（應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）時(shí)滯微分方程周期解問(wèn)題的拓?fù)涠确椒?pdf

摘要 本文主要研究拓?fù)涠确椒ㄔ跁r(shí)滯微分方程周期解問(wèn)題中的應(yīng) 用全文共分三章 第一章首先利用l 一集壓縮算子的重合度方法研究了非線 性算子方程的可解性，然后利用獲得的算子方程解的存在性定理研 究了一類(lèi)中立型共振泛函微分方程周期解的存在性問(wèn)題 第二章應(yīng)用m a w h i n 重合度延拓定理給出了一種可將先驗(yàn)估計(jì) 與構(gòu)造同倫變換結(jié)合實(shí)施的方法，并利用該方法研究了具投放的時(shí) 滯l o t k a - v o l t e r r a 型競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)與捕食者一食餌擴(kuò)散系統(tǒng)正周期 解的存在性與全局吸引性 第三章首先利用一集壓縮映射的n u s s b a u m 度方法研究了具 有一般形式的中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性問(wèn)題，然后利用 所得結(jié)果研究了具投放的中立型時(shí)滯競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)正周期解的存 在性問(wèn)題 關(guān)鍵詞：l k 一集壓縮映射，女一集壓縮映射，n u s s b a u m 度， l e r a y s c h a u d e r 度，m a w h i n 重合度，算子方程，可解性，共振，時(shí) 滯，種群模型，周期解 a b s t r a c t t h i sr e s e a r c hr e p o r ti sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d si n p e r i o d i cs o l u t i o np r o b l e m s o fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ew h o l ep a p e rc o n t a i n s t h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 d i s c u s s e st h es o l v a b i l i t yo fn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s 。e x i s t e n c e r e s u l t sa r eo b t a i n e da n dt h e na p p l i e dt op e r i o d i cs o l u t i o np r o b l e m so fac l a s so f n e u t r a ld e l a yd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa tr e s o n a n c e c h a p t e r2i n t r o d u c e sau n i f i e dm e t h o do fe v a l u a t i n gt h ep r i o r i b o u n d so us o u t i o n sa n dc o n s t r u c t i n gh o m o t o p yt r a n s f o r m a t i o n sa n di n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c ea n d 9 1 0 b “a t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rd e l a yl o t k a - v o k e r r a c o m p e t i t i o n p a t c hs y s t e m sa n dd e l a yp r e d a t o r p r e yp a t c hs y s t e m sw i t hs t o c k i n g c h a p t e r3 d e v o t e st oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fn e u t r a l d e l a ye q u a t i o n sb ym e a n s o fn u s s b a u