清北學(xué)堂講義 高中物理競(jìng)賽解題方法 九、估算法

- 1 -   高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法   九、估算法  方法簡(jiǎn)介    有些物理問(wèn)題本身的結(jié)果，并不一定需要有一個(gè)很準(zhǔn)確的答案，但是，往往需要我們對(duì)事物有一個(gè)預(yù)測(cè)的估計(jì)值；有些物理問(wèn)題的提出，由于本身?xiàng)l件的限制，或者實(shí)驗(yàn)中尚未觀察到必要的結(jié)果，使我們解決問(wèn)題缺乏必要的已知條件，無(wú)法用常規(guī)的方法來(lái)求出物理問(wèn)題的準(zhǔn)確答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住問(wèn)題的主要本質(zhì)，充分應(yīng)用物理知識(shí)進(jìn)行快速數(shù)量級(jí)的計(jì)算 .近幾年來(lái)，競(jìng)賽試題中頻頻出現(xiàn)的各類估算題，的確是判斷學(xué)生思維能力的好題型 .  賽題精析    例 1  已知地球半徑 約為 6.4106m，又知月球繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則可估算出月球到地心的距離約為           m.（結(jié)果只何留一位有效數(shù)字）   解析   因?yàn)樵虑蚶@地球的運(yùn)動(dòng)可近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以可根據(jù)月球所受的萬(wàn)有引力提供月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力及月球公轉(zhuǎn)周期求解此問(wèn)題，也可根據(jù)地球上的光經(jīng)月球反射 2 秒后返回地球的知識(shí)估算 .  根據(jù)運(yùn)動(dòng)定律及萬(wàn)有引力定律得：   rTmrGM m 22 )2(  gmR mGM 2  由、兩式代入數(shù)據(jù)可得 r =4.1108m（其中 T 是月球繞地球旋轉(zhuǎn)周期， T=30 天）   例 2  估算在室溫下，真空度達(dá) 1.3310 1Pa 時(shí)，容器內(nèi)空氣分子的平均距離 .（取一位有效數(shù)字即可）   解析   要想求容器內(nèi)空氣分子的平均距離，則可以根據(jù)克拉珀龍方程求出每個(gè)空氣分子所占的體積，由此即可求解 .  取 1 摩爾空氣作為研究對(duì)象，   視每個(gè)空氣分子所占的空間是以分子間的平均距離 a 為邊長(zhǎng)的立方體，每個(gè)分子處在立方體的中心 .則每個(gè)空氣分子占據(jù)的空間的體 積為 30 aV   根據(jù)克拉珀龍方程， 1 摩爾空氣占據(jù)的總體積 V=RT/p=N0V0=N0 3a   所以空氣分子間平均距離 3 0/ pNRTa ，近似地取室溫 T=300K，代入數(shù)據(jù)可算得：  清北學(xué)堂 - 2 -    分子間平均距離為： ma 5101   例 3  密閉容器的氣體壓強(qiáng)為 Pap 210 ，溫度為 27，估算其中分子的間距（保留一位有效數(shù)學(xué)字） .  解析   以密閉容器內(nèi) 的一定量氣體為研究對(duì)象，選取標(biāo)準(zhǔn)狀況為該氣體的一個(gè)已知狀態(tài)，根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程可求解 .  取 1 摩爾氣體作為研究對(duì)象，在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下為 330 104.22 mV ，所包含的分子數(shù)為NA=6.0231023 個(gè) .在題設(shè)條件下，設(shè)其體積為 V，則根據(jù)氣態(tài)方程：   有TpVTVp 0 00  每個(gè)分子所占的空間體積為ANVV ，分子間的距離為 .107 73 mVd   例 4  已知一密閉容器內(nèi)的氣體分子平均距離為 md 9103 ，溫度為 27，試估算容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)多大？（保留一位有效數(shù)學(xué)）   解析   要想估算容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)，則可根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程求解，其中選一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)為已知狀態(tài) .  一個(gè)分子占擾的體積為 3273 1027 mdV ，   1 摩爾分子占據(jù)的體積為 VnV 0   由TpVTVp 0 00，解得 PapVT TVp 5000 102  例 5  已知冰、水和水蒸氣在一密閉容器中能在某一外界條件下 處于三態(tài)平衡共存（容器內(nèi)無(wú)任何其他物質(zhì)），這種狀態(tài)稱為水的三相點(diǎn)，其三相點(diǎn)溫度為 0.01，三相點(diǎn)壓強(qiáng)為4.58mmHg.