5_1定積分的概念

1、第五章,積分學,不定積分,定積分,定積分,第一節(jié),一、定積分問題舉例,二、 定積分的定義,三、 定積分的性質,定積分的概念及性質,一、定積分問題舉例,1. 曲邊梯形的面積,設曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成 ,求其面積 A .,矩形面積,梯形面積,解決步驟 :,1) 大化小.,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點,用直線,將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;,2) 常代變.,在第i 個窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應,窄曲邊梯形面積,得,3) 近似和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,2. 變速直線運動的路程,設某物體作直線運動,

2、且,求在運動時間內物體所經(jīng)過的路程 s.,解決步驟:,1) 大化小.,將它分成,在每個小段上物體經(jīng),2) 常代變.,得,已知速度,n 個小段,過的路程為,3) 近似和.,4) 取極限 .,上述兩個問題的共性:,解決問題的方法步驟相同 :,“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ”,所求量極限結構式相同:,特殊乘積和式的極限,二、定積分定義,任一種分法,任取,總趨于確定的極限 I ,則稱此極限 I 為函數(shù),在區(qū)間,上的定積分,即,此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .,記作,定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 ,而與積分,變量用什么字母表示無關 ,即,定積分的幾何意義:,曲邊梯形

3、面積,曲邊梯形面積的負值,各部分面積的代數(shù)和,定理1.,定理2.,且只有有限個間斷點,可積的充分條件:,(證明略),例1. 利用定義計算定積分,解:,將 0,1 n 等分, 分點為,取,例2. 用定積分表示下列極限:,解:,說明:,根據(jù)定積,分定義可得如下近似計算方法:,將 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森,公式, 復化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學軟件可供調用.,三、定積分的性質,(設所列定積分都存在),( k 為常數(shù)),證:,= 右端,證: 當,時,因,在,上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠取 c 為分點 ,于是,當 a , b , c 的相對位置任意時, 例如,則有,6. 若在 a , b 上,則,證:,推論1. 若在 a , b 上,則,推論2.,證:,即,7. 設,則,例3. 試證:,證: 設,即,故,即,8. 積分中值定理,則至少存在一點,使,證:,則由性質7 可得,根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使,因此定理成立.,說明:,可把,故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣.,積分中值定理對,因,例4.,計算從 0 秒到 T 秒這段時間內自由落體的平均,速度.,解: 已知自由落體速度為,故所求平均速度,內容小結,1. 定積分的定