基于壓縮感知的空域信號DOA估計研究畢業(yè)論文.pdf

代號代號 分 類 號分 類 號 學號學號 密級密級 10701 tn911.7 公開公開 1010120892 題題（中中、英文英文）目目 基于壓縮感知的空域信號基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究估計研究 doa estimation based on compressive sensing 作 者 姓 名作 者 姓 名 郭月強郭月強 陳建春陳建春 教授教授 工工學學 提交論文日期提交論文日期 二二一三一三年一月年一月 信號與信息處理信號與信息處理 指導教師姓名指導教師姓名、職稱職稱 學 科 門 類學 科 門 類 學科學科、專業(yè)專業(yè) 摘要 壓縮感知理論技術(shù)是數(shù)學界最近幾年提出來的一種關(guān)于稀疏信號的采集與重 建的理論， 它突破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣頻率的限制， 對于稀疏的或可壓縮的信號， 當壓縮感知矩陣符合一定的條件時，就可以用遠少于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理所需 要的采樣數(shù)據(jù)，精確地恢復出原始信號或者估計出原始信號的相關(guān)參數(shù)。壓縮感 知理論現(xiàn)在已經(jīng)成為信號處理領(lǐng)域中一個新的研究熱點，因此，本論文將壓縮感 知理論應用于空間信號的 doa 估計問題的研究中， 以克服傳統(tǒng) doa 估計算法中 的一些不足。 本論文主要對陣列信號處理技術(shù)中傳統(tǒng)的 doa 估計算法，壓縮感知理論和 稀疏信號重構(gòu)算法進行了研究。首先，給出了遠場窄帶信號的一般數(shù)學模型，對 傳統(tǒng)的 doa 估計算法進行了回顧，主要包括延遲相加法、capon 最小方差方 法、music 算法、esprit 算法、最大似然法和綜合法，重點介紹了子空間分解 類算法：music 和 esprit 算法。其次，研究了壓縮感知理論的基本原理和基本 框架，主要包括時空域下的稀疏信號表示形式和變換域下的稀疏信號表示形式， 投影測量矩陣的設計和稀疏信號的重構(gòu)算法；研究了稀疏信號重構(gòu)的條件，詳細 介紹了約束等距條件(rip)、不一致性條件(mip)以及二者之間的關(guān)系。最后，分 析了陣列接收信號的空域稀疏表示形式，介紹了稀疏信號重構(gòu)算法 l1-svd 和 mfocuss。 為了解決傳統(tǒng)的 doa 估計算法無法用于相干信號源以及 mfocuss 算法不適用于低信噪比的情況，提出了一種新的基于壓縮感知的 doa 估計算法， svd-mfocuss 算法。svd-mfocuss 算法是對 mfocuss 算法的改進，其本 質(zhì)上是采用奇異值分解進行信號降維和能量積累，改善了傳統(tǒng)稀疏信號恢復算法 的應用范圍，能在低信噪比情況下使用，且顯著降低了計算量。 關(guān)鍵詞：doa 估計 壓縮感知 稀疏表示 rip mip mfocuss abstract the theory of compressive sensing (cs) is a new theory on sparse signal acquisition and reconstruction, which breaks through the limits of traditional nyquist sampling theorem. cs theory states that one can recover certain signals or estimate their parameters from far fewer samples than traditional methods use, when the signals are sparse or compressible. compressed sensing theory has become a new hotspot in signal processing field. in this thesis, the compression sensing theory is applied to the signal source doa estimation, to overcome some of the shortcomings in the traditional doa estimation algorithm. in this thesis, the traditional doa estimation algorithms about array signal processing technology, the compressed sensing theory and the sparse signal reconstruction algorithms are studied. first of all, the general mathematics model of far field narrowband signal is given, and the traditional doa estimation algorithms are reviewed. including beamforming method, capon method, music method, esprit method, maximum