現(xiàn)有冰、水和水蒸氣各 1g 處于三相點(diǎn)，若在保持總體積不變的情況下對(duì)此系統(tǒng)緩慢加熱，輸入熱量 Q=2.25105J，試估算系統(tǒng)再達(dá)平衡后冰、水和水蒸氣的質(zhì)量 .已知水的密度和冰的密度分別為 1103kg/m3 和 0.9103kg/m3，冰在三相點(diǎn)時(shí)的升華熱 L 升 =2.83106J/kg，水在三相點(diǎn)的汽化熱 L 汽 =2.49106J/kg.  解析   由題給數(shù)據(jù)可利用以下近似關(guān)系求得冰的熔化熱   L 熔 =L 升 L 氣 =0.34106J/kg                                         因?yàn)榫従徏咏o系統(tǒng)的熱 Q< L 熔 ，所以冰不能全部熔化，系統(tǒng)在物態(tài)變化過(guò)程中始終是三態(tài)共存且接近平衡，因此系統(tǒng)的溫度和壓強(qiáng)均不變 . 清北學(xué)堂 - 3 -    現(xiàn)在估算在題給溫度、壓強(qiáng)條件下水蒸氣的密度 氣 ，用理想氣體狀態(tài)方程可得   ,/ tt RTp氣 為水蒸氣的摩爾質(zhì)量   代入數(shù)值 Pam m H gpKm o lJRm o lkg t 6 1 058.4,/31.8,/1018 3 得   KTt 273   估算可得 33 /105 mkg氣   在同樣的條件下，水的密度 33 /101 mkg水 ，冰的密度 ./109.0 33 mkg冰 由此可知，水蒸氣的體積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水和冰的體積之和，又由于冰熔化為水時(shí)體積變化不大，在總體積保持不變的條件下，完全可以認(rèn)為物態(tài)變化過(guò)程中水蒸氣的體積不變，也就是再達(dá)到平衡時(shí)，水蒸氣的質(zhì)量仍為 1g，物態(tài)變化過(guò)程幾乎完全是冰熔為水的過(guò)程 .  設(shè)后來(lái)冰、水、水蒸氣的質(zhì)量分別為 x 、 y 、 z ，則有   z=1g                                                 x+y=2g                                               根據(jù)能量守恒定律，有（ 1 x） L 熔 =Q                   由式可得 gzgygx 175.125.0   例 6  假想有一水平方向的勻 強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度 B 很大，有一半徑  為 R，厚度為 d（ Rd ）  的金屬圓盤在此磁場(chǎng)中豎直下落，盤面始  終位于豎直平面內(nèi)并與磁場(chǎng)方向平行，如圖 2 9 1 所示，若要使圓  盤在磁場(chǎng)中下落的加速度比沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)減小千分之一（不計(jì)空氣阻力），  試估算所需磁感強(qiáng)度的數(shù)值，假定金屬盤的電阻為零，并設(shè)金屬的密度  33 /109 mkg ，介電常數(shù) ./109 2212 mNC   解析   當(dāng)盤在磁場(chǎng)中下落速度為 v 時(shí)，盤中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Bvd ，在感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用下，圓盤兩個(gè)表面上將帶有等量異號(hào)的電荷（ Q）因?yàn)楸P電阻為零，所以電荷（ Q）引起的兩表面間的電壓 U 等于盤中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的數(shù)值，即 U=Bvd .  圓盤上的 Q 與 U 之間的關(guān)系跟一個(gè)同樣尺寸的帶電電容器上的 Q 與 U 的關(guān)系相同，此電容器的電容 C= dRdS / 2 ，故圓盤表面所帶電量 Q=CU= .2BvR   在盤下落過(guò)程中，盤的 速度 v 隨時(shí)間增大，盤面上的電量 Q 也隨時(shí)間增大，由此可求出盤中電流 I= Q/ t= tvBR /2 ，磁場(chǎng)對(duì)此電流的作用力 F 的方向向上，大小為F=BId= tvBR /2 .若盤的質(zhì)量為 m，則盤受到的力為 F 和重力 mg，盤的加速度 清北學(xué)堂 - 4 -   tva / 可由下式求出   tvmmaFmg      由此得盤的加速度 dBRm mga22  按 題意 gga )1000/1( ，由此得100012 B  所以磁感應(yīng)強(qiáng)度 63 1010 B  針對(duì)訓(xùn)練  1估算地球大氣總質(zhì)量 M 和部分了數(shù) N. 2已知銅的 8.9103kg/m3，原子量為 64.通過(guò)估算可知銅中每個(gè)銅原子所占的體積為（     ）   A 7 10 6m3 B 1 10 29m3 C 1 10 26m3 D 8 10 24m3 3只要知道下列哪一組物理量，就可以估算出氣體中分子間的平均距離？  （     ）   A阿 伏伽德羅常數(shù)、該氣體的摩爾質(zhì)量和質(zhì)量   B阿伏伽德羅常數(shù)、該氣體的摩爾質(zhì)量和密度   C阿伏伽