(好資料)2009-2012年高考數(shù)學(xué)ι輪精品教案及其練習(xí)精析_《古典概型與幾何概型》[1].

591up有效學(xué)習(xí)（ ）第2講 古典概型與幾何概型 知 識 梳理 1. 基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果（事件）稱為一個基本事件特別提醒：基本事件有如下兩個特點：任何兩個基本事件都是互斥的；任何事件都可以表示成基本事件的和。2所有基本事件的全體，叫做樣本空間，用表示，例如“拋一枚硬幣”為一次實驗，則=正面，反面。3.等可能性事件(古典概型)：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每個基本事件的概率都是，這種事件叫等可能性事件特別提醒：古典概型的兩個共同特點：有限性，即試中有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即樣本空間中的元素個數(shù)是有限的；等可能性，即每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等。4古典概型的概率公式：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有個，而且所有結(jié)果都是等可能的，如果事件包含個結(jié)果，那么事件的概率5幾何概型：如果第個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。特別提醒：幾何概型的特點：試驗的結(jié)果是無限不可數(shù)的；每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。6幾何概型的概率公式： P（A）= 重 難 點 突 破 1.重點：理解古典概型，幾何概型的概念， 2.難點：掌握古典概型，幾何概型的概率公式；3.重難點：.(1) “非等可能”與“等可能”混同問題1: 擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點數(shù)之和等于3的概率。錯解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和的可能數(shù)值為2，3，4，12，有利于事件A的結(jié)果只有3，故。分析：公式僅當(dāng)所述的試驗結(jié)果是等可能性時才成立，而取數(shù)值2和3不是等可能的，2只有這樣情況（1，1）才出，而3有兩種情況（1，2），（2，1）可出現(xiàn)，其它的情況可類推。正確答案 擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況：（1，1），（1，2），（1，6），（2，1），（2，2），（2，6），（6，1），（6，2），（6，6），結(jié)果總數(shù)為66=36。在這些結(jié)果中，事件A的含有兩種結(jié)果（1，2），（2，1）。（2）“可辯認(rèn)”與“不可辨認(rèn)”混同問題2: 將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去（每個盒子容納球的個數(shù)不限），求事件A=“某指定的n個盒子中恰好各有一球的概率”。錯解：將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中，所有可能的結(jié)果數(shù)為Nn，而事件A含有n!種結(jié)果。分析：這種解法不全面，如果球是編號的（即可辨認(rèn)的），則答案是對的；若球是不可辯認(rèn)的，則答案完全錯了。因為球是不可辯認(rèn)的，故只考慮盒子中球的個數(shù)，不考慮放的是哪幾個球。我們在此用符號“”表示一個盒子，“”表示球，先將盒子按號碼排列起來 1 2 3 4 5N 這樣的N個盒子由N+1個“|”構(gòu)成，然后把n個球任意放入N個盒子中，比如：|，在這樣的放法中，符號“|”和“”共占有：N+1+n個位置，在這N+1+n個位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個位置上“|”和“O”可以任意次序排列。則N-1個“1”和n個“”在中間的N+n-1個位置上的可以區(qū)別的所有可能結(jié)果數(shù)是，將n個不可辨認(rèn)的球放入指定的n個盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故事件A含1個結(jié)果，從而正解：分兩種情況：（1）當(dāng)球是可辯認(rèn)的，則（2）當(dāng)球是不可辨認(rèn)的，則。 熱 點 考 點 題 型 探 析考點一：古典概型題型1. 等可能事件的概率計算例1 某人有5把鑰匙，但忘記了開房門的是哪一把，于是，他逐把不重復(fù)地試開，問：(1)恰好第三次打開房門所的概率是多少？(2)三次內(nèi)打開的概率是多少？(3)如果5把內(nèi)有2把房門鑰匙，那么三次內(nèi)打開的概率是多少？解題思路：我們知道最多開5次門，且其中有且僅有一次可以打開門，故每一次可以打開門的概率是相同的都是解析： 5把鑰匙，逐把試開有種結(jié)果，由于該人忘記了開房間的是哪一把，因此這些結(jié)果是等可能的。(1)第三次打開房門的結(jié)果有種，故第三次打開房門鎖的概率P(A)=(2)三次內(nèi)打開房門的結(jié)果有種，因此所求概率P(A)= =(3)方法1 因5把內(nèi)有2把房門鑰匙，故三次內(nèi)打不開的結(jié)果有種，從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有種，從而三次內(nèi)打開的結(jié)果有種，所求概率P(A)= =.