數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和

1、數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和一選擇題（共2小題）1（2014秋葫蘆島期末）已知函數(shù)f（x）=xa的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），令an=，nN*，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2015=（）A1B1C1D12（2014春池州校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=x2cos（x），若an=f（n）+f（n+1），則ai=（）A2015B2014C2014D2015二填空題（共8小題）3（2015春溫州校級(jí)期中）設(shè)，若0a1，則f（a）+f（1a）=，=4（2011春?jiǎn)|市校級(jí)月考）Sn=12+34+56+（1）n+1n，則S100+S200+S301=5（2010武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列an滿(mǎn)足，a1=1，Sn是

2、an的前n項(xiàng)和，則S21=6（2012新課標(biāo)）數(shù)列an滿(mǎn)足an+1+（1）nan=2n1，則an的前60項(xiàng)和為7（2015張家港市校級(jí)模擬）已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an+1an=2n（nN*），則S2012=8（2009上海模擬）在數(shù)列an中，a1=0，a2=2，且an+2an=1+（1）n（nN*），則s100=9（2012江蘇模擬）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，則|a1|+|a2|+|an|=10（2013春溫州期中）等比數(shù)列an中，若a1=，a4=4，則|a1|+|a2|+|an|=三解答題（共15小題）11在數(shù)列an中，a1=18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+|an|12（

3、2010云南模擬）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=25n2n2（1）求證：an是等差數(shù)列（2）求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn13已知在數(shù)列an中，若an=2n3+，求Sn14（2014海淀區(qū)校級(jí)模擬）求和：Sn=1+2x+3x2+nxn115求下列各式的值：（1）（21）+（22+2）+（233）+2n+（1）nn；（2）1+2x+4x2+6x3+2nxn16（2010春寧波期末）在坐標(biāo)平面 內(nèi)有一點(diǎn)列An（n=0，1，2，），其中A0（0，0），An（xn，n）（n=1，2，3，），并且線(xiàn)段AnAn+1所在直線(xiàn)的斜率為2n（n=0，1，2，）（1）求x1，x2（2）求出數(shù)列xn的通項(xiàng)公式xn（3）

4、設(shè)數(shù)列nxn的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn17（2013秋嘉興期末）已知等差數(shù)列an的公差大于0，a3，a5是方程x214x+45=0的兩根（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）記，求數(shù)列bn的前n和Sn18（2014秋福州期末）已知等比數(shù)例an的公比q1，a1，a2是方程x23x+2=0的兩根，（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn19（2011春孝感月考）求和：Sn=（x+）2+（x2+）2+（xn+）220（2014春龍子湖區(qū)校級(jí)期中）求數(shù)列n前n項(xiàng)和Sn21（2011秋文水縣期中）已知數(shù)列an中，an=2n33，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn22數(shù)列an中，an=n2n，

5、求Sn23已知數(shù)列an中，an=（2n1）3n，求Sn24求數(shù)列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，的前n項(xiàng)和Sn25已知數(shù)列an中，試求數(shù)列an的前n項(xiàng)之和Sn數(shù)列倒序相加、錯(cuò)位相減、分組求和參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1（2014秋葫蘆島期末）已知函數(shù)f（x）=xa的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），令an=，nN*，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S2015=（）A1B1C1D1【解答】解：函數(shù)f（x）=xa的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則：4a=2，解得：a=，所以：f（x）=，則：，=則：Sn=a1+a2+an=，則：，故選：D2（2014春池州校級(jí)期末）已知函數(shù)f（x）=x2

6、cos（x），若an=f（n）+f（n+1），則ai=（）A2015B2014C2014D2015【解答】解：函數(shù)f（x）=x2cos（x），若an=f（n）+f（n+1），ai=（a1+a3+a5+a2013）+（a2+a4+a6+a2014）=（3+7+11+4027）（5+9+13+4029）=21007=2014故選：B二填空題（共8小題）3（2015春溫州校級(jí)期中）設(shè)，若0a1，則f（a）+f（1a）=1，=1007【解答】解：，當(dāng)0a1時(shí)，f（a）+f（1a）=+=+=+=1，故=10071=1007，故答案為：1，10074（2011春?jiǎn)|市校級(jí)月考）Sn=12+34+56+（1

