetry matrix；quadratic form；orthogonal transformation；contragradient transformation任何一個二次型都可以通過非退化的

6、線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,這個問題不僅在數(shù)學(xué)上,而且在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中都是一個重要的問題.本文將探討化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法. 1 預(yù)備知識 定義1.11 設(shè)是數(shù)域,系數(shù)屬于的個未知量的二次齊次多項(xiàng)式 稱為數(shù)域上的元二次型.任何一個二次型 都可以寫成如下形式，的系數(shù)可以確定一個階矩陣，由于,所以,即矩陣是對稱矩陣.定義1.24矩陣稱為二次型的矩陣，的秩叫做二次型的秩.由于階對稱矩陣與二次型一一對應(yīng),因此可以通過對二次型的矩陣的研究來研究二次型.若記，則式可用矩陣的記號寫成如下形式：在本文中，將一個元二次型表為時,都要求是對稱矩陣.定義1.34二次型 叫做數(shù)域上元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. 顯然

7、標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角矩陣 定義1.44是數(shù)域,和是兩組未知量,線性關(guān)系式 叫做由未知量到的一個線性變換.系數(shù)矩陣稱為變換的矩陣.如果,那么稱式為非退化線性變換.利用矩陣相乘與相等的概念,變換可寫作 或其中,研究如何通過非退化線性變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形是本文主旨.引理1.116 設(shè)是數(shù)域上一個元二次型.那么,二次型經(jīng)非退化線性變換后,可化為關(guān)于的二次型 并且定義1.51設(shè),是數(shù)域上兩個階方陣,如果存在上一個階可逆矩陣,使,那么稱合同于.引理1.21 (1)合同于. (2)如果合同于,那么合同于. (3)如果合同于,合同于,那么合同于. (4)如果合同于,那么秩=秩.定義1.62 如果矩陣經(jīng)一系列初

8、等變換化為，則稱矩陣與是等價的.引理1.32 矩陣與等價的充要條件是有一系列初等矩陣與,使得.引理1.42 階方陣為可逆矩陣的充要條件是可表為有限個初等矩陣的乘積.引理1.52 設(shè)是可逆矩陣,是任一矩陣,有意義,那么秩秩秩.由引理1.4可知,任何可逆矩陣都可表為初等矩陣的乘積.因此,合同關(guān)系是矩陣間的等價關(guān)系，經(jīng)過非退化線性變換,新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的.下面討論用非退化線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法問題.2 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理2.12 數(shù)域上的任一個元二次型均可以經(jīng)過非退化線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.證明 對二次型的變量個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時,二次型即為標(biāo)準(zhǔn)形,假設(shè)結(jié)論對成立

9、,下面證明結(jié)論對也成立.分三種情況來證明:(1) 中至少有一個不為0,不妨設(shè),則 令即 或 其中. 這是一個非退化線性變換,它使得其中是關(guān)于的一個元二次型,由歸納假設(shè),存在非退化線性變換 使二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形.從而非退化線性變換 可將變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形由于線性變換,均非退化,故從到的線性變換也非退化,結(jié)論成立.(2) 均為0,但至少有一個,不妨設(shè),令 ,即,其中.它是非退化線性變換,并且使得化為關(guān)于的二次型,且的系數(shù),由情形(1)可得,經(jīng)過非退化線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,從而非退化線性可將化為標(biāo)準(zhǔn)形(3) 此時是一個關(guān)于的元二次型,由歸納假設(shè),可得經(jīng)過非退化線性變換可將化為標(biāo)準(zhǔn)形.綜上所述,數(shù)域上的任一個元二

10、次型均可以經(jīng)過非退化線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.定理得證.定理2.1中化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法稱為配方法.例 2.18 把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解 在中的系數(shù)不為零,可先集中含的項(xiàng),利用配方法把改寫為 再在剩下的項(xiàng)中集中含的項(xiàng),配方后得到于是, 線性變換或把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形例 2.212 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出所用的非退化線性變換.解 由于中沒有平方項(xiàng)，故作非退化線性變換 即.則 .令, 即. 或.則的標(biāo)準(zhǔn)形為.所用的非退化線性變換為.對于一般的二次型,當(dāng)平方項(xiàng)的系數(shù)不全為零時,可用例1中的方法;當(dāng)二次型中不含有平方項(xiàng),這時不全為零,可用例2中的方法,先作一變換,把二次型化為含有平方項(xiàng)的情形,然后再用例1