m d e g t e et h e o r y as e to fc r i t e r i a5 r eo b t a i n e d f o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so fan e u t r a ld e l a yc o m p e t i t i o nm o d e l w i t hd i i r m s i o n8 n ds t o 吐 k e yw o r d s ：l 一女一s e tc o n t r a c t i o nm a p p i n g ；k - s e tc o n t r a c t i o nm a p p i n g ； n u s s b a u md e g r e e ；l e r a y s c h a u d e rd e g r e e ；m a w h i nc o i n c i d e n c ed e g r e e ；o p e r a t o r e q u a t i o n ；s o l v a b i l i t y ；r e s o n a n c e ；d e l a y ；p o p u l a t i o nm o d e l ；p e r i o d i c s o l u t i o n 序言 對(duì)在共振情形下具有小參數(shù)的一階非線性常微分方程組邊值問(wèn)題的研究已有許 多結(jié)果，參見(jiàn)文獻(xiàn) 3 1 ，5 8 及所附參考文獻(xiàn)對(duì)于不含小參數(shù)，非線性項(xiàng)滿(mǎn)足l a n d e s m a n l a z e r 型條件的方程也有許多結(jié)果( 見(jiàn)文獻(xiàn) 2 4 ) 對(duì)于方程中線性部分的核維數(shù)大于 1 的情形，文獻(xiàn)1 6 ，4 1 ，5 2 5 5 ，5 9 】獲得了一系列結(jié)果，但他們研究的方程均為常微分方 程或非中立型泛函微分方程最近，文 5 1 利用m a w h i n 重合度理論研究了一類(lèi)共 攝n 一維中立型微分系統(tǒng)周期解的存在性問(wèn)題，但該文僅考慮了中立項(xiàng)是線性的情 形，且其方法也不適用于中立項(xiàng)是非線性的情形據(jù)我們所知，對(duì)中立項(xiàng)是非線性的 共振泛函微分方程周期解的存在性這一重要而又困難的問(wèn)題尚未見(jiàn)有結(jié)果發(fā)表 本文第一章首先利用工一集壓縮算子的重合度理論討論了一類(lèi)非線性算子 方程的可解性，然后利用獲得的算子方程解的存在性定理研究了一類(lèi)中立型共振泛 函微分方程周期解的存在性問(wèn)題 利用拓?fù)涠确椒ㄑ芯糠N群模型的周期解問(wèn)題，最早的工作見(jiàn)于文 1 1 但該文僅 考慮了無(wú)時(shí)滯情形1 9 9 6 年，文 4 3 】將m a w h i n 重合度理論中的如下結(jié)果應(yīng)用于時(shí) 滯種群模型周期解問(wèn)題的研究： m a w h i n 延拓定理a 假定三是指標(biāo)為0 的p r e d h o l m 算子，在q 上是三一 緊的如果下列條件成立： 1 ) l x a n x ，v a ( 0 ，1 ) ，g 。a n ； 2 ) q z o ，v 茁k e r l l 3 a 啦 3 ) b r o u w e r 度d e g b ( j q n ，n n k e r l ，0 ) 0 則算子方程l x = n x 在d o t a l n q 中至少存在一個(gè)解 迄今為止，已有許多論文利用這種方法研究時(shí)滯種群模型的周期解問(wèn)題( 例如： 1 2 1 9 ，4 3 4 8 ：6 4 ，7 0 ，7 4 ，7 5 ，7 7 ) 利用該方法的關(guān)鍵在于對(duì)解進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)及計(jì)算出相 關(guān)映射的b r o u w e r 度，在以往的有關(guān)研究中，二者是分別實(shí)施的，即先進(jìn)行先驗(yàn)估 計(jì)，然后通過(guò)構(gòu)造同倫變換或直接計(jì)算出b r o u w e r 度這些論文大都未考慮到進(jìn)行 先驗(yàn)估計(jì)與構(gòu)造同倫變換之間存在的可能聯(lián)系，有些論文為了計(jì)算出相關(guān)映射的 b r o u w e r 度而不得不增加相關(guān)的代數(shù)方程組有唯一解或有限個(gè)解的假設(shè)條件( 如文 1 6 ，1 8 ，4 4 ，4 7 ，7 0 】) 文 7 4 ，7 5 