likelihood method and comprehensive method. but the music and esprit are mainly introduced. secondly, the basic principle and framework of the compressed sensing theory are researched, and the sparse signal reconstruction conditions, including restricted isometry property, mutual incoherence property and the relationship between the rip and mip, are detailed introduction. thirdly, the airspace sparse representation of the signals array-received, l1-svd algorithm and mfocuss algorithm are researched. finally, the svd-mfocuss algorithm is put forward. svd-mfocuss algorithm is the improvement of mfocuss algorithm, its essence is the signal dimensionality reduction and energy accumulation of singular value decomposition. it improves the application range of the traditional sparse signal recovery algorithm, can be used in the condition of low snr, and significantly reduce the amount of computation. keywords: doa estimation compressive sensing sparsity representation rip mip mfocuss 目錄目錄 第一章 緒論1 1.1 課題研究背景和意義.1 1.2 doa 估計的研究與發(fā)展現(xiàn)狀.2 1.3 基于壓縮感知原理的 doa 估計的研究現(xiàn)狀3 1.4 本論文的主要研究工作和內(nèi)容安排3 第二章 doa 估計的基本原理和方法5 2.1 doa 估計中的陣列信號假設及其數(shù)學模型5 2.2 doa 估計的原理8 2.3 doa 估計的傳統(tǒng)方法 9 2.3.1 延遲相加法.9 2.3.2 延遲相加法仿真結(jié)果及分析10 2.3.3 capon 最小方差法.12 2.3.4 capon 最小方差法仿真結(jié)果及分析13 2.4 doa 估計的子空間方法.14 2.4.1 music 算法 15 2.4.2 esprit 算法16 2.4.3 music 算法仿真結(jié)果及分析 .20 2.5 doa 估計的其他方法 21 2.5.1 最大似然法.22 2.5.2 doa 估計綜合法.22 2.6 本章小結(jié) 22 第三章 壓縮感知原理.25 3.1 壓縮感知理論的研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢25 3.2 壓縮感知理論下的稀疏信號26 3.2.1 時空域下的稀疏信號27 3.2.2 變換域下的稀疏信號28 3.3 壓縮感知的基本理論.29 3.3.1 信號的稀疏表示.30 3.3.2 投影測量矩陣的設計30 3.3.3 稀疏信號的重構(gòu)算法31 3.4 稀疏信號重構(gòu)的條件.32 3.4.1 約束等距性條件分析32 3.4.2 不一致性條件分析33 3.4.3 約束等距性與不一致性的關(guān)系34 3.5 本章小結(jié).34 第四章 基于壓縮感知的 doa 估計算法和仿真37 4.1 陣列接收信號的空域稀疏表示37 4.2 稀疏信號的重構(gòu)算法.39 4.2.1 l1-svd 類算法39 4.2.2 mfocuss 類算法.40 4.3 mfocuss 算法的改進svd-mfocuss 算法 .42 4.3.1 稀疏信號模型的降維表示42 4.3.2 稀疏信號模型優(yōu)化求解42 4.3.3 svd-mfocuss 算法求解步驟 43 4.3.4 svd-mfocuss 算法性能分析 43 4.4 仿真實驗分析.45 4.5 本章小結(jié).56 第五章 結(jié)論57 5.1 本論文總結(jié).57 5.2 工作展望.57 致謝59 參考文獻61 研究生期間參加科研及論文發(fā)表情況65 第一章 緒論 1 第一章 緒論 1.1 課題研究背景和意義 信號處理理論的應用范圍十分廣泛，涉及到雷達、導航、聲納、通信、射電 天文、醫(yī)療診斷等多種領(lǐng)域。信號處理所包含的內(nèi)容極其豐富，例如從被干擾和 噪聲污染的信號的接收數(shù)據(jù)中恢復出原來的信號；或者將混在信號中的干擾和噪 聲去除；或者把原始信號變換成另一種信號形式。無論以什么樣的方式對信號做 處理，其基本原則是盡可能的少丟失或不丟失信息。信息總是包含在信號的外部 特征和內(nèi)部特征參數(shù)之中，因此對信號的特征參數(shù)進行有效的檢測和精確的估計 是信號處理中最為重要的內(nèi)容。 