2018版高中數(shù)學第二章數(shù)列2.2.3等差數(shù)列的前n項和一學案蘇教版.doc

2.2.3等差數(shù)列的前n項和(一)學習目標1.掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路.2.經歷公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關系，能夠由其中三個求另外兩個知識點一等差數(shù)列前n項和公式的推導思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差數(shù)列前100項的和但如果是求123n，不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么辦？梳理“倒序相加法”可以推廣到一般等差數(shù)列求前n項和，其方法如下：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d；Snanan1an2a2a1an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d兩式相加，得2Snn(a1an)，由此可得等差數(shù)列an的前n項和公式Sn.根據(jù)等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1_.知識點二等差數(shù)列前n項和公式的特征思考1等差數(shù)列an中，若已知a27，能求出前3項和S3嗎？思考2我們對等差數(shù)列的通項公式變形：ana1(n1)ddn(a1d)，分析出通項公式與一次函數(shù)的關系你能類比這個思路分析一下Snna1d嗎？梳理等差數(shù)列an的前n項和Sn，有下面幾種常見變形：(1)Snn；(2)Snn2(a1)n；(3)n(a1)(是公差為的等差數(shù)列)知識點三等差數(shù)列前n項和公式的性質 思考如果an是等差數(shù)列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列嗎？梳理Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列an的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.類型一等差數(shù)列前n項和公式的應用命題角度1方程思想例1已知一個等差數(shù)列an的前10項的和是310，前20項的和是1 220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？反思與感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項和有關的問題時，要注意方程思想和整體思想的運用；(2)構成等差數(shù)列前n項和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二跟蹤訓練1在等差數(shù)列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.命題角度2實際應用例2某人用分期付款的方式購買一件家電，價格為1 150元，購買當天先付150元，以后每月的這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實際花費多少錢？反思與感悟建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù)本題是根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解跟蹤訓練2甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動，甲第1分鐘走2 m，以后每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙每分鐘走5 m.(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？(2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m，乙繼續(xù)每分鐘走5 m，那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？類型二等差數(shù)列前n項和的性質的應用例3(1)等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，求數(shù)列an的前3m項的和S3m；(2)兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn和Tn，已知，求的值反思與感悟等差數(shù)列前n項和Sn的有關性質在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果跟蹤訓練3設an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn.1在等差數(shù)列an中，若S10120，則a1a10的值是_2記等差數(shù)列的前n項和為Sn，若S24，S420，則該數(shù)列的公差d_.3在一個等差數(shù)列中，已知a1010，則S19_.4已知等差數(shù)列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.1求等差數(shù)列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到2等差數(shù)列的兩個求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個量，若已知其中三個量，通過方程思想可求另外兩個量在利用求和公式時，要注意整體思想的應用，注意下面結論的運用：若mnpq，則amanapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，則aman2ap.3本節(jié)基本思想：方程思想，函數(shù)思想，整體思想，分類討論思想答案精析問題導學知識點一思考 不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項導致不能配對但我們可以采用倒序相加來回避這個問題：設Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理d知識點二思考1S333a221.思考2按n的降冪展開Snna1d n2(a1)n是關于n的二次函數(shù)形式，且常數(shù)項為0.知識點三思考(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)10d10d10100d，類似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列題型探究例1解方法一由題意知S10310，S201 220，將它們代入公式Snna1d，得到解方程組得Snn463n2n.方法二S10310a1a1062，S201 220a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n.跟蹤訓練1解由得解方程組得或例2解設每次交款數(shù)額依次為a1，a2，a20，則a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第10個月應付款55.5元由于an是以60為首項，以0.5為公差的等差數(shù)列，所以有S20201 105(元)，即全部付清后實際付款1 1051501 255(元)跟蹤訓練2解(1)設n分鐘后第1次相遇，依題意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去)所以第1次相遇是在開始運動后7分鐘(2)設n分鐘后第2次相遇，依題意，有2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去)所以第2次相遇是在開始運動后15分鐘例3解(1)方法一在等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列，30,70，S3m100成等差數(shù)列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).跟蹤訓練3解設等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1n(n1)d，S77，S1575，即解得a1(n1)dn，數(shù)列是等差數(shù)列