雖然注意到了二者間存在某種聯(lián)系，但二者仍是分別實(shí) 施的 本文第二章應(yīng)用m a w h i n 重合度理論中的如下結(jié)果給出了一種可將先驗(yàn)估計(jì)與 構(gòu)造同倫變換結(jié)合實(shí)施的方法，并利用該方法研究了具投放的時(shí)滯l o t k a - v o l t e r r a 型競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)與時(shí)滯捕食者一食餌擴(kuò)散系統(tǒng)正周期解的存在性與全局吸引性 m a w h i n 延拓定理b 【2 5 假定是指標(biāo)為0 的f r e d h o l m 算子，在q 【o ，t ! 上 是l 一緊的如果下列條件成立： 1 1l x a ( z ，a ) ，v a ( 0 ，1 ) ，o a n ； 湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告 2 2 ) q n ( z ，o ) o ，v x k e r l n 磷 ： 3 ) b r o u w e r 度d e g b ( j q n ( - ，o ) ，q n k e r l ，0 ) 0 則算子方程l x = ( z ，1 1 在d o t a l n q 中至少存在一個(gè)解 在研究時(shí)滯種群模型的周期解問(wèn)題時(shí)，定義n ( x ，a ) 時(shí)合適地確定a 的位置將 使m a w h i n 延拓定理b 中條件2 ) ，3 ) 的驗(yàn)證顯而易見(jiàn)基本方法是除模型中的種內(nèi) 競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)外，其余項(xiàng)均可考慮在前面加上a 應(yīng)用這種處理方法，文f 1 6 ，1 8 ，4 4 ，4 7 ，7 0 中 代數(shù)方程組有唯一解或有限個(gè)解的假設(shè)條件均可去掉此方法對(duì)研究離散形式的時(shí) 滯種群模型及具有脈沖效應(yīng)的時(shí)滯種群模型的周期解問(wèn)題也同樣適用 對(duì)于中立型時(shí)滯種群模型的周期解問(wèn)題，由于的定義空間是c 1 ( r ，r ) 空問(wèn) 的子空間，因而要驗(yàn)證三一緊的定義中“k p ( ，一q ) n ：n 【0 ：1 1 - x 是緊的”的冬 件是極其困難的，因此，在此情形下，很難直接將m a w h i n 延拓定理應(yīng)用于中立型 時(shí)滯模型周期解問(wèn)題的研究對(duì)于中立型單種群時(shí)滯模型，可利用文 6 0 給出的一 個(gè)一集壓縮延拓定理進(jìn)行研究，參看文 2 0 ，但該方法不適用于中立型多種群時(shí)滯 模型 本文第三章首先利用k 一集壓縮映射的n u s s b a u m 度方法研究了具有一般形式 的中立型時(shí)滯微分方程周期解的存在性問(wèn)題，然后利用所得結(jié)果研究了一類(lèi)中立型 時(shí)滯競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)正周期解的存在性問(wèn)題 第一章l 一一集壓縮算子的重合度理論與時(shí)滯微分方程的 周期解問(wèn)題 1 1 引言 對(duì)在共振情形下具有小參數(shù)的一階菲線性常微分方程組邊值問(wèn)題的研究已有許 多結(jié)果，參見(jiàn)文獻(xiàn) 3 1 ，5 8 及所附參考文獻(xiàn)對(duì)于不含小參數(shù)，非線性項(xiàng)滿(mǎn)足l a n d e s m a n - l a z e r 型條件的方程也有許多結(jié)果( 見(jiàn)文獻(xiàn)( 2 4 1 ) 。對(duì)于方程中線性部分的核維數(shù)大于 1 的情形，文獻(xiàn) 6 ，4 1 ，5 2 5 5 ，5 9 獲得了一系列結(jié)果，但他們研究的方程均為常微分方 程或非中立型泛函微分方程，最近，文 5 1 利用m a w h i n 重合度理論研究了一類(lèi)共 振n 一維中立型微分系統(tǒng)周期解的存在性問(wèn)題，但該文僅考慮了中立項(xiàng)是線性的情 形，且其方法也不適用于中立項(xiàng)是非線性的情形據(jù)我們所知，對(duì)中立項(xiàng)是非線性的 共振泛函微分方程周期解的存在性這一重要而又困難的問(wèn)題尚未覓有結(jié)果發(fā)表 本章首先將利用l 一一集壓縮算子的重合度理論討論一類(lèi)非線性算子方程的 可解性，然后利用獲得的算子方程鼴的存在性定理研究中立型共振泛函微分方程周 期解的存在性問(wèn)題 1 2 非線性算子方程解的存在性 先簡(jiǎn)單介紹一下l 一一集壓縮算子的重合度理論的基本知識(shí)進(jìn)步的討論 可參看文獻(xiàn)1 2 5 設(shè)z 是一個(gè)賦范線性空間對(duì)z 中的有界子集a ，其k u r a t o w s k i 非緊性測(cè)度 i 、z l a ) 定義如下： r z ) = i n f 8 0 ：存在有限個(gè)子集a ica ，a = u t a i ，d i a r n ( a i ) 曼d ) ， 這里d i a m ( a ；) 表示集合a 的直徑。 