信號處理在早期主要集中于時域一維信號的處理， 例如時域信號的頻譜分析和估計； 之后逐漸發(fā)展為對二維和多維時域信號的處理， 例如數(shù)字圖像信號處理、時頻域二維信號處理、時空域二維信號處理等。伴隨著 信號處理理論的發(fā)展和信號處理的應用領(lǐng)域的不斷擴展，對空域信號的處理變得 越來越重要。因為對空間信號的目標檢測和參數(shù)估計的要求越來越高，陣列信號 處理作為空間信號處理的主要手段，它的發(fā)展也變得極為迅速。陣列信號處理是 指將多個傳感器放置在空間中不同的位置，以組成感知陣列，用感知陣列接收來 自于空間的信號，并對接收到的信號做一系列的處理。對陣列接收信號進行處理 是為了放大預期的信號，同時消除干擾與噪聲，并提取預期信號所包含的特征及 信息。同早期的只有一個傳感器的情況相比，由多個傳感器組成的感知陣列可以 靈活地控制波束，具有較高的增益倍數(shù)，較強的干擾、噪聲抑制能力，和超高的 角度分辨率等一系列的優(yōu)點。特別是近幾年來，有關(guān)陣列信號處理方面的理論取 得了重大的突破，涌現(xiàn)出了很多具有高性能和高效率的算法。 波束形成是陣列信號處理技術(shù)的主要內(nèi)容之一，它通過對陣列接收天線添加 權(quán)值，保證方向圖在預期信號的方向上增益不變的同時，使得系統(tǒng)的總輸出功率 達到最小。自適應波束形成算法可以根據(jù)信號環(huán)境的變化，自適應的調(diào)整各個陣 元上的加權(quán)因子，從而達到增強信號，并同時抑制干擾的目的。陣列信號處理中 另一個關(guān)鍵的技術(shù)是波達方向（direction of arrival, doa）估計。doa 估計，又 稱為譜估計（spectral estimation）或波達角（angle of arrival）估計。 空間信號譜估計方法是目前較為先進的 doa 估計算法。以 music 算法和 esprit 算法為代表的子空間類算法，使得測向定位技術(shù)有了質(zhì)的飛躍，做到了 超分辨力測向定位。music 與 esprit 等經(jīng)典譜估計算法，主要是利用陣列接收 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性來估計空間信號的位置。因此，這些算法都需要利用大量的采樣 2 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 數(shù)據(jù)才能夠?qū)崿F(xiàn)對目標 doa 方向的精確估計。然而，現(xiàn)代化的雷達等信號源大 都使用了捷變頻的技術(shù)，這樣就使獲得大量擁有相同的統(tǒng)計特性的采樣數(shù)據(jù)變的 非常困難。另外，music 算法和 esprit 算法均對噪聲比較敏感，要求采樣數(shù)據(jù) 的信噪比必須要高， 這就使得這一類算法在實際的應用過程中遇到了很大的困難。 近幾年來，由應用數(shù)學領(lǐng)域提出的壓縮感知(compressive sensing, cs)理論， 得到了進一步的發(fā)展并日益完善，它為我們提供了一種新的有關(guān)信號采集與參數(shù) 估計的思路，可以以遠少于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理所需要的采樣數(shù)據(jù)，精確地恢 復原始信號或者估計出相應的信號參數(shù)。因此，將壓縮感知理論應用到空間信號 的 doa 估計當中，可以有效地解決傳統(tǒng)的空間譜估計方法本身所具有的缺陷。 1.2 doa 估計的研究與發(fā)展現(xiàn)狀 波束形成算法(cbf)1是最早的一種基于陣列天線的空間譜估計方法。 這種譜 估法方法是時域傅里方法在空域中的擴展形式，即采用空間感知陣元的接收數(shù)據(jù) 來替代時域處理中的時間采樣數(shù)據(jù)。這種方法雖然處理起來比較簡單，但是會受 到空間陣列“傅里葉限”的制約。空間陣列的“傅里葉限”也就是陣列天線實際 的物理孔徑大小限制，常稱之為“瑞利限” 。換句話說就是，這種算法對于處在同 一個天線波束中的空間信號是不可分辨的。所以，對于提高空間分辨力的最為簡 單有效的辦法就是增加陣列天線的物理孔徑，這等效于間接的減小了天線的波束 寬度，最終達到提高空間分辨率的目的。但是，對于許多實際的應用環(huán)境而言， 增加天線的物理孔徑是不現(xiàn)實的，因此就需要有更好的算法來提高空間分辨率。 時間信號的頻率估計和空間信號的方向估計十分近似，因此許多時域非線性 譜估計方法被推廣成為空域信號的方向估計方法，這就是我們經(jīng)常說的高分辨率 空間譜估計方法。 自上世紀 70 年代以來， 具有高分辨率的空間譜估計方法主要有： pisarenko 諧波分析方法2、burg 最大熵方法(mem)3、capon 最小方差方法 (mvm)4等。其中，基于 ar、arma 及 ma 的譜估計方法，都假設信號的頻譜 為連續(xù)譜，對應到空間信號處理之中就是假設信號目標在空間中是連續(xù)分布的， 信號是空間平穩(wěn)的隨機過程。不過這樣的假設在大多數(shù)空間譜估計中不能成立， 因此，這些空間譜估計處理方法具有一定的局限性。 自上世紀 70 年代末以來， 空間譜估計方面現(xiàn)出了大量的研究成果， 其中以美 國的 schmidt r o 等人5提出的以 music 算法為代表的子空間類算法最為突出。 子空間類算法按照處理方式的不同可以分成兩類：一種是以 music 算法為代表 的噪聲子空間類算法，另一種是以 esprit 算法為代表的信號子空間類算法。