11、中的配方法,這樣繼續(xù)下去就可以把任何一個二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.3 用正交變換方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義3.11 設(shè)為實(shí)階方陣,如果,則稱為正交矩陣.定義3.21 若變換的矩陣是正交矩陣,則稱這個線性變換是正交變換.定義3.32 設(shè)為數(shù)域上兩個階矩陣,如果可以找到數(shù)域上的階可逆矩陣,使得,就說相似于.定義3.42 設(shè)為階方陣, 是一個數(shù),如果存在非零向量,使得成立,則稱是的一個特征值,為的屬于特征值的特征向量.含有未知量的矩陣稱為的特征矩陣,其行列式為的次多項(xiàng)式,稱為的特征多項(xiàng)式, 稱為的特征方程.定義3.52 設(shè)向量,數(shù)量稱為向量與的內(nèi)積,記為.定義3.62 如果兩個向量與的內(nèi)積等于0,即,則稱向量

12、與是正交的.定義3.71 若非零向量組兩兩正交,即,.則稱該向量組為一個正交向量組.若一個正交向量組的每一個向量都是單位向量,則稱該向量組為一個正交單位向量組.引理3.11 設(shè)是一個線性無關(guān)向量組,令 (3-1).則是一個正交向量組,并且向量組與等價.由式(3-1)生成正交向量組的方法稱為施密特正交化方法.定理3.14 階矩陣是正交矩陣的充分必要條件為的個列向量是兩兩正交的單位向量.證明 由定義3.1 有 (3-2),比較式(3-2)兩邊的對應(yīng)元素,知成立的充分必要條件為的元素滿足關(guān)系式,(), (3-3)其中,而式(3-3)表示矩陣的個列向量是兩兩正交的單位向量.定理3.22 如果階矩陣與相

13、似,則有相同的特征值.證明 因?yàn)榕c相似,所以存在階可逆矩陣,使得,而,所以與有相同的特征多項(xiàng)式,于是與有相同的特征值.定理3.34 實(shí)對稱矩陣的對應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交.證明 設(shè)是實(shí)對稱矩陣, 分別是的屬于不同特征值的特征向量,由題設(shè)知 ,.于是 .移項(xiàng),得,但, 所以,即.所以與正交.定理3.49 對于任意一個階實(shí)對稱矩陣,都存在一個階正交矩陣,使得,其中是的全部特征值. 證明 利用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時,定理結(jié)論顯然成立.假設(shè)對階實(shí)對稱矩陣定理已經(jīng)成立,下面證明對階實(shí)對稱矩陣也成立.令是一個階實(shí)對稱矩陣,設(shè)是的屬于特征值的一個單位特征向量,現(xiàn)選個非零向量,使得兩兩正交.由施密特正交化

14、方法得到個兩兩正交的單位向量,再以為列向量構(gòu)成矩陣,是一個正交矩陣,即.由于是的屬于特征值的一個特征向量,于是記.那么. .又由于是對稱矩陣,所以,且是一個階對稱矩陣,由歸納假設(shè),存在一個階正交矩陣,使得.于是.令.容易看出是一個階正交矩陣,又是兩個正交矩陣的乘積仍是正交矩陣.記,得由于與相似,由定理3.2, 它們有相同的特征值,因而,主對角線上的元素就是的全部特征值,定理得證.定理3.517 實(shí)二次型必可由正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 即 ,其中為的特征值.證明 由于實(shí)二次型對應(yīng)的矩陣是實(shí)對稱矩陣,根據(jù)定理3.4存在階正交矩陣,使成對角形.設(shè)注意到 兩邊取行列式,即得可見,正是的全部特征值. 現(xiàn)在,令

