清北學(xué)堂 2014年暑假高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽班型入學(xué)測(cè)試

2014 年 暑假 高中 數(shù)學(xué) 競(jìng)賽 班型 入學(xué)測(cè)試 試卷說明 本測(cè)試與 2014 年 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 難度相當(dāng)。 希望學(xué)員經(jīng)由本試卷了解數(shù)學(xué)聯(lián)賽題型及難度，對(duì) 14 年 9 月 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 舉辦之前的學(xué)習(xí)進(jìn)度給出合理安排。 本測(cè)試用于學(xué)生對(duì)水平進(jìn)行提前自我評(píng)估，測(cè)試答案將于 6 月 20 日中午 12:00，在清北學(xué)堂官方網(wǎng)站進(jìn)行發(fā)布。如有學(xué)員希望單獨(dú)得到金牌助教們的閱卷及分析，請(qǐng)通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測(cè)結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測(cè)答案單獨(dú)以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會(huì)在收到答案的兩周內(nèi)進(jìn)行評(píng)閱并進(jìn)行個(gè)性化分析。 （ 2014 年 暑假 集中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/RXCS2014/6-1 2014-6-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱 物理競(jìng)賽郵箱 化學(xué)競(jìng)賽郵箱 生物競(jìng)賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號(hào) 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程 入學(xué)測(cè)試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁(yè) 2014 年 暑假 高中 數(shù)學(xué) 競(jìng)賽 班 型 入學(xué)測(cè)試 一試難度 一、 填空題：本大題共 8 小題，每小題 8 分，共 64分 1、 正整數(shù) 500n ，具有如下性質(zhì)：從集合 1,2, ,500 中任取一個(gè)元素 m，則 m 整除 n的概率是 1100 ，則 n 的最大值是 . 2、 數(shù)列 0 1 2,a a a ， ， 滿足：01 13 , nn na a a a （ na與 na 分別表示 na 的整數(shù)部分和小數(shù)部分），則 2014a . 3、 將棱 長(zhǎng)為 1的正方體 的八個(gè)頂點(diǎn)按紅、藍(lán)間隔染色，使得每條棱上的兩頂點(diǎn)不同色；那么，由紅色頂點(diǎn)連成的四面體與由藍(lán)色頂點(diǎn)連成的四面體的公共部分的體積是 4、 設(shè)偶函數(shù) fx滿足： 12f ，且當(dāng) 0xy 時(shí)， 22 f x f yf x yf x f y ，則 5f 5、 zyx , 是 不 同 的 正 整 數(shù) ， 若 )2(,)1(, 222 nnnxzzyyx ，則222 zyx 的最小值是 _ 6、 如果 2 12|c o ss in| qp 對(duì)于任意的 2,0 恒成立，則 qp = . 7、 四棱錐 P ABCD 的底面 ABCD 是頂角為 060 的菱形，側(cè)面與底面的夾角都為 060 ，棱錐內(nèi)有一點(diǎn)到底面及各側(cè)面的距離皆為 1，則棱錐的體積為 8、 橢圓 22 1 0xy abab 的中心，右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，右準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)依次為, , ,OFGH ，則 FGOH 的最大值為 . 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程 入學(xué)測(cè)試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁(yè) 二、 解答題：本大題共 3 個(gè)小題，共 56 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 9、（ 16 分 ） 給定圓 P： 222x y x及拋物線 S： 2 4yx ，過圓心 P 作直線 l ，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為 , , ,ABCD ，如果線段 ,ABBCCD 的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求直線 l 的方程 . 10、（ 20 分 ） 已知函數(shù) )(nf 是定義在 N 上的嚴(yán)格增函數(shù)，其值域也在 N 之中，且滿足nnff 3)( .求 (2014)f 11、 （ 20 分 ） 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 na ， 12,a a a b，且對(duì)滿足 m n p q 的正整數(shù), , ,mnpq 都有 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a （ 1）當(dāng) 14,25ab時(shí)，求通項(xiàng) ；na （ 2）證明：對(duì)任意 a ，存在與 a 有關(guān)的常數(shù) ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n ，都有 1 .na 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程 入學(xué)測(cè)試 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁(yè) 加試難度 一、（本題滿分 40 分） P 為銳角 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，直線 al 和 PA 關(guān)于 A 的角平分線對(duì)稱，直線 bl 和 PB 關(guān)于 B 的角平分線對(duì)稱， 直線 cl 和 PC 關(guān)于 C 的角平分線對(duì)稱， 1 證明,a b cl l l 三線交于一點(diǎn) Q ； 2 若 P 在三條邊 ,BCCAAB 上的投影分別為 ,DEF ，證明 P為 DEF 的重心的充分必要條件是 Q 為 ABC 的重心。 二、（ 本題滿分 40 分）已知 ,xyz 是正實(shí)數(shù)， 證明2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 4x y y z zxx y z x y z x y z 。 三、（ 本題滿分 50 分） 求不定方程 n14 +n24 +n134 = 2014的所有非負(fù)整數(shù)解。 四、（ 本題滿分 50 分） 設(shè)正八邊形 P 的所有頂點(diǎn)和對(duì)角線的交點(diǎn)的集合為 M ，所有邊和對(duì)角線上兩個(gè)端點(diǎn)屬于