高考數(shù)學(xué)高考大題增分課（二）三角函數(shù)與解三角形中的高考熱點問題教學(xué)案文（含解析）北師大版.docx

二 三角函數(shù)與解三角形中的高考熱點問題 命題解讀從近五年全國卷高考試題來看，解答題第1題(全國卷T17)交替考查三角函數(shù)、解三角形與數(shù)列，本專題的熱點題型有：一是三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；二是解三角形；三是三角恒等變換與解三角形的綜合問題，中檔難度，在解題過程中應(yīng)挖掘題目的隱含條件，注意公式的內(nèi)在聯(lián)系，靈活地正用、逆用及變形公式，并注重轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)要進(jìn)行五點法作圖、圖像變換，研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等，都應(yīng)先進(jìn)行三角恒等變換，將其化為yAsin(x)的形式，然后利用整體代換的方法求解【例1】(2017浙江高考)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f 的值；(2)求f(x)的最小正周期及遞增區(qū)間解(1)由sin，cos，得f 2，所以f 2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin，所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的遞增區(qū)間是(kZ)規(guī)律方法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先通過三角恒等變換把函數(shù)化為yAsin(x)的形式，再把“x”視為一個整體，結(jié)合函數(shù)ysin x的單調(diào)性找到“x”對應(yīng)的條件，通過解不等式可得單調(diào)區(qū)間 (2019北京海淀模擬)已知函數(shù)f(x)sin 2xcoscos 2xsin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱軸方程；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值解(1)f(x)sin 2xcoscos 2xsinsin2x，所以f(x)的最小正周期T，因為ysin x的對稱軸方程為xk，kZ，令2xk，kZ，得xk，kZ，f(x)的對稱軸方程為xk，kZ.(2)因為x，所以2x0，所以2x，所以當(dāng)2x，即x時，f(x)在上的最大值為1.解三角形從近幾年全國卷來看，高考命題強(qiáng)化了解三角形的考查力度，著重考查正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是邊角互化，結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行化簡與求值【例2】(本小題滿分12分)(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周長信息提取看到條件ABC的面積，想到三角形面積公式；看到(2)中6cos Bcos C1和(1)的結(jié)論，想到兩角和的余弦公式，可求角A，進(jìn)而利用面積公式和余弦定理求bc.規(guī)范解答(1)由題設(shè)得acsin B，即csin B.2分由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.5分(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC).所以BC，故A.7分由題設(shè)得bcsin A，a3，所以bc8.9分由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.11分故ABC的周長為3.12分易錯與防范易錯誤區(qū)：(1)三角形面積公式選用不當(dāng)，導(dǎo)致無法求解第(1)問(2)根據(jù)6cos Bcos C1和sin Bsin C，聯(lián)想不到使用公式cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C導(dǎo)致無法求解第(2)問防范措施：(1)在選用面積公式時，應(yīng)保證消去sin A，故應(yīng)選擇公式SABCabsin C或SABCacsin B(2)對于兩角和與差的正弦、余弦和正切公式應(yīng)加強(qiáng)逆用的應(yīng)用意識，根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征恰當(dāng)選擇公式通性通法解三角形問題要關(guān)注正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，要適時、適度進(jìn)行“角化邊”或“邊化角”，要抓住能用某個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則兩個定理都有可能用到 (2019莆田模擬)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ctan C(acos Bbcos A)(1)求角C；(2)若c2，求ABC面積的最大值解(1)ctan C(acos Bbcos A)，sin Ctan C(sin Acos Bsin Bcos A)，sin Ctan Csin(AB)sin C，0C，sin C0，tan C，C60.(2)c2，C60，由余弦定理c2a2b22abcos C，得12a2b2ab2abab，ab12，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時，等號成立SABCabsin C3.ABC面積的最大值為3.三角恒等變換與解三角形的綜合問題以三角形為載體，三角恒等變換與解三角形交匯命題，是近幾年高考試題的一大亮點，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是根據(jù)題目提供的信息，恰當(dāng)?shù)貙嵤┻吔腔セ纠?】在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin B(1)求A；(2)若a3，求b2c的最大值解(1)cos(CB)cos(CB)cos2Asin Csin Bcos2(CB)sin Csin B，則cos(CB)cos(CB)cos(CB)sin Csin B，則cos A2sin Csin Bsin Csin B，可得cos A，0A，A60.(2)由2，得b2c2(sin B2sin C)2sin B2sin(120B)2(2sin Bcos B)2sin(B)，其中tan ，.由B，得B，sin(B)的最大值為1，b2c的最大值為2.規(guī)律方法1.以三角形為載體，實質(zhì)考查三角形中的邊角轉(zhuǎn)化，求解的關(guān)鍵是抓住邊角間的關(guān)系，恰當(dāng)選擇正、余弦定理2解三角形常與三角變換交匯在一起(以解三角形的某一結(jié)論作為條件)，此時應(yīng)首先確定三角形的邊角關(guān)系，然后靈活運(yùn)用三角函數(shù)的和、差、倍角公式化簡轉(zhuǎn)化 (2019石家莊模擬)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，且tan Atan B(1)求角A的大?。?2)設(shè)D為AC邊上一點，且BD5，DC3，a7，求c.解(1)在ABC中，tan Atan B，即，則tan A，又0A，A.(2)由BD5，DC3，a7，得cosBDC，又0BDC，BDC.又A，ABD為等邊三角形，c5.大題增分專訓(xùn)1(2019泰安模擬)設(shè)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)求f(x)的遞增區(qū)間；(2)把yf(x)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖像，求g的值解(1)f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的遞增區(qū)間是(kZ)(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)2sin1的圖像，再把得到的圖像向左平移個單位，得到y(tǒng)2sin x1的圖像，即g(x)2sin x1，所以g2sin 1.2(2019合肥模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足a(sin Asin C)csin Cbsin(AC)(1)求角B；(2)若b6，sin C，求ABC的面積S.解(1)因為ACB，所以由已知得a(sin Asin C)csin Cbsin(B)，即a(sin Asin C)csin Cbsin B根據(jù)正弦定理可得a(ac)c2b2，即a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，因為0B，所以B.(2)因為B，所以C為銳角，故cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin Csincos.由正弦定理，得a.所以ABC的面積Sabsin C6.3(2019石家莊模擬)某學(xué)校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)BCDCDE，BAE，DE3BC3CD km.(1)求道路BE的長度；(2)求生活區(qū)ABE面積的最大值解(1)如圖，連接BD，