簡單幾何體的外接球與內切球問題

1、簡單幾何體的外接球與內切球問題定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球。1、內切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。5、體積分割是求內切球半徑的通用做法。一、 直棱柱的外接球1、 長方體的外接球：長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角

2、線長為，幾何體的外接球直徑為體對角線長 即2、 正方體的外接球：正方體的棱長為，則正方體的體對角線為，其外接球的直徑為。3、 其它直棱柱的外接球：方法：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。例1、一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 .例2、已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A. B. C. D.二、 棱錐的外接球1、 正棱錐的外接球方法：球心在正棱錐的高線上，根據球心到各個頂點的距離是球半徑，列出關于半徑的方程。例3、正四棱錐的底面邊長和

3、各側棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為 .例5、若正四面體的棱長為4，則正四面體的外接球的表面積為_。例6、一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是：（ ） （A） (B) (C) (D) 2、 補體方法的應用（1）、正四面體（2）、三條側棱兩兩垂直的三棱錐（3）、四個面均為直角三角形的三棱錐例7、如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4和3，那么它的外接球的體積是 。例9、在三棱錐中，,則三棱錐外接球的表面積_。例10、如圖為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為()A. 4 B. 8 C. 12 D

4、. 16三、 圓柱、圓錐的外接球旋轉體的外接球，可以通過研究軸截面求球的半徑。例11、圓柱的底面半徑為4，母線為8，求該圓柱的外接球的半徑。例12、圓錐的底面半徑為2，母線長為4，求該圓錐的外接球的半徑。四、 正方體的內切球設正方體的棱長為，求（1）內切球半徑；（2）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形的內切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點為各棱的中點，作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。圖1圖2五、 棱錐的內切球（分割法）將內切球的球心與棱錐的各個頂點連線，將棱錐分割成以原棱錐的面為底面，內切球的半徑為高的小棱錐，根據分割前后的體積相等，列出關于半徑R的方程。

5、若棱錐的體積為V，表面積為S，則內切球的半徑為.例17、正四棱錐，底面邊長為2，側棱長為3，則內切球的半徑是多少？例18、三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形， 底面，且，則此三棱錐內切球的半徑為（ ）六、 圓柱（軸截面為正方形）、圓錐的內切球（截面法）例19、圓錐的高為4，底面半徑為2，求該圓錐內切球與外接球的半徑比。例20、圓柱的底面直徑和高都是6，求該圓柱內切球的半徑。鞏固訓練：ABCPDEF1、一個正三棱柱恰好有一個內切球(球與三棱柱的兩個底面和三個側面都相切)和一個外接球(球經過三棱柱的6個頂點),則此內切球與外接球表面積之比為 。2、如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐，則此正六棱錐的側面積是_3、棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 .4、已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上,是邊長為的正三角形,為球