子 空間類算法有一個共同的特點，就是對陣列天線接收到的數(shù)據(jù)進行數(shù)學分解（如 奇異值分解、特征值分解和 qr 分解等） ， 將數(shù)據(jù)分解成兩個互相正交的特征子空 第一章 緒論 3 間：一個是信號子空間，另一個是噪聲子空間。子空間類算法根據(jù)這兩個子空間 之間相互正交的特性，構(gòu)造出了具有“針狀”譜峰的空間譜，從而提高了空間譜 估計的分辨率。現(xiàn)在的一些超分辨率空間譜估計方法往往都延續(xù)了這兩種算法的 思想， 例如求根music算法67、 解相干的music算法811以及esprit算法1213 等。 從上世紀 80 年代末開始， 學者們又提出了一類基于子空間擬合的空間譜估計 算法，其中最具代表性的算法為：最大似然算法(ml)14，加權(quán)子空間擬合算法 (wsf)15和多維 music 算法16等。1988 年，ziskind l 和 max m 首先將最大似 然參數(shù)估計的方法應用于空間目標的 doa 估計之中，但是由于目標似然函數(shù)是 一個非線性的函數(shù)，要求其最優(yōu)解就必須要對解空間做多維的搜索，其運算量是 非常大的。wax 提出了用交替投影算法(ap)來求解目標似然函數(shù)的方法來得到最 優(yōu)解，這在很大程度上減少了算法的計算量，但是 ap 算法只能得到局部的最優(yōu) 解，它不能保證最終得到的解是全局最優(yōu)解17。wsf 類算法按照子空間的特性同 樣可以分成兩類：一種是基于噪聲子空間的擬合算法18，另一種是基于信號子空 間的擬合算法15。 1.3 基于壓縮感知原理的 doa 估計的研究現(xiàn)狀 隨著 cs 理論的不斷發(fā)展和完善， 其在陣列信號 doa 估計方面的應用也不斷 增多1925，并且表現(xiàn)出了比傳統(tǒng)的 doa 估計方法更為優(yōu)秀的性能。d malioutov 和 m cetin 等人1920， 從 2002 年就開始將稀疏信號恢復的思想應用到陣列信號的 doa 估計問題之中，通過對空域角度離散化來建立稀疏信號重建的模型，應用二 階錐規(guī)劃方法(soc)來求解相應的最優(yōu)化問題，并通過空域角度細分來獲得較高 的角度分辨率。近幾年來，也有一部分學者嘗試著將壓縮感知理論和稀疏信號重 建理論應用到由傳感器組成的網(wǎng)絡當中，試圖去解決分布式空間信號的 doa 估 計問題。例如 d model 等人21應用信號的時間稀疏特性和空間稀疏特性來構(gòu)造需 要重構(gòu)的信號的目標函數(shù)，這類算法可以在較低的信噪比下精確地重構(gòu)原信號。 總的來說，現(xiàn)階段對于將壓縮感知原理應用到 doa 估計問題中的研究仍然處在 不斷探索的階段。目前，基本上只是簡單的將壓縮感知原理套用在 doa 估計的 問題當中，并沒有對 doa 估計問題和壓縮感知原理之間的關(guān)系進行深入的研究。 1.4 本論文的主要研究工作和內(nèi)容安排 本論文主要研究將壓縮感知理論應用于信號源 doa 估計問題之中，通過構(gòu) 建合理的信號稀疏化模型，實現(xiàn)信號源 doa 的精確估計。詳細介紹了傳統(tǒng) doa 4 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 估計的基本理論與方法、 壓縮感知的基本理論以及一些基本的稀疏信號重構(gòu)算法， 最后對多測量欠定系統(tǒng)聚焦求解算法（mfocuss）做了進一步的改進，并對改 進后的算法進行了仿真分析。 全文內(nèi)容安排如下： 第一章為緒論，簡要介紹了空間信號 doa 估計的意義，概述了 doa 估計、 壓縮感知理論和基于壓縮感知理論的doa估計在國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢， 并說明了本論文的主要工作內(nèi)容和創(chuàng)新之處。 第二章為 doa 估計的基本原理與方法，介紹了波達方向估計（doa）的一 些經(jīng)典算法：傳統(tǒng)法、子空間法、最大似然法和特性恢復和子空間法的綜合法。 重點介紹了 music 算法和 esprit 算法，并對這些算法做了仿真分析。 第三章主要介紹壓縮感知理論的基本原理以及信號 doa 估計問題在壓縮感 知理論框架下的數(shù)學描述。首先介紹了壓縮感知理論的研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢；其 次介紹了壓縮感知理論的基本原理和理論框架， 主要分析了信號的稀疏表示形式、 投影測量矩陣的設計以及稀疏信號的重構(gòu)算法； 最后介紹了稀疏信號重構(gòu)的條件， 主要分析了約束等距性條件（rip） ，不一致性條件（mip）以及這兩者之間的關(guān) 系。 第四章分析了陣列接收信號的空域稀疏表示形式，介紹了稀疏信號重構(gòu)算法 l1-svd 和 mfocuss，對傳統(tǒng)的 doa 估計算法以及基于 l1-svd 和 mfocuss 的 doa 估計算法做了仿真實驗分析。 提出了一種新的基于 cs 的 doa 估計算法： svd-mfocuss 算法。svd-mfocuss 算法是對 mfocuss 算法的改進，其本 質(zhì)是采用奇異值分解進行信號降維和能量積累，改善了傳統(tǒng)稀疏信號恢復算法的 應用范圍，能在低信噪比情況下使用，且顯著降低了計算量。 第五章為全文總結(jié)與工作展望。 