2014年全國高考數(shù)學(xué)試題湖北卷（理）

2014年 全國高考數(shù)學(xué)試題 湖北卷 （理） 。 一選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分 . 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. i 為虛數(shù)單位，則 2)11( ii（ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 2. 若二項(xiàng)式 7)2(xax的展開式中31x 的系數(shù)是 84，則實(shí)數(shù) a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D. 42 3. 設(shè) U 為全集， BA, 是集合，則“存在集合 C 使得 CCBCAU ,是“ BA ” 的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 4.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5.0 0.5 0.2 0.3 得到的回歸方程為 abxy ，則（ ） A. 0,0 ba B. 0,0 ba C. 0,0 ba D. 0.0 ba 5.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 xyzO 中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（ 0,0,2），（ 2,2,0）， （ 1,2， 1），（ 2,2,2），給出編號(hào)、的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ） A. 和 B.和 C. 和 D.和 6.若函數(shù) 1,1)(),(,0)()()(),( 11 為區(qū)間則稱滿足 xgxfdxxgxfxgxf上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)： xxgxxf21c os)(,21s in)( ； 1)(,)( xxgxxf ； 2)(,)( xxgxf 其中為區(qū)間 1,1 的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7.由不等式0200xyyx 確定的平面區(qū)域記為1，不等式21yxyx ，確定的平面區(qū)域記為2 ，在 1 中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2 內(nèi)的概率為（ ） A.81 B.41 C. 43 D.87 8.算數(shù)書竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也 .又以高乘之，三十六成一 . 該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長 L 與高 h ，計(jì)算其體積 V 的近似公式 21 .36v L h它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率 近似取為 3.那么近似公式 2275v L h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的 近似取為（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113 9.已知12,FF是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)， P 是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且123F PF ,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ） A.433 B.233 C.3 D.2 10.已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x 0 時(shí)， )32(21)( 222 aaxaxxf .若 Rx ,f(x-1) f(x),則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 A 61,61 B 66,66 C 31,31 D 33,33 二、 填空題：本大題共 6 小題，考生共需作答 5 小題，每小題 5 分，共 25 分 .請(qǐng)將答案 填在 答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào) 的位置上，答錯(cuò)位置，書寫不清，模棱兩可均 不得分 . （一） 必考題（ 11 14 題） 11.設(shè)向量 (3,3)ar ， (1, 1)b r ，若 a b a b r r r r，則實(shí)數(shù) _. 12.直線1l： y=x+a和2l ： y=x+b將單位圓 22:1C x y分成長度相等的四段弧，則22ab_. 13.設(shè) a 是一個(gè)各位數(shù)字都不是 0 且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) .將組成 a 的 3 個(gè)數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為 Ia，按從大到小排成的三位數(shù)記為 Da（例如 815a ，則 158Ia ， 851Da ） .閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個(gè) a ，輸出的結(jié)果b _. 14.設(shè) xf 是定義在 ,0 上的函數(shù)，且 0xf ，對(duì)任意 0,0 ba ，若經(jīng)過點(diǎn) bfbafa , 的直線與 x 軸的交點(diǎn)為 0,c ，則稱 c 為 ba, 關(guān)于函數(shù) xf 的平均數(shù)，記為),( baMf ，例如，當(dāng) )0(1 xxf 時(shí)，可得 2),( bacbaM f ，即 ),( baM f 為 ba, 的算術(shù)平均數(shù) . （ 1） 當(dāng) )0_ _ ( xxf 時(shí)， ),( baMf為 ba, 的幾何平均數(shù)； （ 2） 當(dāng)當(dāng) )0_ _ ( xxf 時(shí)， ),( baMf為 ba, 的調(diào)和平均數(shù)baab2； （以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可） （二） 選考題 15.（選修 4-1：幾何證明選講） 如圖， P 為 O 的 兩條切線，切點(diǎn)分別為 BA, ，過 PA 的中點(diǎn) Q 作割線交 O 于 DC, 兩點(diǎn)，若 ,3,1 CDQC 則 _PB 16.（選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 已知曲線1C的參數(shù)方程是33tytx 為參數(shù)t ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線2C的極坐標(biāo)方程是 2 ，則1C與2C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 _ 17.（本小題滿分 11 分） 某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位： ）隨時(shí)間 （單位 ；h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系； (1) 求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差； (2) 若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于 ，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？ 18.（本小題滿分 12 分） 已知等差數(shù)列 滿足： =2，且 ， 成等比數(shù)列 . （ 1） 求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 . （ 2） 記 為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，是否存在正整數(shù) n，使得 若存在，求 n的最小值；若不存在，說明理由 . 19.(本小題滿分 12分 ) 如圖，在棱長為 2的正方體 1111 DCBAABCD 中， NMFE , 分別是棱 1111 , DABAADAB 的中點(diǎn)，點(diǎn) QP, 分別在棱 1DD , 1BB 上移動(dòng)，且 20 BQDP . （ 1） 當(dāng) 1 時(shí)，證明：直線 1BC 平面 EFPQ ； （ 2） 是否存在 ，使平面 EFPQ 與面 PQMN 所成的二面角？若存在，求出 的值；若不存在，說明理由 . 20.（本小題滿分 12 分） 計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去 50 年的水文資料顯示，水庫 年入流量X (年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和 .單位：億立方米）都在 40 以上 .其中，不足80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超過 120 的年份有 35 年，超過 120 的年份有 5 年 .將年入流 量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立 . (1)求未來 4 年中，至多 1 年的年入流量超過 120 的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量 X 限制，并有如下關(guān)系； 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤為 5000 萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損 800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？