設(shè)x ，z 分別為賦予范數(shù)”恢與”眩的賦范線性空間，n 是x 中的有界開(kāi) 子集一個(gè)連續(xù)有界算子：而葉z 稱(chēng)為一個(gè)k 一集壓縮，若對(duì)曉中的任一有界子 集a 。均有 也( ( 以) ) k f x ( a ) 設(shè)三：d o t a l x z 是指標(biāo)為0 的f i e d h o l m 算子，即i m l 為閉集且有 d i m k e r l ：c o d i m l m l + 。由此可知，存在連續(xù)投影算子_ p ：x _ x 和0 ：z _ z 使得i m p = k a r l ，t m l = k e r q = 如f q ) ，定義l p d o m l n k e r p - + i m l 為工關(guān) 于d o r n l n k e r p 的限制三i d 。l n k e m 則如可逆，記其逆為k p ：，m 三葉d o m l n k e r p 設(shè)j ：m q - k a r l 是同構(gòu)映射 假設(shè)q 是x 中的有界開(kāi)集，：殼- z 是一個(gè)連續(xù)算子如果q n ：矗- z 連 續(xù)且q n ( f t ) 有界，k p ( i q ) n ：殼_ x 是一個(gè)$ 一集壓縮，則稱(chēng)是一個(gè)l k 一 3 2 0 0 3 年湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告 4 集壓縮， 關(guān)于算子方程 l z = n z ( 1 2 1 ) 的可解性有如下重要結(jié)果( 參看文獻(xiàn)2 5 1 ) ： 弓l 理1 2 ，1 假定是指標(biāo)為。的f r e d h o l m 算子，在矗上是一個(gè)l k 一集 壓縮，k 1 如果下列條件成立： 1 ) l x k n a ，v 入( 0 ，1 ) ，囂a q ； 2 ) q n x 0 ，v x k e r l na n ； 3 ) b r o u w e r 度d e g b ( j q n ，q nk e r l ，0 ) 0 則算子方程l x = n x 在d o t a l n 矗中至少存在一個(gè)解， 考慮算子方程 z = n 1 z + n 2 x( 1 2 ，2 ) 先作如下假設(shè)： ( 日1 ) 颶：x _ z ( i = 1 ，2 ) 連續(xù)，且肌十2 在x 中任意有界閉集上是l k 一 集壓縮，k o ，使得 u ，q j v 2 工8 x 墨q n 工n x + ，v 芏x ， 用) 表示k e r l 上的內(nèi)積 定理1 2 1 假定( 圩1 ) 和( 島) 成立，且存在常魏m o o ，使得下列條件成立 ( 凰) 對(duì)任意z z x ： i p 。i i x = m o ，i i ( x p ) z l l x 1 i j q v 2 2 0 x ，( j q n l p x ，p x ) 蘭0 或 f j t ，q 1 z | | x | | j q v 2 z f f x ，( j q n l p x ，p x ) 0 ， 其中m = 華掣+ 然，則方程( 1 f 2 2 ) 至少有一個(gè)艇z 滿(mǎn)足 f i p = l l x m o ，ij ( ，一p ) = l l x m 證明定義算子n ：x _ z 如下： n x = m 盞+ 趣王，v g x 2 0 0 3 年湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告5 由( 丑1 ) 知在x 中任意有界閉集上是l 一一集壓縮 對(duì)v a ( 0 ，1 ) ，考慮輔助方程 l z = n o ( 1 23 1 該方程等價(jià)于方程組 j q n x = 0 ，( 12 4 ) ( ，一p ) x = a k p ( i q ) n x( 1 25 ) 取n = z x ：l i p z l l x m o ，| j ( i p ) x h x m ) ，則q 為x 中有界開(kāi)子集，且 a n = g x ：i i p x 1 x5 如，jj ( j p ) x l t x = m ) u zex ：f i p xj l x = m o ，0 ( i - p ) x l i x m ) 由( h 2 ) 和( 1 2 5 ) 可得 1 1 ( i p ) z l t x 曼a 1 i e p ( q ) n 1 。