第二章 doa 估計的基本原理和方法 5 第二章 doa 估計的基本原理和方法 本章主要介紹波達方向估計（doa）的一些經(jīng)典算法：傳統(tǒng)法、子空間法、 最大似然法和特性恢復與子空間法相結(jié)合的綜合法。傳統(tǒng)法是基于波束形成的方 法，它需要有大量的陣元才能得到高分辨率。子空間算法利用了輸入數(shù)據(jù)矩陣的 結(jié)構(gòu)特征，是具有高分辨率的次最優(yōu)方法。最大似然估計法是最優(yōu)的方法，即使 是在信噪比很低的環(huán)境下也具有良好的性能，但是通常計算量很大。綜合法首先 利用特征恢復方案區(qū)分多個信號，估計空間特征，進而采用子空間法確定波達方 向。 2.1 doa 估計中的陣列信號假設及其數(shù)學模型 本論文中討論的 doa 估計均是指基于線形陣列的 doa 估計。整個 doa 估 計系統(tǒng)由三部分組成，分別是目標空間、觀察空間和估計空間。也就是說 doa 估計系統(tǒng)由這三個空間構(gòu)成，其框圖如圖 2.1 所示： 圖 2.1 doa 估計的系統(tǒng)框圖 由圖 2.1 可以看到，估計空間是對目標空間的一個重構(gòu)過程，這個重構(gòu)過程 由很多因素決定，例如環(huán)境的復雜性、空間陣元的互耦性、通道的不一致性和頻 帶的不一致性等。 本論文在討論傳統(tǒng)的波達方向估計算法之前，為了分析和推導的方便，首先 給出以下幾點假設： （1）信號源均為遠場窄帶信號，即陣列處于信號源的遠場中，信號具有相同 的中心頻率，且到達陣列時可將其看成平行的平面波； （2） 組成陣列的各傳感器均為各向同性陣元， 即陣元的接收特性與其尺寸大 小無關(guān)，僅與其所在的位置有關(guān)，且陣元之間無互耦及通道不一致性的干擾； （3）陣元間距不大于待測信號源中最高頻率的信號波長的二分之一； 6 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 （4）信號源個數(shù)小于陣元的數(shù)目，以確保陣列流形矩陣的各列線性獨立； （5）各陣元間的噪聲相互獨立，噪聲序列為一零均值高斯過程，噪聲與信號 相互獨立。 考慮n個遠場窄帶信號入射到某空間陣列天線上， 其中天線共由m個陣元構(gòu) 成，這里假設陣元個數(shù)與通道個數(shù)相同，即各陣元的接收信號經(jīng)由各自的信號通 道傳送至處理器。 在信號源為窄帶信號的假設下，信號源的復包絡形式為： 0 0 ( ) ()() ( )( ) ()() i i jtt ii jtt ii s tu t e s tu te （2-1） 式（2-1）中，)(tui為信號振幅，( ) t為信號相位， 0 為信號頻率，是信號延遲。 在信號源為遠場窄帶信號的假設下，有 ()( ) ()( ) ii ii u tu t tt （2-2） 由式（2-1）和式（2-2） ，可得下式成立： nietsts j ii , 2 , 1)()( 0 （2-3） 第l個陣元的接收信號為 1 ()( )1,2, n lli ilil i xg s tn tlm （2-4） 式（2-4）中， li g 為第l個陣元對于第i個信號的放大倍數(shù)，)(tnl為第l個陣元在t 時刻接收的噪聲， li 為第i個信號到達第l個陣元時同參考陣元之間的延遲。將式 （2-3）代入式（2-4）可得 0 1 ( )( )1,2, li n j lli il i xg s t en tlm （2-5） 將m個陣元在某一時刻t接收到的信號排成列矢量，可得 0 110 120 1 0 210 220 2 01020 111 11121 222 21222 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) n n mmmn jjj n jjj n jjj nmm mmmn s tx tn tg eg eg e s tx tn tg eg ege stxtntgegege （2-6） 由于我們已假設陣列中的每一個陣元都是各向同性的，因此式(2-6)中的信號放大 倍數(shù) li g 可以歸一化為 1。在這樣的假設下，式(2-6)可簡化為 第二章 doa 估計的基本原理和方法 7 0 110 120 1 0 210 220 2 01020 111 222 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) n n mmmn jjj jjj jjj nmm s tx tn teee s tx tn teee stxtnteee （2-7） 將式（2-7）寫為矢量形式，可得： ( )( )( )xasnttt （2-8） 式 （2-8） 中，( ) tx為1m維陣列接收數(shù)據(jù)矢量， 為一個快拍接收數(shù)據(jù)，( ) tn為1m 維的陣列接收噪聲矢量，( ) ts為目標信號的1n維數(shù)據(jù)矢量，a為nm 維的陣 列流形矩陣（導向矢量矩陣） ，并且 10200 ()()()aaaa n （2-9） 式（2-9）中，導向矢量 0 1 0 2 0 0 ()1,2, a i i mi j j i j e e in e （2-10） 式（2-10）中， c 2 0 ，c為光速，為信號的波長。 根據(jù)以上的推導可以知道，只要確定了陣列各陣元之間的延遲，就可以很 容易地得出一個特定陣列天線的陣列流形矩陣。以下將推導空間陣元間的延遲表 達式。