二部分群論應(yīng)用一章點(diǎn)群.ppt

第二部分 群論應(yīng)用 第一章 點(diǎn)群,(一) 晶體點(diǎn)群 2 一, 晶體的點(diǎn)對(duì)稱性 (1) 晶體的周期性對(duì)晶體點(diǎn)對(duì)稱性的限制 晶格原子的周期性: l1 a1 + l2 a2+ l3 a3 ( 三維布拉伐格子 ) 取布拉伐格子中垂直于轉(zhuǎn)軸的晶面 l1 a1 + l2 a2 （二維布拉伐格子） A 和 B 是格點(diǎn), A 和 B 也是格點(diǎn), 則有 BA = m AB = m a1 ( m 為正整數(shù)倍 ) BA = AB ( 1 - 2 cos) = m AB m = 1 - 2 cos ( 1 cos -1 ) 又 cos 1 m = -1, 0, 1, 2, 3 五個(gè)值 相應(yīng)地有 = 0o, 60o, 90o, 120o, 180o n 重轉(zhuǎn)軸 n = 1, 6, 4, 3, 2 *,(2) 晶體的點(diǎn)對(duì)稱要素 3 晶體有如下十個(gè)點(diǎn)對(duì)稱要素: 1, 2, 3, 4, 6 (轉(zhuǎn)軸) 1, 2, 3, 4, 6 (轉(zhuǎn)軸 + 反演) 其中 1 = i, 2 = m = iC2 由此十個(gè)點(diǎn)對(duì)稱要素組成的晶體對(duì)稱群稱為晶體點(diǎn)群 ( 有一 不動(dòng)點(diǎn) ) (3) 對(duì)稱要素構(gòu)成群所受的限制（源于群的封閉性等） 例如: A 為繞 2 軸轉(zhuǎn)角 （N 和 N互換） B 為繞 2軸轉(zhuǎn)角 ( N 和 N互換 ), 兩轉(zhuǎn)軸夾角為 C = BA ( N和N還原；但 2 軸繞NN軸轉(zhuǎn)到2”軸, 轉(zhuǎn)了2 ) 提問(wèn): C為何操作? 由前述可知, 2可取: 0o, 60o, 90o, 120o, 180o 答案: C ( 2 ) 則, 可取: 180o, 30o, 45o, 60o, 90o 即晶體點(diǎn)群中，兩二度軸之夾角 可取; 30o, 45o, 60o, 90o, 180o 此限制對(duì)四度軸和四度反演軸也適用 *,4 問(wèn)題1: 一晶體點(diǎn)群含有夾角為 30o 的兩個(gè)二度轉(zhuǎn)軸A和B, 問(wèn)該晶 體點(diǎn)群必有轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角是什么的轉(zhuǎn)動(dòng)操作? 為什么? 答案: 一定有轉(zhuǎn)軸垂直于該兩二度軸、轉(zhuǎn)角為 60o 的轉(zhuǎn)動(dòng)操作, 根據(jù)群的封閉性, 必有 C = B A = C ( 2 ) 問(wèn)題2: 該晶體點(diǎn)群有 30o 的轉(zhuǎn)動(dòng)操作嗎? (一定有, 一定無(wú), 不一定) 為什么? 答案: 一定無(wú). 因?yàn)榫w點(diǎn)群不允許 30o 的轉(zhuǎn)動(dòng)操作 問(wèn)題3: 一晶體點(diǎn)群含有夾角為60o 的兩個(gè)二度轉(zhuǎn)軸A和B, 問(wèn)該晶 體點(diǎn)群有120o 的轉(zhuǎn)動(dòng)操作嗎? ( 一定有, 一定無(wú), 不一定 ) 為什么? 答案: 一定有120o 的轉(zhuǎn)動(dòng)操作, 如D3 群. 理由同上, 群的封閉性 問(wèn)題4: 該晶體點(diǎn)群有 60o 的轉(zhuǎn)動(dòng)操作嗎? (一定有, 一定無(wú), 不一定) 為什么? 