l l x + i i k p ( ，一0 ) 2 。 雌6 ) ( 1 + a 2 ) i = l l x 十盧1 + 阮，v z x 、 。 故 il = i l x 曼i i p x t t x + i t ( z p ) z l t x 0 ，y 蘆 o ，1 ) i g ：( z ，p ) x j q n i x l i x 一1 i j q n 2 x t l x o ，v p i o ，1 從而由b r o u w e r 度的同倫不變性可得 d e g b ( l ，q n l ，n n e r l ，0 ) = d e g b ( ，q n k e r l ，0 ) = 1 ， d e g b ( j q ，q n k e r l ，o ) = d e g b ( j q n l ，q n k e r l ，o ) ， 故d e g b ( j q n ，n n k e r l ，0 ) = 1 因此引理1 2 1 的條件( i i i ) 也成立 于是由引理1 2 1 便知方程( 1 2 2 ) 至少有一個(gè)解。滿(mǎn)足 p x j l x ，1 i ( i p ) x l l xs m 證畢 推論1 2 1 假定( 肼) ，( h 2 ) ，( h 3 ) 成立，且存在常數(shù)，y 0 ，m j 0 ，使得下列條 件成立： ( h 5 ) l i n l x n l y l i z 莖7 i i 。一u lj x ，婦，y x ； ( h 6 ) 對(duì)任意 z x ：i i p z l l x = a 矗，( j p ) i i x f i j q n 2 x l l x 證畢 推論1 22 ，假定( m ) ，( 避) ，( 凰) 成立，( 奶) 中o 。= 00 = l ，2 ) ，( t 4 3 ) 中q = 0 設(shè)n m = z x ：忙一p x l l x 已 ( 日8 ) ( j q n t p 。，p x ) 0 ，v x 。x ：l i p x l l x = 如，i i ( i p ) + l l x 0 ，o 0 ，盧 0 ，使得 g ( 。) 一g ( 口) j “一口 ，v ，p r 1 9 ( z ) f oj z i + 盧，v z r ( h ) 存在常數(shù)a 0 ，b 0 c 0 ，d 0 ，k o 0 ，使得 h ( t ，z ，翟，茹) ；盤(pán)l z lq - 6 l 暫i + c l z q - d ：v t ，互，管，z 最 i h ( t ，z ，y ，z 1 ) 一 ( t ，。，y ，z 2 ) i k o l z l z 2 i ：v t ，。，y ，z 1 ，z 2 月 設(shè)i f 2 表示r 2 中e u c l i d e a n 范數(shù)令 x = 。c 1 ( r ，r 2 ) ：z 0 + 2 玎) = 。( ) ，v t r ， i i 。fj x = m a r x s u pl z ( ) 1 2 ，s u pj z ( j 2 ) ； z = ( z c ( r ，r 2 ) ：x ( t + 2 ) = 。( ) ，v t r ， i z = s u pl z ( t ) 1 2 則( x ，l i x ) ，( z ，怯) 是b a n a c h 空間 定義l ：d o t a l = x 葉z 為 工。c 玎= z ，一b z c t ，b = o 。：) 易知， e b t = ( 一c o 。訕s m m t 。s i n m t ) ， k e r l = 茁x ：茁( t ) = e 8 。n ，a r 2 ) ， m 工： z z ：n he 礬。( t ) 出：o ) _ 其中口r 表示b 的轉(zhuǎn)置 顯然，i m l 是z 的閉子空間且有直和分解：x = k e r l o m l ，故有d i m k e r l c o d i m l m l = 2 因此，工是指標(biāo)為0 的f r e d h o l m 算子， 2 0 0 3 年湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告9 定義投影算子p 則有 x - x 和q ：z _ z 如下： 幾。) = 贏1 瀘。