取空間中的任意兩個陣元，將其中一個陣元作為參考陣元（位于原點） ， 另一個陣的位置為),(zyx，兩個陣元幾何關(guān)系如圖 2.2 所示，圖中的“”代表 陣元。 x y z 入射信號 圖 2.2 空間任意兩陣元間的幾何關(guān)系 8 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 根據(jù)圖 2.2 的幾何關(guān)系，可以推導出兩個陣元間的接收信號的延遲為 )sincossincoscos( 1 zyx c （2-11） 對應于線陣的情況，以原點作為參考點，設線陣陣元的位置為), 2 , 1(mkxk， 入射角參數(shù)為信號源的方位角（信源方向和線陣法線的夾角） ，則有 1 (sin ) kk x c （2-12） 綜上所述，由式（2-7）和式（2-12）可以確定在均勻線陣下信號源 doa 估 計的數(shù)學模型。 2.2 doa 估計的原理 對于遠場窄帶信號來說，同一個信號到達陣列中不同的陣元時會存在一個延 遲，這個延遲導致陣列的各個接收陣元之間存在一個相位差，根據(jù)各個陣元相互 之間的相位差就可以對信號進行 doa 估計。 d 圖 2.3 doa 估計原理圖 如圖 2.3 所示， 考慮空間中的兩個陣元，d為兩個陣元之間的距離，c為光速， 為遠場窄帶信號相對于陣列天線的入射角度，兩個陣元之間所接收信號的延遲 為 c d sin （2-13） 因此，兩個陣元之間的相位差可以表示為 0 sinsin 2 dd f cf （2-14） 式（2-14）中， 0 f 是中心頻率，為信號的波長。對于遠場窄帶信號來說，可以 認為相位差為 第二章 doa 估計的基本原理和方法 9 sin 2 d （2-15） 所以，只要知道了各陣元之間的相位差，根據(jù)式（2-15）就可以估計出信號的方 位，這就是 doa 估計技術(shù)的基本原理。 2.3 doa 估計的傳統(tǒng)方法 傳統(tǒng)的波達方向估計方法是基于波束形成和零波導引概念的，并沒有利用接 收信號向量的模型（或信號和噪聲的統(tǒng)計特性） 。知道陣列流形以后，可以對陣列 進行電子導引，利用電子導引可以把波束調(diào)整到任意方向上，從而尋找輸出功率 的峰值。這種方法需要用大量的陣元才能得到高分辨率，其中比較典型的兩種算 法為：延遲相加法（也稱為經(jīng)典波束形成器法）和 capon 最小方差法。 2.3.1 延遲相加法 延遲相加法，又稱為經(jīng)典波束形成器法，是最簡單的一種 doa 估計方法。 圖 2.4 是延遲相加法結(jié)構(gòu)（波束形成器結(jié)構(gòu)）的模型圖： 1 w 2 w m w 1( ) x t 2( ) x t ( ) m xt ( )y t 圖 2.4 延遲相加法結(jié)構(gòu)模型 其中 12 ( )( ),( ),( )t m tx tx txtx是陣列接收信號向量， 12 ,t m w www是加權(quán) 向量，)(ty是輸出信號，它等于傳感器陣元輸出的線性加權(quán)和，三者滿足如下關(guān) 系： ( )( ) w x h y tt （2-16） 波束形成器的輸出功率p可以表示為： 2 2 ( )( )( )( ) w xwxxww r w hhhh xx pey tetett （2-17） 上式中，rxx為陣列輸入數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣。rxx包含了陣列響應向量和信號自身 10 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 的統(tǒng)計信息，由rxx可以估計出信號的相關(guān)參數(shù)。 假設一個信號)(ts以角度入射到天線陣列上， 則輸出功率( )p可以表示為： 22 ( )( ( ) ( )( ) hh etes tt w xwan 22 2 ( )( )( ) hh e s tet w aw n 2 22 2 ( ) hh sn w aw （2-18） 式（2-18）中，( )a是陣列關(guān)于信號入射角度的導引矢量，( ) tn是陣列的輸入 端噪聲信號， 2 2 ( ) s e s t為信號功率， 2 ( )( ) h n ettnn為噪聲功率。 由式 （2-18） 可以知道，當( )wa時，系統(tǒng)的輸出功率達到最大。這是因為，權(quán)值向量w在 傳感器陣元處和來自方向的信號分量相位對齊，使得它們能夠同相相加，從而 使系統(tǒng)的輸出功率為最大。系統(tǒng)的輸出功率p與信號的波達方向之間的關(guān)系為： ( )( ) hh xxxx pw r war a （2-19） 波束形成器產(chǎn)生的波束在感興趣的區(qū)域中離散地掃描，對應不同的可以產(chǎn) 生不同的權(quán)向量( )wa，從而得到的輸出功率也不相同，最大的功率對應著最 大的峰值，而最大的空間譜峰所對應的角度方向即為信號的波達方向。延遲相 加法具有一定的局限性，當存在著來自多個方向的信號時，該方法要受到波束寬 度和旁瓣高度的制約，因而這種方法的分辨率較低。 2.3.2 延遲相加法仿真結(jié)果及分析 在均勻等距線陣下對算法進行仿真，陣列的陣元數(shù)為 8，信噪比為 20db，考 察單信號和多信號兩種情況下算法的性能。單信號時信號角度為20，多信號時 信號角度為30 ， 15 ，0，15和30。