7、）n+1n，則S100+S200+S301=1【解答】解：由題意可得，S100=12+34+99100=50，S200=12+34+199200=100s301=12+34+299300+301=150+301=151s100+s200+s301=50100+151=1故答案為：15（2010武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列an滿(mǎn)足，a1=1，Sn是an的前n項(xiàng)和，則S21=6【解答】解：，a1+a2=a2+a3，a1=a3，a3+a4=a4+a5a1=a3=a5=a2n1，即奇數(shù)項(xiàng)都相等a21=a1=1S21=（a1+a2）+（a3+a4）+（a19+a20）+a21=10+1=6答案：66（2012新

8、課標(biāo)）數(shù)列an滿(mǎn)足an+1+（1）nan=2n1，則an的前60項(xiàng)和為1830【解答】解：，令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）（a4n+2a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，則bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n1+a4n+16=bn+16數(shù)列bn是以16為公差的等差數(shù)列，an的前60項(xiàng)和為即為數(shù)列bn的前15項(xiàng)和b1=a1+a2+a3+a4=10=18307（2015張家港市校級(jí)模擬）已知數(shù)列an滿(mǎn)

9、足a1=1，an+1an=2n（nN*），則S2012=3210063【解答】解：數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，anan+1=2n，nN*n=1時(shí)，a2=2，anan+1=2n，n2時(shí)，anan1=2n1，=2，數(shù)列an的奇數(shù)列、偶數(shù)列分別成等比數(shù)列，S2012=+=3210063故答案為：32100638（2009上海模擬）在數(shù)列an中，a1=0，a2=2，且an+2an=1+（1）n（nN*），則s100=2550【解答】解：據(jù)已知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+2an=0an=0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+2an=2an=n，S100=0+2+4+6+100=0+50=2550故答案為：25509（2012江蘇模

10、擬）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，則|a1|+|a2|+|an|=leftbeginarrayln2+4n1，1n2n24n+7，n3endarrayright.【解答】解：Sn=n24n+1，an=，當(dāng)n2時(shí)，an0，S1=|a1|=a1=2，S2=|a1|+|a2|=a1a2=3；當(dāng)n3，|a1|+|a2|+|an|=a1a2+a3+an=2S2+Sn=n24n+7|a1|+|a2|+|an|=故答案為：10（2013春溫州期中）等比數(shù)列an中，若a1=，a4=4，則|a1|+|a2|+|an|=2n1frac12【解答】解：a1=，a4=4，4=q3，解得q=2即數(shù)列an是以為首項(xiàng)，以2為公比

11、的等比數(shù)列則數(shù)列|an|是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列故|a1|+|a2|+|an|=2n1故答案為：2n1三解答題（共15小題）11在數(shù)列an中，a1=18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+|an|【解答】解：數(shù)列an中，a1=18，an+1=an+2，an是首項(xiàng)為18，公差為2的等差數(shù)列，an=18+（n1）2=2n20，由an=2n200，n10，設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n10時(shí)，|a1|+|a2|+|an|=Sn=18n+=n2+19n當(dāng)n10時(shí)，：|a1|+|a2|+|an|=Sn2S10=n219n+180|a1|+|a2|+|an|=12（2010云南模擬）已知數(shù)

12、列an的前n項(xiàng)和Sn=25n2n2（1）求證：an是等差數(shù)列（2）求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn【解答】解：（1）證明：n=1時(shí)，a1=S1=23n2時(shí)，an=SnSn1=（25n2n2）25（n1）2（n1）2=274n，而n=1適合該式于是an為等差數(shù)列（2）因?yàn)閍n=274n，若an0，則n，當(dāng)1n6時(shí)，Tn=a1+a2+an=25n2n2，當(dāng)n7時(shí)，Tn=a1+a2+a6（a7+a8+an）=S6（SnS6）=2n225n+156，綜上所知13已知在數(shù)列an中，若an=2n3+，求Sn【解答】解：數(shù)列an中，若an=2n3+，可知數(shù)列是等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和的數(shù)列，Sn=（1+1+3

13、+5+（2n3）+（+）=+=n（n2）+1=n22n+114（2014海淀區(qū)校級(jí)模擬）求和：Sn=1+2x+3x2+nxn1【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，Sn=1；當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+n=；當(dāng)x1，且x0時(shí)，Sn=1+2x+3x2+nxn1，xSn=x+2x2+3x3+nxn（1x）Sn=1+x+x2+x3+xn1nxn=，x=0時(shí)，上式也成立，x1Sn=15求下列各式的值：（1）（21）+（22+2）+（233）+2n+（1）nn；（2）1+2x+4x2+6x3+2nxn【解答】解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1+23+（1）nn=n=，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1+23+（1）nn=，又2+22+23+