方法2 三次內(nèi)打開的結(jié)果包括：三次內(nèi)恰有一次打開的結(jié)果種；三次內(nèi)恰有兩次打開的結(jié)果種.因此，三次內(nèi)打開的結(jié)果有（）種，所求概率P(A)= 例2 有10件產(chǎn)品，其中有2件次品，每次抽取1件檢驗，抽檢后不放回，共抽2次。求下列事件的概率。（1）兩次抽到的都是正品；（2）抽到的恰有一件為次品；（3）第1次抽到正品，第2次抽到次品。解題思路：請注意題（3）的兩種解法，一種是將試驗（抽取2件產(chǎn)品）看作是組合（無序的），一種是將試驗看作為排列（有序的），值得注意的是兩種解法的樣本空間不同，事件C不屬于樣本空間，（C）因此不能用card()進(jìn)行計算。解析：記=從10件產(chǎn)品中任抽2件則n=card()=C（1）記A=從10件產(chǎn)品中抽2件，都是正品，則m=card(A)=C（2）記B=從10件產(chǎn)品中抽2件，一件為正品，一件為次品，則m=card(B)=（3）初看本題與題（2）是相同的，其實不然，題（2）包含于兩種可能，“第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而目前求的是其中之一“第一次正品，第二次次品”的概率。（法一）由于事件B中包含“第一次正品，第2次次品”和“第一次次品第2次正品”兩種等可能的情況，所求事件的概率。（法二）記=從10件產(chǎn)品中，任取一件，（放入甲袋中），再從剩下9件產(chǎn)品中任取一件，（放入乙袋中）記C=第一次取出的是正品，第二次取出的是次品=甲袋中為正品，乙袋中為次品card()=，card(C)=【名師指引】樣本空間的選取會影響到解答的過程。因此解等可能概型時，建議遵循以下步驟判斷該問題是等可能概型確定樣本空間（即試驗的方法，試驗的結(jié)果將影響樣本空間）；用排列組合問題的解法確定card() 與card(A)，則【新題導(dǎo)練】1（改編題）一個口袋里裝有2只白球，3只黑球，從中摸出2個球（1）共有多少種結(jié)果？（2）摸出2個黑球有多少種結(jié)果？（3）求摸出2個黑球的概率？（4）求摸出一只黑球一只白球的概率？（5）求摸出至少一只黑球的概率？解（1）共有n=種結(jié)果（card()=10） （2）都摸出黑球種結(jié)果 （3）記A=兩次都摸黑球， （4）記B=一次摸黑球，一次摸白球， （5）記C=至少一只黑球 則=兩只都是白球，2某商業(yè)銀行為儲戶提供的密碼有0，1，2，9中的6個數(shù)字組成.(1)某人隨意按下6個數(shù)字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？(2)某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個數(shù)字進(jìn)行試驗，按對自己的密碼的概率是多少？解 （1）儲蓄卡上的數(shù)字是可以重復(fù)的，每一個6位密碼上的每一個數(shù)字都有0，1，2，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個，隨意按下6個數(shù)字相當(dāng)于隨意按下個密碼之一，其概率是.(2)以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前提下，隨意按下一個數(shù)字，等可能性的結(jié)果為0，1，2，9這10種，正確的結(jié)果有1種，其概率為.考點二: 幾何概型題型1: 幾何概型的概率 例3 （廣東省北江中學(xué)2010屆高三月考）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則以第一次向上點數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(x,y)在圓x2+y2=27的內(nèi)部的概率_.解題思路：用幾何概型求解，轉(zhuǎn)化為圓內(nèi)找出圓內(nèi)滿足條件的整點個數(shù)。解析：基本事件總數(shù)為36，點（x，y），在圓x2+y2=27的內(nèi)部記為事件D，則D包含17個事件，所以P（D）=。 例4 兩人相約6時到7時在某地見面，先到者等候另一人10分鐘，如果另一人還沒到，這時方可離去，試求這兩人能會面的概率？解題思路：此題涉及了兩個變量，應(yīng)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)條件列出不等式，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)平面內(nèi)的平面區(qū)域，用幾何概型求解。滲透了轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法解析：設(shè)、分別表示兩人到達(dá)的時刻則 即其平面區(qū)域為 設(shè)“兩人能見面”為事件A，則【名師指引】用幾何概型解題，主要運用轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法【新題導(dǎo)練】3（廣州市海珠區(qū)2010屆高三上學(xué)期綜合測試二(數(shù)學(xué)理)）在區(qū)域內(nèi)隨機撒一把黃豆,落在區(qū)域內(nèi)的概率是 . 答案：，作圖。_b_y=x_a_3_0_24（改編2010海南、寧夏文20）一元二次方程，其中，求此方程有實根的概率。解析：試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為，構(gòu)成事件的區(qū)域為，故所求的概率為。 