仿真分析如下： 第二章 doa 估計的基本原理和方法 11 -80-60-40-20020406080 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 doa(degree) power(db) beamforming 圖 2.5 單信號的延遲相加法仿真 -80-60-40-20020406080 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 doa(degree) power(db) beamforming 圖 2.6 多信號的延遲相加法仿真 從圖 2.5 和圖 2.6 中可以看出， 延遲相加法可以很好的識別單個信號， 但是 當信號個數(shù)比較多時延遲相加法就會失效，只能大致分辨出信號所處的角度范 圍。這是因為，延遲相加法是把陣列形成的波束指向某個方向，由此可以獲得 來自于這個方向的信號的最大功率。就單個信號而言，延遲相加法可以很好地 估計出它的波達方向。但是當信號空間中存在多個信號的時侯，因為波束寬度的 限制，受到同一個波束內(nèi)信號之間的相互干擾，延遲相加法的估計性能就會急 12 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 劇的下降。 -80-60-40-20020406080 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 doa(degree) power(db) beamforming 圖 2.7 陣元個數(shù)為 16 時的多信號延遲相加法仿真 由圖 2.7 可以看出，增加陣列的陣元數(shù)可以改善延遲相加法的性能，提高 分辨率，但是這會使系統(tǒng)更加復雜，還會增加算法的計算量和數(shù)據(jù)存儲空間。 2.3.3 capon 最小方差法 capon 最小方差法的出現(xiàn)是為了解決延遲相加法分辨率差的缺點。用一部 分自由度在期望方向上形成一個波束，利用剩余的一部分自由度在干擾方向形成 零陷。這種方法使得輸出功率最小，使得非期望干擾信號的貢獻為最小，同時使 觀測方向上的增益達到最大，其數(shù)學表達式為： 2 min( )min w r w h xx ww ey t （2-20） 約束條件為()1 h d w a，這種方法又稱為最小方差無畸變響應波束形成器，它使 信號方差達到最小，同時使得來自期望方向的信號響應不變。 用拉格朗日數(shù)乘法求解上述約束最優(yōu)化問題， 將約束問題轉(zhuǎn)化為非約束問題， 用最小二乘法求解，得到最優(yōu)權(quán)向量為： 1 1 () ()() xxd h dxxd r a w ar a （2-21） 由上式可得，capon 空間譜的輸出功率與波達方向的函數(shù)關(guān)系為： 第二章 doa 估計的基本原理和方法 13 1 1 ( ) ( )( ) ar a capon h xx p （2-22） 由式（2-22）計算并畫出所在范圍內(nèi)的空間譜，空間譜上的峰值對應的角度就 是信號的波達方向（doa） 。 2.3.4 capon 最小方差法仿真結(jié)果及分析 在均勻等距線陣下對 capon 算法進行仿真，陣列的陣元數(shù)為 8，信噪比為 20db，考察非相干信號和相干信號兩種情況下算法的性能。信號的角度分別為 30 ， 15 ，0，15和30。仿真分析結(jié)果如下： -80-60-40-20020406080 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 doa(degree) power(db) capon 圖 2.8 多個非相干信號的 capon 算法仿真 14 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 -80-60-40-20020406080 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 doa(degree) power(db) capon 圖 2.9 多個相干信號的 capon 算法仿真 從圖2.8和圖2.9可以看出， capon算法比延遲相加法有了一定程度的改進， 可以對多個信號進行 doa 估計。但是 capon 算法只能分辨非相干信號，當存在 與感興趣信號相關(guān)的其它信號時，它就不能起作用了。這是因為 capon 算法在運 算的過程中使用到了信號的自相關(guān)矩陣，因而不能對干擾信號形成零陷。也就是 說，在使得輸出功率為最小的過程當中，相關(guān)分量可能會惡性合并。此外，capon 算法運算時需要對信號的自相關(guān)矩陣求逆，當陣列加大時會有巨大的運算量。 2.4 doa 估計的子空間方法 雖然 capon 最小方差算法等傳統(tǒng)算法通常很有效，但是這些方法在分辨率上 有著其本質(zhì)上的局限性，無法超過瑞利限的制約。之所以會有這些局限是因為這 些算法沒有利用式（2-8）給出的輸入信號模型結(jié)構(gòu)。從上個世紀 70 年代后期開 始，以多重信號分類（music）算法為代表的子空間分解類算法開始興起。這一 類算法有一個共同的特點，就是需要對陣列的接收數(shù)據(jù)矩陣進行數(shù)學分解（如奇 異值分解、 特征值分解和 qr 分解等） ， 將數(shù)據(jù)分解成兩個互相正交的特征子空間： 一個是信號子空間，另一個是噪聲子空間。子空間類算法按照處理方式的不同可 以分成兩類：一種是以 music 算法為代表的噪聲子空間類算法，另一種是以 esprit 算法為代表的信號子空間類算法。 