15、,那么 至此,定理得證.從定理3.5我們可以知道:如果實(shí)對稱矩陣有個兩兩正交的單位特征向量.分別對應(yīng)于特征值,那么，把作為矩陣的列向量,由定理3.1知矩陣就是正交矩陣,從而知道正交變換可以使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.下面把用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟歸納如下:(1) 首先求出實(shí)對稱矩陣的全部特征值(可能有相同的)(2) 求出矩陣的屬于每一個特征值的線性無關(guān)的特征向量(總的個數(shù)為),即對于各個不同的特征值,求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系. (3)因?yàn)閷儆诓煌卣髦档奶卣飨蛄渴窍嗷フ坏?定理3.3).所以對于每個重?cái)?shù)為1的那些特征值的特征向量只需將其單位化.對于每個重?cái)?shù)為的特征值,先求出個線性無關(guān)的

16、特征向量,然后應(yīng)用施密特正交化方法,得到屬于這重特征值的個相互正交的單位特征向量.(4)把這個相互正交的單位特征向量作為矩陣的列,得到一個正交矩陣,就是使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換.例 312 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解 (1)寫出此二次型的矩陣.(2)求出的特征值由,得為的特征值.(3)求出相應(yīng)的特征向量當(dāng)時,由,即解齊次線性方程組,解得基礎(chǔ)解系(即為特征向量) .當(dāng)時,由,即解齊次線性方程組,解得基礎(chǔ)解系(即為特征向量) .當(dāng)時,由,即解方程組,解得基礎(chǔ)解系(即為特征向量) .(4) 正交單位化由于為對應(yīng)于不同特征值的特征向量，正交,只需單位化即可, 令,則為正交矩陣.(5)作正交變換

17、化標(biāo)準(zhǔn)形作正交變換,即,那么例416 試求一個正交變換,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解 (1)求出的特征值的矩陣，的特征方程為.將上面行列式的第二,三,四列加到第一列上,得到，然后將第二,三,四行各減去第一行,得到，故特征值為.（2）求出標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量對應(yīng)于,解齊次線性方程組,即求得基礎(chǔ)解系: .施密特正交化后,得到方程組解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基,也就是的對應(yīng)于的三個兩兩正交的單位特征向量, , .對應(yīng)于,解齊次線性方程組或即，此方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個解向量,單位化以后對應(yīng)于的單位特征向量.（3）結(jié)論因?yàn)閷?yīng)于不同特征值的特征向量是正交的,所以是兩兩正交的單位特征向量,把它們作為矩陣的列,就得到

18、正交矩陣，容易驗(yàn)證，故通過正交變換,即可將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.4 用初等變換方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 定義4.11 對單位矩陣施行一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣. 因?yàn)槌醯茸儞Q有3種,所以初等矩陣也有3類,每個初等行變換都有一個初等矩陣與之對應(yīng).(1)單位矩陣的第行與第行互換后,得.(2)用非零常數(shù)乘單位矩陣的第行 ,得.,. (3)把單位矩陣的第行的倍加到第行上,得.同樣可以得到與列變換相應(yīng)的初等矩陣.并且容易看出對作一次初等列變換所得到的矩陣也包括在上述這三類矩陣中,其中即是把的第列的倍加到第列上而得到的矩陣 ,因此上述三類矩陣也就是全部的初等矩陣. 定義4.24 數(shù)域上矩陣的下列初等變

19、換稱為矩陣合同變換.(1)換法合同變換:交換矩陣的第列,再交換所得矩陣的第行.(2)倍法合同變換:用中的非零數(shù)乘矩陣的第列 ,再用乘所得矩陣的第行.(3)消法合同變換:把第列的倍加到第列,再把所得矩陣的第行的倍加到第行.引理4.116 初等矩陣具有以下性質(zhì):(1)三類初等矩陣的行列式: .由此可見三種初等矩陣均可逆,并且易知其逆為:.(2)三類初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣: 由此可見,三種初等矩陣的逆及其轉(zhuǎn)置還是初等矩陣,并且其類型也不變.引理4.28 對一矩陣施行初等行變換,相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣左乘;而對施行初等列變換,相當(dāng)于用相應(yīng)的初等矩陣右乘.引理4.38 階方陣可逆的充分必要條件是可表示稱若干