答案: 可能有, 晶體點(diǎn)群允許此轉(zhuǎn)角; 但不一定有, D3 群就沒(méi)有 *,二, 晶體點(diǎn)群的表示方法 5 (1) 熊夫利斯（Schoenflies）符號(hào) 1, 特點(diǎn): 1) 字符少: 少則一個(gè), 如 O, T; 多則三個(gè)，如C2v, D6v. 2) 直接表示了對(duì)稱性的主要特征 如 C4h 表示有四次對(duì)稱軸和垂直于該軸的對(duì)稱面 2, 點(diǎn)對(duì)稱操作的符號(hào) （如前面所用的） 1) E，不變操作 2) Cn，轉(zhuǎn)角為2/n 的正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng) （n = 1，2，3，4，6） 3) Sn，轉(zhuǎn)角為2/n 的非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng) （n = 1，2，3，4，6） Sn = Cn ( Cn ), 如 S2 = C2 = i 4) , 鏡面反映 h, 垂直于主轉(zhuǎn)軸（最高次轉(zhuǎn)軸）的鏡面; v, 通過(guò)主轉(zhuǎn)軸的鏡面 d, 通過(guò)主轉(zhuǎn)軸且平分垂直該軸的兩個(gè)二度軸夾角的鏡面 5) i，對(duì)原點(diǎn)的中心反演 *,3, 點(diǎn)群的符號(hào) 6 1) Cn，含有 Cn 對(duì)稱操作的晶體點(diǎn)群; 2) Sn，含有 Sn 對(duì)稱操作的晶體點(diǎn)群; 3) D 或 V，含有多于一個(gè)二度軸的晶體點(diǎn)群, 如 D3 群為 E，3C2 ，2C3 ，含有三個(gè) C2; 4) T 或 O，含有多于一個(gè) n 2 的轉(zhuǎn)軸的晶體點(diǎn)群; 5) 下標(biāo)： n, 主軸的度數(shù) h，含有h; v，含有v; d，含有d; i, 含有 i. 4, 32 個(gè)晶體點(diǎn)群的符號(hào) 1) 按晶系分組 *,晶系 熊夫利斯符號(hào) 國(guó)際符號(hào) 7 三斜晶系: C1 1 Ci ( S2 ) 1 單斜晶系: C2 2 CS ( C1h ) m ( 2 ) C2h 2/m 正交晶系： C2V m m（m m 2） D2 2 2 2 D2h m m m (2/m 2/m 2/m) 三角晶系： D3d 3 m（3 2/m） S6 3 C3 3 C3V 3 m D3 3 2 *,四角晶系 D4d 4/m m m（4/m 2/m 2/m） 8 C4 4 S4 4 D4 4 2 （4 2 2） C4V 4 m m C4h 4/m D2d 4 2 m 六角晶系 D6h 6/m m m（6/m 2/m 2/m） C6 6 C3h 6 C6h 6/m C6V 6 m m D6 6 2 （6 2 2） D3h 6 m 2 *,立方晶系 Oh m 3 m （ 4/m 3 2/m ） 9 T 2 3 O 4 3 （ 4 3 2 ） Th m 3 （ 2/m 3 ） Td 4 3 m 2) 按點(diǎn)群符號(hào)分組 C1，Ci，CS （3） C2，C3，C4， C6 （4） D2，D3，D4， D6 （4） C2V，C3V，C4V， C6V （4） C2h，C3h，C4h， C6h （4） D2h，D3h，D4h， D6h （4） D2d，D3d （2） S4，S6 （2） T，Th，Td （3） O，Oh （2） *,(2) 國(guó)際符號(hào) 10 1, 特點(diǎn): 1) 這是一個(gè)完整的符號(hào)體系， 既可表示 32 種晶體點(diǎn)群, 也可表示 230 種空間群 2) 形式簡(jiǎn)潔 2, 晶體點(diǎn)群對(duì)稱元素的符號(hào) 1) 1，2，3，4，6 分別代表 C1，C2，C3，C4，C6 ; 2) 1 代表反演中心 i ; 3) 2，3，4，6 分別代表 i C2，i C3，i C4，i C6 ; 4) m 代表所有的對(duì)稱面，其中包括h，v，d， 5) 用 “ / ” 將同一方位上的兩個(gè)對(duì)稱元素分開(kāi)。 