第二章 doa 估計的基本原理和方法 15 2.4.1 music 算法 由前面章節(jié)的討論可知，窄帶遠場信號 doa 估計的數(shù)學模型為 x( )as( )n( )ttt （2-23） 陣列接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣為 rxx h e 2 a ss ai hh e 2 ar ai h s （2-24） 因為信號和噪聲之間相互獨立，所以陣列接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣可以分解為信號 部分和噪聲部分，上式中rs是信號的自相關(guān)矩陣，ar ah s 為信號部分， 2 i為 噪聲部分。 對自相關(guān)矩陣r做特征分解，可以得到 ru uu u hh sssnnn （2-25） 式（2-25）中，us是由屬于大特征值的特征向量所構(gòu)成的信號子空間，un是由 屬于小特征值的特征向量所構(gòu)成的噪聲子空間。 由于噪聲子空間和信號子空間是相互正交的，而由導向矢量所張成的空間與 信號子空間是一致的，因此有 0a ( )u h n （2-26） 經(jīng)典的 music 算法正是在式（2-26）這個性質(zhì)的基礎(chǔ)上提出來的，但是實際 中接收數(shù)據(jù)矩陣長度是有的，即陣列接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣的最大似然（ml）估 計為： 1 1 rxx l h i l （2-27） 對自相關(guān)矩陣 r做特征值分解，可以得到它的噪聲子空間 un和信號子空間 s u。 因為有噪聲的存在，所以a( )與 un不能夠完全的正交，即式（2-26）并不成立。 實際上求解 doa 估計是通過最小優(yōu)化搜索來實現(xiàn)的，即 argmin( )( ) au u a hh musicnn （2-28） 因此，可以得到 music 算法的空間譜估計函數(shù)為： 1 ( ) ( )( ) au u a music hh nn p （2-29） 16 基于壓縮感知的空域信號 doa 估計研究 當導向矢量 ( ) s au時， ( )au h n是一個非常小的值（接近于零） ，而當導 向矢量 ( ) s au時， ( )au h n是一個非零值。因此，由式（2-29）所產(chǎn)生的空間 譜會在信號源的方向上生成很尖的“譜峰” ，而在其它的方向上則會相對平坦。 應當指出，與傳統(tǒng)方法不同，music 算法在估計信號功率時并沒有考慮波達 角。在噪聲與信號源非相關(guān)的環(huán)境下，可以確保)( music p的譜峰對應著信號的真 實方向。由于)( music p的峰值是可以分辨的，并且與信號之間的真實角度間隔沒 有關(guān)系，因此從理論上來講，只要陣元位置校準的足夠準確，music 算法就可以 分辨出兩個鄰近的信號。 但是當入射信號之間彼此高度相關(guān)時， 自相關(guān)矩陣rxx會 變成奇異矩陣，這將導致 music 算法失效。 music 算法進一步的發(fā)展，出現(xiàn)了 music 算法的改進算法，例如基于解相 干的 music 算法、基于波束空間的 music 算法以及求根 music 算法等處理各 種復雜情況的空間譜估計算法。 2.4.2 esprit 算法 旋轉(zhuǎn)不變子空間算法（esprit）是空間譜估計算法中的典型算法之一，它和 前面介紹的 music 算法一樣，也需要對陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進行特征分 解。但是兩者也存在著明顯的不同點，即 music 算法利用了陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié) 方差矩陣的噪聲子空間和導向矢量之間的正交特性，而 esprit 算法則利用了陣 列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣信號子空間的旋轉(zhuǎn)不變性， 所以 music 算法與 esprit 算法可以看成為是一種互補的關(guān)系。和 music 算法相比，esprit 算法具有計算 量小的優(yōu)點，且不需要進行譜峰搜索。 與 music 算法不同的是，esprit 算法不需要知道精確的導向矢量，只需要 各子陣之間的陣元保持一致。這種算法思想是將接收陣列在幾何結(jié)構(gòu)上分為兩個 完全一致的位置平移的子陣列，兩個子陣列之間具有平移不變性。使信號源入射 角在兩個子陣列上只相差一個旋轉(zhuǎn)不變因子，這一旋轉(zhuǎn)不變因子包含了各個入射 信號的到達角信息，可以通過求解一個廣義特征值方程得到。 esprit 算法的最基本的假設是，存在著兩個完全相同的子陣列，且兩個子 陣列的間距是已知的。以線形陣列為例，考察一個由 m 個陣元所組成的均勻等 距線陣，如圖 2.5 所示： 第二章 doa 估計的基本原理和方法 17 圖 2.5 均勻等距線陣模型圖 將這個均勻等距線陣分成兩個子陣列，其中，子陣列 1 由第 1 至第 m-1 個陣 元組成，子陣列 2 由第 2 至第 m 個陣元組成。 令nm矩陣 (1)(2)()xxxxn （2-30） 代表均勻等距線陣的接收數(shù)據(jù)矩陣，其中， 12 ( )( )( )( )x t m nx nx nxn是由 m 個陣元在 n 時刻的觀測信號組成的接收數(shù)據(jù)矢量，n為數(shù)據(jù)長度，即 nn, 2 , 1。 若令