上e 丑7 嘧( s ) d s ，蠔x q z ( t ) = 去e b 2z 2 ”e b r s z ( s ) d s ，z ez i m p = k e r l ，k e r q = i m l 令j ：i m q _ k e r l 為單位算子 引理1 3 1 ：i m l _ d o t a l n k e r p 為線性算子且l l k p 【| 1 + 2 r a | ，r 證明易知，對(duì)z i m l ， 硒= 蘆z t t 如) d s + 2 ”z t t 0j 00 小) d s 眠 j ，i j 【k p z ( 訓(xùn)= b k p z ( t ) + z ( t ) 因?yàn)閖 0 f o t 。b r s 。 s ) d s 是2 7 r 一周期的，故有 k p z ( t ) 1 2 2 ”。n z ， i k z z ( o l 1 2 ( 1 + 2 m ) l l z l l z ，v t r ， _ - 從而有 ， 1 1 k p z | i x 至( 1 + 2 m 7 r ) 1 善1 1 z 于是，l k pj f 1 十2 m t r 證畢 定理131 假設(shè)條件( g ) ，( h ) 成立，坐等盟( o + o + m b 十m c ) 0 使得 ( g ) l g ( m o c o ss ) c o s s d s i 7 r i m + ( 口+ m b + m c ) ( m o + m ) + d + 畝1 ， 則方程( 1 3 1 ) 至少存在一個(gè)2 ”一周期解z ( t ) 滿(mǎn)足 眥圳s d + 魯急，t er , 其中 啻= 新叫咖s i n 叫m t 、1 她 2 a ( 1 + 2 m t r )2 ( 1 + 2 仇7 r ) 缸+ m b 十m c ) 0 1 。r ，蚴2 麗一 2 0 0 3 年 湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告1 n 一一 ： 盧1 = 2 盧( i + f 2 r a n ) ，盧2 ：m m ：型! ( 竺! ! ! ! 。望! 魚(yú) l 0 1 0 2 l a 】0 2 證明方程( 1 3 i ) 等價(jià)于 z i ( t ) = m 。2 ( ) ， 。；( 。) 2 一m 。1 ( 。) 一擊9 如，( z r ) ) 一擊 ( z ，z 1 ( t ) ，m 。2 一r ) ，m z ；0 一r ) ) + 擊e ( ) a ( 1 32 ) g m ，= ( 如，) ，釓z 舢； 日壯，z ，。，z ，= ( 一擊。，耋。，。，) ，v 。，z ，v ，z ，e r ； 邢，= ( 翕) ， 由假設(shè)( 9 ) ，( ) 易知 j g ( 蚴妊象陸+ 墨脅= ( x ! ) x 2 ) t er j ( 1 3 3 ) j g ( 扔，z 2 ) 一g ( 掣l ，w ) 1 2 s m 三i x 妒2 ，v x = 忙i ，。2 ) 了，f = ( 1 ，如) r 月i ( 1 3 4 ) 1 日( 。，衛(wèi)，可，。) 2 袁f 江i + h 協(xié) 十c m z + 田，v ( t ，茁，可，i ) r ； ( 1 35 ) i h ( t ，2 ，y ，爿1 ) 一h ( t ，囂，y ，訖) f 2 k o l z l 一也f ，v t ，譬，璣z l ，名i r ( i 3 6 ) 定義算子：x - z t z i ：1 。2 ) 如下； a z o ) = g ( # l ( f r ) ，z 2 0 一r ) ) n 2 x ( t ) = h ( t z 1 ( ) ，。2 0 一t ) ，z ；0 r ) ) + p 0 ) ， x ( t ) = ( 。l ( o ) ，z 2 ( ) ) ? ，z x 顯然m ( i = 1 ，2 ) 連續(xù) 由( 1a 3 ) 可知 j 1 圳三暑忙恢+ 鬟，比x ( 1 矗7 ) 由( 13 4 ) 可知 。一n l y l zs 土m l l 。圳x ，v x ，g x ， 一 湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告 即推論1 , 2 1 的條件( 凰) 成立 由( 1 35 ) 可知 i l l v 2 刮z 熹( n + b m + c m ) t l 到x + 裊+ 。s 。u 冗p e ( 圳，可z x ( 1 矗8 ) 易知，i i j q i l = 舊h 1 ，j q s2 故由( 1 3 ，7 ) ，( 13 8 ) 及引理l3l 知 爿( ，一0 ) 1 z | | xs k p ( ，一q ) 2 x l l x 0 ，存在一個(gè)有限子集族 a ) 滿(mǎn)足a = u 。a i 和d i a m x ( a i ) q 十e ，其中d i a m x ( - ) 關(guān)于”怯定義 由于f ( t ，z l ，2 ，l ，) 。