14、2n+=2n+12，記Sn=（21）+（22+2）+（233）+2n+（1）nn，Sn=；（2）記Sn=1+2x+4x2+6x3+2nxn，則當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+4+6+2n=1+2=n2+n+1；當(dāng)x1時(shí)，xSn=x+2x2+4x3+2nxn+1，（1x）Sn=1+x+2（x2+x3+xn）2nxn+1=1+x+22nxn+1，Sn=+2；綜上所述，Sn=16（2010春寧波期末）在坐標(biāo)平面 內(nèi)有一點(diǎn)列An（n=0，1，2，），其中A0（0，0），An（xn，n）（n=1，2，3，），并且線(xiàn)段AnAn+1所在直線(xiàn)的斜率為2n（n=0，1，2，）（1）求x1，x2（2）求出數(shù)列xn的通項(xiàng)

15、公式xn（3）設(shè)數(shù)列nxn的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直線(xiàn)A0A1的斜率為20=1，x1=1直線(xiàn)A1A2的斜率為2，（2）當(dāng)n1時(shí)，An（xn，n），An+1（xn+1，n+1），累加得：，檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)也成立，（3），令bn=2n，對(duì)應(yīng)的前n項(xiàng)和Tn=n（n+1）令兩式相減得：17（2013秋嘉興期末）已知等差數(shù)列an的公差大于0，a3，a5是方程x214x+45=0的兩根（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）記，求數(shù)列bn的前n和Sn【解答】解 （1）a3，a5是方程x214x+45=0的兩根，且數(shù)列an的公差d0，解方程x21

16、4x+45=0，得x1=5，x2=9，a3=5，a5=9，（2分），解得（4分）an=a1+（n1）d=2n1（6分）（2）an=2n1，（8分）（9分）（11分）（13分）數(shù)列bn的前n項(xiàng)和：（14分）18（2014秋福州期末）已知等比數(shù)例an的公比q1，a1，a2是方程x23x+2=0的兩根，（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和Sn【解答】解：（1）方程x23x+2=0的兩根分別為1、2，（1分）依題意得a1=1，a2=2，（2分）所以q=2，（3分） 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n1；（4分）（2）由（1）知2nan=n2n，（5分）所以Sn=12+222+n2

17、n，2Sn=122+223+（n1）2n+n2n+1，由得：Sn=2+22+23+2nn2n+1，（8分）即Sn=n2n+1，（11分）所以Sn=2+（n1）2n+1（12分）19（2011春孝感月考）求和：Sn=（x+）2+（x2+）2+（xn+）2【解答】解：當(dāng)x=1時(shí)，（xn+）2=4，Sn=4n，當(dāng)x1時(shí)，an=x2n+2+，Sn=（x2+x4+x2n）+2n+（+）=+2n=+2n，所以當(dāng)x=1時(shí)，Sn=4n；當(dāng)x1時(shí)，Sn=+2n20（2014春龍子湖區(qū)校級(jí)期中）求數(shù)列n前n項(xiàng)和Sn【解答】解：數(shù)列n前n項(xiàng)和Sn，（3分）Sn=，（6分），得：Sn=1（10分）Sn=2（13分）2

18、1（2011秋文水縣期中）已知數(shù)列an中，an=2n33，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn【解答】解：令an=2n330，解得n，所以當(dāng)n16時(shí)，an0，又a1=233=31，則數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn=32nn2；當(dāng)n17時(shí)，an0，則數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn=S16+Sn16=+=n232n+512，綜上，Sn=22數(shù)列an中，an=n2n，求Sn【解答】解法一：Sn=12+222+323+n2n，2Sn=122+223+324+n2n+1，兩式相減可得，Sn=2+22+23+2nn2n+1=n2n+1化簡(jiǎn)可得Sn=2+（n1）2n+1解法二、由an=n2n=（n1）2n+1（n2）2n，可得Sn=0（1）2+180+22418+（n2）2n（n3）2n1+（n1）2n+1（n2）2n=2+（n1）2n+123已知數(shù)列an中，an=（2n1）3n，求Sn【解答】解：an=（2n1）3n，Sn=3+332+533+（2n1）3n，3Sn=32+333+534+（2n3）3n+（2n1）3n+1，2Sn=3+232+233+23n（2n1）3n+1=3（2n1）3n+1=（22n）3n+16，Sn=（n1）3n+1+324求數(shù)列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，的前n項(xiàng)和Sn【解答】解：由題意知，當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a1由等比數(shù)列的求和公式