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. （廣東省佛山市2010年高三教學(xué)質(zhì)量檢測一）如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96顆，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出橢圓的面積約為（ ）.A B C D俯視圖答案：B 提示：利用幾何概型公式。2. (廣東省三水中學(xué)高三月考)在長為12cm的線段AB上任取一點M，并且以線段AM為邊的正方形，則這正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為（ ） A B C D答案：A 提示：考查幾何概型。3在平面區(qū)域中任取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為。在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)任取一點，使得的概率為 。4（江蘇省濱海縣2010屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）下圖的矩形，長為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計出陰影部分的面積為 .解：解利用幾何概型。5將一枚骰子先后拋擲2次，計算:(1)一共有多少種不同的結(jié)果.(2)其中向上的數(shù)之積是12的結(jié)果有多少種？(3)向上數(shù)之積是12的概率是多少？解 （1）將骰子向桌面先后拋擲兩次，一共有36種不同的結(jié)果.(2)向上的數(shù)之積是12，記（I,j）為“第一次擲出結(jié)果為I，第二次擲出結(jié)果為j”則相乘為12的結(jié)果有（2，6），（3，4），（4，3），（6，2）4種情況.(3)由于骰子是均勻的，將它向桌面先后拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可能的，其中“向上的數(shù)之積是12”這一事件記為A.Card(A)=4.所以所求概率P(A)=6甲、乙兩人參加普法知識競賽，共設(shè)有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人依次各抽一題，計算：（1）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？解：（1）甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率；（2）甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率 綜合拔高訓(xùn)練7從男女生共36人的班中，選出2名代表，每人當(dāng)選的機會均等。如果選得同性代表的概率是，求該班中男女生相差幾名？解：設(shè)男生有名，則女生有（36）人，選出的2名代表是同性的概率為P，解得，所以男女生相差6人。 8 （2010江蘇省姜堰中學(xué)階段性考試）將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，求： （1）兩數(shù)之和為6的概率； （2）兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率； （3）以第一次向上的點數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(x, y)在直線xy=3的下方區(qū)域的概率解：（1）兩數(shù)之和為6的概率為 （2）此問題中含有36個等可能基本事件，記“向上的兩數(shù)之積是6的倍數(shù)”為事件A，則由下面的列表可知，事件A中含有其中的15個等可能基本事件，所以P(A)=,答：兩數(shù)之積是6的倍數(shù)的概率為 （3）此問題中含有36個等可能基本事件，記“點(x,y)在直線xy=3的下方區(qū)域”為事件B，則由下列的列表可知，事件B中含有其中3個基本等可能基本事件：P(B)=,答：點(x, y)在直線xy=3的下方區(qū)域的概率為9（廣東北江中學(xué)2010月考）設(shè)函數(shù)是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從2，3，4，5四個數(shù)中任取一個數(shù)，求恒成立的概率。解： 2分4分于是成立。6分設(shè)事件A：“恒成立”，則基本事件總數(shù)為12個，即（1，2），（1，3），（1，3），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；8分事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10個10分由古典概型得12分10（廣東深圳外國語學(xué)校2010高三月考）已知三個正數(shù)滿足.(1)若是從中任取的三個數(shù)，求能構(gòu)成三角形三邊長的概率；(2)若是從中任取的三個數(shù)，求能構(gòu)成三角形三邊長的概率.分析:在(1)中的取值是有限可數(shù)的，可用列舉法解決；(2)中的取值是無窮的,得用幾何概型的方法求解.解:(1)若能構(gòu)成三角形，則.若時，.共1種；若時。.共2種；同理時，有3+1=4種；時，有4+2=6種；時，有5+3+1=9種；時，有6+4+2=12種.于是共有1+2+4+6+9