= ：g ( x l ，2 c 2 ) + h ( t ，l ，z 2 ，y 2 ) + p ( ) 在艫的任何緊子集上 均一致連續(xù)，且a ，a 在z 中關(guān)于模i z 是預(yù)緊的，故存在a 的一個(gè)有限子集族 a i j ) 滿(mǎn)足a 。= u ，a ，且 - 對(duì)任意z ，u 如成立 從而，對(duì)任意z ，u 4 。有 l i n x n “l(fā) l z = s u p1 f ( ，。l ( 一f ) ，z 2 ( 亡一r ) ，。1 ( f ) ，茁；( t 一下) ) 一f ( t ，亂1 ( t 下) ，u 2 ( t r ) ，u l ( t ) ，釓：( t t ) ) 1 2 o 蔓t _ 2 7 r s u pj f ( t ，。1 0 t ) ，x 2 ( t r ) ，z l ( t ) ，z 2 ( t t ) ) 一f ( t ，x l ( t f ) ，x 2 ( t r ) ，x l ( t ) ，；( 一t ) ) f 2 0 蘭噬2 ” +supj f ( t ，x l ( t r ) ，x 2 ( t f ) ，x l ( t ) ，：( 一r ) ) 一f ( t ，t t l ( t r ) ，u z ( t r ) ，u l ( ) ，；( t r ) ) f 2 0 s t 2 t r os u pi z ；0 一r ) 一u ：0 一r ) f + e o t 2 t r sk os u pi z ( ) 亂7 ( f ) j 2 + e 七。叩+ ( k o + 1 ) e 湖南大學(xué)博士后研究工作報(bào)告1 2 即r z ( n i a ) ) k o r x ( a ) 故：a - z 是k o 一集壓縮映射從而k p ( j q ) n ：q _ x 是一個(gè)2 ( 1 + 2 m ”) k o - 集壓縮顯然，q n ：矗_ z 連續(xù)且q ( 矗) 有界因此是 一個(gè)l 一2 ( 1 + 2 m r ) k o - 集壓縮故推論1 , 2 1 的條件( 日1 ) 成立 在k e r l 上定義內(nèi)積( 、) 如下：設(shè)x = e b t u ，y = e b t v ，則 其中 易知 u = 去f 沙如) 虻( u z ，丁，”= 麗1 上f 2 ”t 小) 如：( 釓蚴7 1 耐 v ze 。ex ：l i p z l r x = ，fj ( i p ) m l l x 0 使得對(duì)任意( f ，協(xié)a ) r xg o ，l 】 有，( t 十t ，妒，a ) = ，( ，艫， ) ， 引理2 2 2 假定存在m 0 使得下列條件成立： ( i ) 對(duì)任意a ( 0 ，1 ) 及下列方程的任意t 周期解z 掣：訛u 均有ir x ( t ) | | ( m ，v t r ； ( i i ) 9 ( “) ：= 手啟，( s ，也，0 ) d s 0 ，u o b m ( r ”) ，其中b m ( f l “) = 扣r n ：l 00 = 1 ，2 ，- ，n ) ，a qs0 ( i j ，i ，j = 1 ，2 ，一，n ) 且存在常數(shù)島 o ( ，= 1 ，2 ，n ) 使得 6 j a i j o a = l ，2 ( i i i ) a = ( o “) 。滿(mǎn)足。 0 ( i = 1 ，2 ，n ) ，a i j 0 ( i j ， ，j = 1 ，2 ，n ) 且存在常數(shù)d 。 o ( i = 1 ，2 ，n ) 使得 d l a t j o o = l 2 - - ，n ) 引理2 24 ( b a x b a l a t 8 引理) ( 2 6 ，p 4 ，引理1 2 2 ) 設(shè)，是定義在 0 ，+ o o ) 上的非 負(fù)函數(shù)，使得，在1 0 ，+ 。) 上可積且在 0 ，+ o 。) 上一致連續(xù)，則l i m t + 。f ( t ) = 0 2 3 時(shí)浠l o t k a v o l t e r r a 型競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)正周期解的存在性與全局吸gf 性 考慮下列具投放的時(shí)滯l o t k a - v o l t e r r a 型競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng) z j ( t ) = h i ( t ，x l ( ) ) 0 1 ( t ) 一b l ( t ) x l ( t ) 一c 1 ( t ) g ( ) 】+ d 1 ( t ) x 2 ( t t 1 ) 一z a ( t ) + s l ( ) ， x 2 ( t ) = h 2 (