初中數(shù)學(xué)阿氏圓最值模型歸納

1、幾何模型 :阿氏圓最值模型【模型來(lái)源】“阿氏圓 又稱(chēng)為 “阿波羅尼斯圓”,如下圖 ,已知 A 、B 兩點(diǎn) ,點(diǎn) P 滿(mǎn)足 PA:P =k(k 1),則滿(mǎn)足條件得所有得點(diǎn)得軌跡構(gòu)成得圖形為圓。這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱(chēng)“阿氏圓 。PABO【模型建立】如圖 1 所示 , O 得半徑為 ,點(diǎn) A、 B 都在 O 外 ,P 為 O 上一動(dòng)點(diǎn) ,已知 R=OB, 連接 PA、 P ,則當(dāng)“ A+PB”得值最小時(shí) ,P 點(diǎn)得位置如何確定？解決辦法 :如圖 2,在線(xiàn)段OB 上截取 C 使 = ,則可說(shuō)明 P與 C相似 ,則有 B=PC 。故本題求“ PA B ”得最小值可以轉(zhuǎn)化為“A+

2、C”得最小值 ,其中與 A 與 C 為定點(diǎn) ,P 為動(dòng)點(diǎn) ,故當(dāng)A 、 P、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí) ,“ P”值最小。【技巧總結(jié)】計(jì)算得最小值時(shí),利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等構(gòu)造母子型相似三角形問(wèn)題 :在圓上找一點(diǎn)P 使得得值最小,解決步驟具體如下:1.如圖 ,將系數(shù)不為1 得線(xiàn)段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,OB2. 計(jì)算出這兩條線(xiàn)段得長(zhǎng)度比3. 在 B 上取一點(diǎn) C,使得 ,即構(gòu)造 POM BOP,則 ,4. 則 ,當(dāng) A 、P、 C 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)可得最小值典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題 1、 如圖 ,在 R ABC 中 , =90,A =4,BC=3, 以點(diǎn) C 為圓心 ,為半徑作圓 ,分別交 AC 、B 于

3、D 、兩點(diǎn) ,點(diǎn) P 就是圓 C 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,則得最小值為 _。AADPDPMCEBCB【分析】這個(gè)問(wèn)題最大得難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化,此處 P 點(diǎn)軌跡就是圓 ,注意到圓半徑為2,A=4,連接 CP,構(gòu)造包含線(xiàn)段A得 CPA,在邊上取點(diǎn)M 使得 C 2,連接 M, 可得 CP CMP,故 PA: 2:1,即 PM=.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PM+ 最小值,故當(dāng) B, ,M 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)得最小值,直接連 BM 即可得 .變式練習(xí)1.如圖 1,在 R A中 , C = 0 ,C ,CA=6,圓 C 得半徑為 2,點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)求 , , ,得最小值。,連接AP,BP 答案 : , = , =, =.例題。如圖 ,點(diǎn) C 坐

4、標(biāo)為 (2,5),點(diǎn) A 得坐標(biāo)為 ( ,0), C 得半徑為 ,點(diǎn) B 在 C 上一動(dòng)點(diǎn) ,得最小值為 _ _ _、 答案 :、變式練習(xí) 。 如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系xoy 中 ,A( , 1),M( , ),以 M 為圓心 ,為半徑畫(huà)圓 ,為原點(diǎn) ,P 就是上一動(dòng)點(diǎn) ,則 O+2PA得最小值為 _ _、答案 :10.例題 3。 如圖 ,半圓得半徑為1,AB 為直徑 ,C、D 為切線(xiàn) ,AC=1,BD 2,P 為上一動(dòng)點(diǎn) ,求 PC+PD 得最小值 .【解答】解 :如圖當(dāng) A、P、 D 共線(xiàn)時(shí) ,PC+PD 最小 .理由 :連接 PB、 C,A 與O 交于點(diǎn) M,AB =BD = , 就是切

