2018_2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章定積分2微積分基本定理教案（含解析）北師大版.docx

2微積分基本定理 已知函數(shù)f(x)x，F(xiàn)(x)x2.問題1：f(x) 和F(x)有何關(guān)系？提示：F(x)f(x)問題2：利用定積分的幾何意義求xdx的值提示：xdx.問題3：求F(2)F(1)的值提示：F(2)F(1)2212.問題4：你得出什么結(jié)論？提示：f(x)dxF(2)F(1)，且F(x)f(x)問題5：由f(x)dx與F(2)F(1)之間的關(guān)系，你認為導(dǎo)數(shù)與定積分之間有什么聯(lián)系？提示：f(x)dxF(b)F(a)，其中F(x)f(x)微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f(x)F(x)，則有定理中的式子稱為牛頓萊布尼茨公式，通常稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)在計算定積分時，常常用記號F(x) 來表示F(b)F(a)，于是牛頓萊布尼茨公式也可寫作f(x)dxF(x) F(b)F(a)微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系，即求定積分與求導(dǎo)互為逆運算，求定積分時只需找到導(dǎo)函數(shù)的一個原函數(shù)，就可以代入公式求出定積分求簡單函數(shù)的定積分例1計算下列各定積分：(1) (2x3)dx；(2) (cos xex)dx；(3) dx.思路點撥先求被積函數(shù)的原函數(shù)，然后利用微積分基本定理求解精解詳析(1)(x23x)2x3， (2x3)dx(x23x) 134.(2)(sin xex)cos xex， (cos xex)dx(sin xex) 1e.(3)2x， dx7.一點通應(yīng)用微積分基本定理求定積分時，首先要求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，在求原函數(shù)時，通常先估計原函數(shù)的類型，然后求導(dǎo)數(shù)進行驗證，在驗證過程中要特別注意符號和系數(shù)的調(diào)整，直到原函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)F(x)f(x)為止(一般情況下忽略常數(shù))，然后再利用微積分基本定理求出結(jié)果1. dx_.解析：dxln eln 11.答案：12求下列函數(shù)的定積分：(1) (x22x3)dx；(2) (sin xcos x)dx；(3) dx.解：(1)(x22x3)dxx2dx2xdx3dxx23x.(2) (sin xcos x)dxsin xdxcos xdx(cos x) sin x2.(3) dxxdxdxx2ln x2212ln 2ln 1ln 2.3求下列定積分：(1) sin2dx；(2)(2x2)(3x)dx.解：(1)sin2，而cos x，sin2dxdx.(2)原式 (62x3x2x3)dx.求分段函數(shù)的定積分例2已知函數(shù)f(x)先畫出函數(shù)圖像，再求這個函數(shù)在0,4上的定積分思路點撥按f(x)的分段標(biāo)準，分成，2,4三段積分求和精解詳析圖像如圖f(x)dxsin xdx1dx (x1)dx(cos x) x1(40)7.一點通(1)分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的定積分可分成n段定積分和的形式，分段的標(biāo)準可按照函數(shù)的分段標(biāo)準進行(2)帶絕對值號的解析式，可先化為分段函數(shù)，然后求解4設(shè)f(x)則f(x)dx()A.B.C. D不存在解析：選Cf(x)dxx2dx (2x)dx，取F1(x)x3，F(xiàn)2(x)2xx2，則F1(x)x2，F(xiàn)2(x)2x，所以f(x)dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)02222.5已知F(x)求定積分F(x)dx.解：F(x)dx (sin x1)dxx2dx(cos xx) x3cos 1.含參數(shù)的函數(shù)的定積分例3已知函數(shù)f(x) (at2bt1)dt為奇函數(shù)，且f(1)f(1)，試求a，b的值精解詳析f(x) (at2bt1)dtx3x2x.f(x)為奇函數(shù)，0，即b0.又f(1)f(1)，11.a.一點通(1)當(dāng)被積函數(shù)中含有參數(shù)時，必須分清參數(shù)和自變量，再進行計算，以免求錯原函數(shù)另外，需注意積分下限不大于積分上限(2)當(dāng)積分的上(下)限含變量x時，定積分為x的函數(shù)，可以通過定積分構(gòu)造新的函數(shù)，進而可研究這一函數(shù)的性質(zhì)，解題過程中注意體會轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用6若 (k2x)dx2 018，則k_.解析： (k2x)dx(kxx2) k12 018，k2 019.答案：2 0197已知函數(shù)f(a)sin xdx，則f_.解析：f(a)sin xdxcos xcos a1，f1.答案：18已知f(x)是一次函數(shù)，其圖像過點(3,4)，且f(x)dx1，求f(x)的解析式解：設(shè)f(x)axb(a0)，則43ab，又f(x)dx(axb)dxb1，所以a，b，即f(x)x.求定積分的一些常用技巧：(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)，分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號后才能積分 1下列積分值等于1的是()A. xdxB. (x1)dxC. 1dx D. dx解析：選C1dxx1.2.(ex2x)dx()A1 Be1Ce De1解析：選C(ex2x)dx(exx2) (e11)e0e.3. |x24|dx()A. B.C. D.解析：選C|x24|dx (4x2)dx (x24)dx，故選C.4函數(shù)F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，無最小值B有最大值0和最小值C有最小值，無最大值D既無最大值也無最小值解析：選BF(x) (t24t)dtx32x2(1x5)F(x)x24x，由F(x)0，得x0或4，列表如下：x(1,0)0(0,4)4(4,5)F(x)00F(x)極大值極小值可見極大值F(0)0，極小值F(4).又F(1)，F(xiàn)(5)，所以最大值為0，最小值為.5若x2dx18(a0)，則a_.解析：x2dx18a3.答案：36設(shè)f(x)若f(f(1)1，則a_.解析：顯然f(1)lg 10，f(0)03t2dtt31，得a1.答案：17求下列定積分：(1) dx；(2) sindx.解：(1) dx (2x1)dx2xdxdx1dxx2ln xx(41)ln 2ln 1214ln 2.(2)sin(x)sin xcos x，(cos xsin x)sin xcos x，sin(x)dx (sin xcos x)dx(cos xsin x) (cos sin )(cos 0sin 0)2.8A，B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達途中C點，這一段的速度為1.2t m/s，到C點的速度為24 m/s，從C點到B站前的D點這段路程做勻速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(241.2t) m/s，在B站恰好停車，試求：(1)A，C間的距離；(2)B，D間的距離解：(1)設(shè)從