（光學專業(yè)論文）一維非周期結(jié)構(gòu)光子晶體的研究方法及性質(zhì).pdf

到的結(jié)果與數(shù)值法得到的結(jié)果進行了比較。在此基礎(chǔ)上，再將積分值直接與一維 光子晶體的頻率和波矢聯(lián)系起來，得到了它的能帶特性圖。 4 、由m a x w e l l 方程組、電磁場的邊界條件和矩陣理論，推導出了電磁波在 兩種單負材料組成的一維周期結(jié)構(gòu)中的傳輸特性公式，以及傳輸矩陣的表達式。 5 、在引入無序的條件下，分別討論了色散和非色散兩種情況。詳細介紹了 由兩種單負材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)中每層的厚度存在無序時，光在內(nèi)部傳輸時的局 域特性，并與之前討論的隨機結(jié)構(gòu)進行了比較。 關(guān)鍵詞：小波積分、光子晶體、本征值求解、單負特異材料、局域長度、傳輸 矩陣法、退局域 n l i i i i iii i i i ii i iii i iiii y 17 6 8 3 8 9 t h ep r o p e r t ie sa n dm e t h o d so fo n e dim e n sio n a ln o n p e r io dic a b s t r a c t p h o t o nicc r y s t a l s m a j o r ：o p t i c s n a m e ：l i ud o n g m e i s u p e r v i s o r ：h a np e n g n o w d a y s ，s e v e r a lc o m m o n m e t h o d sw h i c hh a v eb e e nu s e df o rt h eb a n ds t r u c t u r e o fp h o t o n i cc r y s t a l sa l es t u d i e dal o t ，b u tt h ew a v e l e ta san e wm e t h o di sh a r d l y a d o p t e d t h ep a p e rp r e s e n t sad e t a i ld e r i v a t i o no fa l la n a l y t i c a lm e t h o dt oc a l c u l a t e t h ew a v e l e ti n t e g r a t i o nb a s e do nt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mf o rt h eb a n ds t r u c t u r eo f o n e - d i m e n s i o n a lp h o t o m cc r y s t a l s t h et r a n s p o r tp r o p e r t i e so ft h el i g h ti nt h ei n t e r f a c ea n di n t e r i o ro ft h ep h o t o m c c r ) ，s t a l sa r ed i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lm a t e r i a l sd u et ot h en e g a t i v ep e r m i t t i v i t y a n dp e r m e a b i l i t yo fm e t a m a t e r i a l s t h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o nb e h a v i o ri nd i s o r d e r e d s y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n ts i n g l e - n e g a t i v e ( s n g ) m e t a m a t e r i a l sw i l lr e v e a l s o m en o v e lc h a r a c t e r s r e c e n t l y , o n l yw a v ep r o p a g a t i o ni n1dr a n d o ms y s t e m sm a d e o fa l t e r n a t i n gl a y e r so fd pa n dd n gm e t a m a t e r i a l sh a sb e e ns t u d i e da n ds o m en e w l o c a l i z a t i o nl e n g t hb e h a v i o r sh a v eb e e nf o u n d ，b u ts n gh a sh a r d l yb e e ni n v e s t i g a t e d b yu s i n gt h et r a n s f e r - m a t r i xm e t h o d ，w es t u d yt h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o nb e h a v i o ri n o n e d i m e n s i o n a lp e r i o d i c - o n a v e r a g ed i s o r d e r e ds y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n t s i n g l e n e g a t i v e ( s n g ) m e t a r n a t e r i a l s n o n - d i s p e r s i v ea n dd i p e r s i v em o d e l s h a v eb e e n s t u d i e dr e s p e c t i v e l y s o m eu n i q u ef e a t u r e so ft h ep e r i o d i c o n - a v e r a g er a n d o ms n g s y s t e m s a r ec o m p a r e dw i t ht h er a n d o ms i n g l e - n e g a t i v es y s t e mw h i c hw ee v e r d i s c u s s e d i l l t h em a i nw o r ko ft h ep a p e ri sg i v e na sf o l l o w s ： 1 w es e l e c ta p p r o p r i a t ew a v e l e tf u n c t i o n si nt e r m so fw a v e l e tt h e o r y , m r aa n d p e r i o d i cw a v e l e tb a s i st om a k et h es h a p eo ft h e s ew a v e l e tf u n c t i o n sf a m i l i a rw i t ht h e f i e l da n dp e r m i t t i v i t yo ft h ep h o t o n i cc r y s t a l s f o ri n s t a n c e ，h a a rw a v e l e ti sas t e p f u n c t i o n ，w h i c hi sw e l la d a p t e dt ot h ep