5、線(xiàn) , ABD =0, BAD =45, AB 就是直徑 , AB=90, PAB= PBA 4 , PA PB,PO AB, PO=,AC P, 四邊形 AOP 就是平行四邊形 , OA=P,AO 90, 四邊形 AOPC 就是正方形 ,PP, C+PD PM + =DM ,DM CO, 此時(shí) P+DP 最小 AD AM 2 =、變式練習(xí) .如圖 ,四邊形 AD 為邊長(zhǎng)為 4 得正方形 , B 得半徑為 2,就是 上一動(dòng)點(diǎn) ,則 D C 得最小值為5 ;PD+ P得最小值為 10 .【解答】解 : 如圖 ,連接 PB、在 B上取一點(diǎn)E,使得 E 1. PB2=4,BE?BC 4,PB2 E?

6、, , PBE CB, PBE CE, = , P PC=PD+P, PE+PD DE ,在 Rt DCE 中 ,DE 5, PD +P得最小值為 5. 連接 DB,PB ,在 BD 上取一點(diǎn)E,使得 BE ,連接 E,作 F BC 于 F。 PB =4,BE?D 44, BP2 BE?BD, , PE= PBD, PBE D P, , E=PD , PE PCEC,在 EC 中,F=,FC=, E=, D PC 得最小值為10。故答案為5,、例題 . 如圖 ,已知正方 A CD 得邊長(zhǎng)為 6,圓 B 得半徑為,點(diǎn) P 就是圓上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則得最大值為_(kāi) _.【分析】當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 BC 邊上時(shí)

7、,此時(shí) P 3,根據(jù)題意要求構(gòu)造 ,在 C 上取 M 使得此時(shí) P ,則在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)得任意時(shí)刻 ,均有 PM ,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 D P得最大值、連接 PD,對(duì)于 PD ,PD PMDM,故當(dāng) D 、 P 共線(xiàn)時(shí) ,PDPM=DM 為最大值 .ADADADADPPPBMCBMCBMCBMCP變式練習(xí)4.(1) 如圖 1,已知正方形 ACD 得邊長(zhǎng)為9,圓 B 得半徑為 6,點(diǎn) P 就是圓 B 上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,那么 P+得最小值為 ,PD得最大值為。( )如圖 ,已知菱形 ABCD 得邊長(zhǎng)為 , 0,圓 B 得半徑為 ,點(diǎn) P 就是圓 B 上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,那么 PD +得最小值為,P得最大值

8、為。圖【解答】解1:( )如圖3 中 ,在 C圖 2上取一點(diǎn)G,使得B=4。 , =, , PBG PBC, P CB, , G=PC, PD +PC P+G, DP GDG , 當(dāng) D、 G、 P 共線(xiàn)時(shí) ,D +PC 得值最小 ,最小值為 G=. PD PCP PGDG ,當(dāng)點(diǎn) 在 DG 得延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí) ,PD P得值最大 ,最大值為 G=.故答案為 ,(2)如圖 4 中 ,在 BC 上取一點(diǎn)G,使得 BG=1, 作 DF BC 于 F 。 = 2, , =, BG PBC, B CBP , =, G=PC, P+ C= +PG, DP +DG ,當(dāng) D、 、 P 共線(xiàn)時(shí) ,PD+PC 得值

9、最小 ,最小值為 DG , 在 R CF 中, DC 60,C =,在 RtGDF 中 ,DG= PD P PD PGD,當(dāng)點(diǎn) P 在 DG 得延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),P P得值最大 (如圖 2 中 ),最大值為 G。故答案為 ,、例題 5。 如圖 ,拋物線(xiàn) = x2+bx與直線(xiàn)AB 交于 A( , 4), (0, )兩點(diǎn) ,直線(xiàn) AC: = x 6 交軸于點(diǎn) C.點(diǎn) E 就是直線(xiàn) AB 上得動(dòng)點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) E 作 EF軸交 AC 于點(diǎn) F,交拋物線(xiàn)于點(diǎn) . ( )求拋物線(xiàn) x2 b +c 得表達(dá)式 ;(2)連接 GB,EO,當(dāng)四邊形GEO就是平行四邊形時(shí),求點(diǎn) G 得坐標(biāo) ;(3)在 y 軸上存在一點(diǎn),連