20、個初等矩陣之積.由于二次型與其標(biāo)準(zhǔn)形等價,而標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角矩陣,從而用矩陣語言可將定理2.1表述為：引理4.43 數(shù)域上的任一個階對稱矩陣均合同于一個對角矩陣.下面討論利用矩陣的初等變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.設(shè)是數(shù)域上的一個階對稱矩陣,由引理4.4可知,存在一個階可逆矩陣,使.由可逆,故可以表示成一些初等矩陣的乘積,即,故 . 這說明,經(jīng)過一系列初等變換可化成對角矩陣.由于初等矩陣有三種類型,且，于是我們有,這相當(dāng)于把的第列互換 ,再把所得矩陣的第行互換；而，相當(dāng)于把的第列乘上非零數(shù),再把所得矩陣的第行乘上數(shù).又，相當(dāng)于把的第行的倍加到第行,再把所得矩陣的第行的倍加到第行.綜上所述,若

21、是一個初等矩陣,則式相當(dāng)于對進(jìn)行一次初等列變換,再對所得矩陣進(jìn)行一次同樣類型的初等行變換.定理 4.13 設(shè)為數(shù)域上的階矩陣,若對階矩陣的前行,列進(jìn)行合同變換化為,則可逆,且.證明 由條件可知,存在階可逆矩陣,且令,使故,且可逆.由定理4.1可知,若為二次型的矩陣,用合同變換將化為,其中,則相當(dāng)于用非退化線性變換,將二次型,化成標(biāo)準(zhǔn)形. 這種方法我們稱為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換方法.操作方法是：將二次型矩陣寫在單位矩陣的上面，構(gòu)成分塊矩陣，先對分塊矩陣的列作初等變換，然后對的行作相同內(nèi)容的初等行變換，當(dāng)二次型的矩陣化為對角矩陣時，單位矩陣就化為可逆矩陣.例 516 用初等變換方法化二次型為標(biāo)

22、準(zhǔn)形,并寫出所用的非退化線性變換.解 的矩陣為,構(gòu)造分塊矩陣，先對此矩陣作初等列變換，然后對A的行作相同內(nèi)容的初等行變換：.故的標(biāo)準(zhǔn)形為,所作的非退化線性變換為,其中.注：此例題的第一次初等列變換是先把矩陣的第一列乘2，然后分別加到第二列、第三列上，相同內(nèi)容的行變換也就是把第一行乘2然后分別加到第二行、第三行上；第二次初等列變換是先把矩陣的第二列乘1，然后加到第三列上，相同內(nèi)容的行變換也就是把第二行乘1然后加到第三行上.5 Jacobi方法引理5.118 設(shè)二次型矩陣的個順序主子式均不為零 ，則二次型可化為標(biāo)準(zhǔn)形 .例 618 用Jacobi方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解 二次型的矩陣，的順序主子式

23、， 6 討論在實(shí)際應(yīng)用中，我們要根據(jù)要求選用不同的方法解題，配方法的優(yōu)點(diǎn)是方法初等，易于接受，但是當(dāng)元數(shù)較多時，由于計(jì)算過于復(fù)雜，往往不被采用；矩陣初等變換法比較簡單而實(shí)用，且適用于元數(shù)較多情形；正交變換法算法科學(xué)、有序、穩(wěn)定，最大的優(yōu)點(diǎn)是某個問題經(jīng)正交變化為標(biāo)準(zhǔn)形后，其幾何圖形保持不變；Jacobi方法簡單，易于操作，但沒有給出相應(yīng)的非奇異線性變換. 對于二次型的標(biāo)準(zhǔn)形我們還要注意兩點(diǎn)：1）：一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的；2）：任何一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中含的總項(xiàng)數(shù)就是該二次型的秩數(shù)，而且，當(dāng)限定變換為實(shí)可逆線性變換時，標(biāo)準(zhǔn)形中的正系數(shù)的個數(shù)與負(fù)系數(shù)的個數(shù)不變.參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代

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