6) 最多可以有三個(gè)方位。 *,11 3, 32 個(gè)晶體點(diǎn)群的國(guó)際符號(hào) 1) 32 個(gè)晶體點(diǎn)群的國(guó)際符號(hào)如前表的右邊一列所示, 表中括 號(hào)中的符號(hào)是括號(hào)前符號(hào)的詳述，內(nèi)容更為詳盡。 2) 利用前表可以得到任一晶體點(diǎn)群的國(guó)際符號(hào)和所對(duì)應(yīng)的熊 夫利斯符號(hào)。并可在一般關(guān)于物理的群論書(shū)上查到該晶體 點(diǎn)群的全部對(duì)稱元素和不可約表示特征標(biāo)表。 *,三, 晶體點(diǎn)群不可約表示的符號(hào) 12 (1) 晶體點(diǎn)群不可約表示的 Mullikan 符號(hào) 1, A (a): 一維不可約表示，其基矢對(duì)繞主軸轉(zhuǎn)動(dòng)是對(duì)稱的； 2, B (b): 一維不可約表示，其基矢對(duì)繞主軸轉(zhuǎn)動(dòng)是反對(duì)稱的; 3, E (e): 二維不可約表示； 4, T (t) : 三維不可約表示; 5, 下標(biāo)：u: 基矢對(duì)于反演操作 i 是反對(duì)稱的不可約表示; g: 基矢對(duì)于反演操作 i 是對(duì)稱的不可約表示 ; 6, 上標(biāo): : 基矢對(duì)于鏡面反映h 是對(duì)稱的不可約表示; ” : 基矢對(duì)于鏡面反映h 是反對(duì)稱的不可約表。 注: 1) 主軸為最高次轉(zhuǎn)軸，且通常選為軸； 2) “對(duì)稱” 表示特征標(biāo)為正; “反對(duì)稱” 表示特征標(biāo)為負(fù) *,(2) 不可約表示的基矢 13 1, 基矢（基函數(shù)）的種類 X, Y, Z （可代表沿，方向的平動(dòng)） X2，Y2，Z2，X2Y2，X2Z2，Y2Z2，X2Y2Z2 XY, YZ, XZ Rx , Ry , Rz （可代表繞 ， 軸的無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)） 2, 基矢數(shù) 基矢數(shù) 不可約表示的維數(shù) 如： ( f ); ( f1, f2 ); ( f1, f2, f3 ) 一維 二維 三維 (3) 不可約表示的特征標(biāo)表 32 個(gè)晶體點(diǎn)群的不可約表示特征標(biāo)表(其中給出部分基函數(shù)) , 這可在一般關(guān)于物理的群論書(shū)上查到. *,(二) 非晶體點(diǎn)群 14 人們將點(diǎn)群分成晶體點(diǎn)群和非晶體點(diǎn)群兩類; 非晶體點(diǎn)群不受晶體對(duì)稱性 ( 晶格周期性 ) 的限制 ; 分子 ( 如 H2O , BF3 , B20, C20H20 和C60 等 ) 所屬的對(duì)稱群及離 子場(chǎng)所屬的對(duì)稱群 ( 完全轉(zhuǎn)動(dòng)群 ) 皆屬非晶體點(diǎn)群. 一, 正二十面體所屬的點(diǎn)對(duì)稱群 ( 見(jiàn)圖, 見(jiàn)動(dòng)畫(huà) ) 例如, H13 (有心), B20 和 C20H20 具有正二十面體結(jié)構(gòu) (1) 正二十面體的對(duì)稱元素分析 1, 正二十面體的幾何元素 1) 12 個(gè)頂點(diǎn) 2) 30 個(gè)棱 3) 20 個(gè)正三角面 正二十面體結(jié)構(gòu)示意圖 *,2, 正二十面體的對(duì)稱元素 15 1) 五度軸 每一對(duì)相對(duì)頂點(diǎn)的