10、接 ,HF,當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以 A,E, ,為頂點(diǎn)得四邊形就是矩形?求出此時(shí)點(diǎn) E,H 得坐標(biāo) ;在得前提下 ,以點(diǎn)為圓心 ,EH 長(zhǎng)為半徑作圓 ,點(diǎn) M 為 E 上一動(dòng)點(diǎn) ,求 M+CM 它得最小值 .【解答】解 :(1)點(diǎn) A( , 4),B(0,4)在拋物線(xiàn) = x2+bx+c 上 , ,拋物線(xiàn)得解析式為y= 2x+4;( )設(shè)直線(xiàn) A得解析式為y=kx過(guò)點(diǎn)A,B, , ,直線(xiàn) A得解析式為 y=2x+4, 設(shè) E(m,2m 4), G(, m+ ),四邊形 GE B 就是平行四邊形 , EG=O =4, 2 2m+4 2 4=4, m= 2, G( , );(3)如圖 1,

11、由 (2) 知 ,直線(xiàn)得解析式為 y=2x+4,設(shè) E(a, a+ ), 直線(xiàn) C:y= x 6, F(a,a 6),設(shè) H(0,p),以點(diǎn) A,E,F,H為頂點(diǎn)得四邊形就是矩形,直線(xiàn)得解析式為y=2x ,直線(xiàn) :y= x 6,AB , EF為對(duì)角線(xiàn) , ( 4 ) (a a),( 4+p)=(2a 4 a 6), a= 2,P= 1, ( 2, ).H( , 1);如圖 2,由知 ,E( 2,0),H( , 1),A( 4, 4), EH=,AE=2,設(shè) AE 交于 ,取 EG得中點(diǎn) P, =, 連接 PC交 E 于 M, 連接 M, M=EH=, =, ,=, PEM= MEA, PEM

12、E ,=,PM=A ,AM+C得最小值 =P ,設(shè)點(diǎn) (p,2p 4), E( ,0), PE2=( )2+(2p+4) 5( )2, PE=, 5(p+2)2=,p 或 p (由于 ( , ),所以舍去 ), P(, ), C(0, 6), PC= ,即:A+CM .變式練習(xí)5、如圖 1,拋物線(xiàn) y=ax2 (3)x+ (a0)與 x 軸交于點(diǎn) A(4,0),與 軸交于點(diǎn) B,在 x 軸上有一動(dòng)點(diǎn) (m,0)(m 4),過(guò)點(diǎn) E 作 軸得垂線(xiàn)交直線(xiàn) B 于點(diǎn) N,交拋物線(xiàn)于點(diǎn) P,過(guò)點(diǎn) 作 PM AB 于點(diǎn) .( )求 得值與直線(xiàn)A得函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè) PMN 得周長(zhǎng)為C1, A 得周長(zhǎng)為

13、C2,若 ,求 m 得值 ;(3)如圖 2,在 ( )條件下 ,將線(xiàn)段 OE 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 E,旋轉(zhuǎn)角為 (0 0),連接 EA、 B, 求 A+EB 得最小值 .【解答】解 :( )令 ,則 ax2 (a )x+ =0, (x+ )(ax 3) 0,x 1 或 , 拋物線(xiàn) y=ax2 (a+3) x+3(a )與 軸交于點(diǎn)A(4,0), =4, =。 (4,0), B(0,3),設(shè)直線(xiàn) AB 解析式為 =k+b,則,解得 , 直線(xiàn) A解析式為y=x 3.(2)如圖中 , M AB, OA, PMN = E, PM ANE, M AN, , E O, =, N (4 ), 拋物線(xiàn)解析式

14、為 x2 x , PN 2+m+3( m+3) m2+3, =,解得 m=、(3)如圖 2 中 ,在 y 軸上取一點(diǎn) M使得 OM 連=,接 AM ,在AM上取一點(diǎn)E使得 =OE. O=,OM ?B= , OE2=O?OB , =, BE=MOE, OE EOB, =, ME= , A+BE=AE+E= ,此時(shí) AE+BE最小(兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短,A、 M、 E共線(xiàn)時(shí) ),最小值 = =.達(dá)標(biāo)檢測(cè)領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)1。 如圖 ,在 RT A C 中 , B= 0 , BCB 2,以點(diǎn) B 為圓心作圓與AC 相切 ,圓 C 得半徑為 ,點(diǎn) P 為圓 B 上得一動(dòng)點(diǎn) ,求得最小值 . 答案 :、2。 如

15、圖 ,邊長(zhǎng)為 4 得正方形 ,內(nèi)切圓記為 O,就是 O 上一動(dòng)點(diǎn) ,則 PA+PB得最小值為 _ _、答案 :、3. 如圖 ,等邊 AB得邊長(zhǎng)為 6,內(nèi)切圓記為 O,P 就是 上一動(dòng)點(diǎn) ,則 2PB P得最小值為 _.答案 :。4。 如圖 ,在 Rt BC 中 , C=90 ,CA=3,C ,得半徑為2,點(diǎn) P 就是上得一動(dòng)點(diǎn),則得最小值為？5。 如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,P 就是 AO外部第一象限內(nèi)得一動(dòng)點(diǎn) ,且 B A=135 ,則得最小值就是多少？答案 6。 如圖 ,R ABC, A 0, BC 2,以 C 為頂點(diǎn)得正方形 DEF ( 、 D、 E、 F 四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?)

16、可以繞點(diǎn) C 自由轉(zhuǎn)動(dòng) ,且 CD ,連接 F,BD(1)求證 : BDC AFC ;(2)當(dāng)正方形 EF 有頂點(diǎn)在線(xiàn)段A上時(shí) ,直接寫(xiě)出B+AD 得值 ;(3)直接寫(xiě)出正方形CDEF 旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 ,D +AD 得最小值?！窘獯稹?(1) 證明 :如圖 1 中, 四邊形 CF 就是正方形 , C CD ,CF CB=9, F D , AC , FCA DCB(SAS)。( )解 : 如圖中 ,當(dāng)點(diǎn) ,E 在 AB 邊上時(shí) , AC BC 2, ACB 9, AB 2, CD B, D BD =, +A+1。 如圖 3 中 ,當(dāng)點(diǎn) E,F 在邊 AB 上時(shí) .B C, D= , BD +A=。(

17、3)如圖中 .取 AC 得中點(diǎn) M、連接 D ,BM . CD ,C=1,CA 2, CD 2 ?C, , DCM = AD, DCM ACD , , =AD, D+AD BD +D , 當(dāng) B, ,共線(xiàn)時(shí) ,BDAD 得值最小 ,最小值 =. (1) 如圖 1,在 AB 中 ,AB= ,就是 C 邊上得中線(xiàn) ,請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB 邊上得中線(xiàn) C,并證明D= :(2)如圖 ,已知點(diǎn) 就是邊長(zhǎng)為6 得正方形ABCD 內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn) ,P 3,求 C+得最小值 ;(3)如圖 ,在矩形 A 中 ,AB 1 ,BC ,點(diǎn) 就是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn) ,MA=1 ,當(dāng) MC+MD 最小時(shí) , 畫(huà)出點(diǎn) M 得位置 ,并求出 MC+M得最小值 .【解答】解 :(1)如圖 1 中 ,作線(xiàn)段 AB 得垂直平分線(xiàn)MN 交 A于點(diǎn) E,連接 。線(xiàn)段 E即為所求 ; AB= ,AE=E ,A=CD , A AD , A AC, A A,AD A, AD CA(SAS), D CE、(2)如圖中 ,在 AD 上截取 AE,使得 AE . A2= ,E?AD=6=9, PA2AE ?A, =,