i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o n s 2 t h ew a v e l e t i n t e g r a t i o nw h i c hh a ss e v e r a lw a v e l e tf u n c t i o n sh a sb e e nr e s o l v e d w ee m p l o yo r t h o n o r m a lp r o p e r t i e s ，r e f m e m e n te q u a t i o na n d c h a n g ev a r i a b l e so f i n t e g r a t i o nt oc o n s t r u c te i g e n f u n c t i o n ，a n ds o l v et h ee i g e n f u n c t i o nu s i n gm a t l a b 3 w ea d o p tt h ew a v e l e tm e t h o da n dt h en u m e r i c a im e t h o dt oc o m p u t et h e i n t e g r a lo fw a v e l e tw i t ht h eh a a rw a v e l e ta n dt h ec o h e n d a u b e c h i e sf e a u v e a u ( c d f ) w a v e l e t t h er e s u l t ss h o wt h eh i g hp r e c i s i o no fo u r m e t h o d f u r t h e r m o r e ，t h em e t h o d i sa l s oa d o p t e dt oc a l c u l a t et h eb a n ds t r u c t u r eo f p h o t o n i cc r y s t a l s 4 i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h et r a n s p o r tp r o p e r t i e so ft h el i g h ti no n e d i m e n s i o n a l p e r i o d i cs y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n ts i n g l e - n e g a t i v e ( s n g ) m e t a m a t e r i a l s ，t h e f r e s n a lf o r m u l ai sg e n e r a l i z e db a s e do nt h em a x w e l l e q u a t i o n , e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dm a t r i xt h e o r y 5 b o t hn o n d i s p e r s i v ea n dd i s p e r s i v em o d e l sh a v eb e e na d o p t e di nt h i ss t u d y w h e nt h er a n d o m n e s si si n t r o d u c e di n t ot h es y s t e m s t h ep a p e rp r e s e n t sad e t a i l d i s c u s s i o no ft h ea n d e r s o nl o c a l i z a t i o nb e h a v i o ri no n e d i m e n s i o n a l p e r i o d i co n a v e r a g e d i s o r d e r e d s y s t e m sc o m p o s e do ft w od i f f e r e n ts i n g l e n e g a t i v e ( s n g ) m e t a m a t e r i a l s k e y w o r d s ：w a v e l e t i n t e g r a t i o n , p h o t o n i cc r y s t a l ，e i g e n v a l u e p r o b l e m ， s i n g l e - n e g m i v em e t a m a t e r i a l ，l o c a l i z a t i o n l e n g t h ，t r a n s f e r - m a t r i xm e t h o d ， d e l o c a l i z a t i o n i v 目錄 摘要i a b s t r a c t i i i 目錄v l 緒論。1 1 1 光子晶體的提出及研究現(xiàn)狀1 1 1 1 光子晶體的提出l 1 1 2 光子晶體的研究現(xiàn)狀2 1 1 3 光子晶體的計算方法3 1 2 無序光子局域化材料的提出及研究現(xiàn)狀i 5 1 2 1無序光子局域化材料的提出5 1 2 2光子局域化的理論基礎(chǔ)及研究內(nèi)容6 1 2 3 光子局域化的研究現(xiàn)狀7 1 2 4 光子局域化材料的應(yīng)用前景i o 1 3 本文的主要工作1o 2 理論基礎(chǔ)1 2 2 1 變分法1 2 2 2 傳輸矩陣法1 3 2 2 1透射率和反射率的一般表達式1 3 2 2 2 一維光子晶體的色散關(guān)系1 7 2 3 多分辨分析和常見小波基函數(shù)1 9 2 3 1 多分辨分析1 9 v 2 3 2 常見小波基函數(shù)2 2 2 4 本章小結(jié)2 7 3 小波法計算一維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)2 8 3 1引言2 8 3 2 小波方法計算光子晶體2 8 3 3 多個小波函數(shù)相乘的積分計算3 0 3 3 1簡化積分3 0 3 3 2 構(gòu)建本征方程3 2 3 4 小波解析法的計算結(jié)果3 3 3 4 1 k l = k ：= on 三個函數(shù)的積分3 4 3 4 2 k 。= 2 ，k ：= 2 時的積分求解3 8 3 5 本章小結(jié)一4 6 4 含單負特異材料的一維無序擾動光子晶體中的光子局域 特性研究4 7 4 1 引言4 7 4 2 結(jié)構(gòu)描述4 8 4 3 非色散材料的局域特性5 0 4 4 色散材料的局域特性5 4 4 5 本章小結(jié)5 7 5 全文總結(jié)5 9 5 1 本論文的主要成果5 9 5 2 有待解決的問題及今后的工作展望6 0 v i 參考文獻6 1 致謝6 8 攻讀碩士學位期間參與的項目及發(fā)表的學術(shù)論文6 9 v 1 緒論 1 1 光子晶體的提出及研究現(xiàn)狀 1 1 1光子晶體的提出 半個世紀以來，電子器件迅猛發(fā)展并廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)的各個領(lǐng)域，它促 進了通信和計算機等產(chǎn)業(yè)的巨大發(fā)展。但由于電子的本征特征，使得電子器件在 進一步小型化、減小能耗等前提下提高運行速度成為難題，人們提出了用光子作 為信息的載體代替光子的設(shè)想。與電子相比，光子具有更高的信息容量、更快的 運行速度、更強的并行能力和更低的能量損耗。類似于利用半導體材料控制電子 1 d2 d3 d p e n o d i ci np e n o d i ci np e n o d i cm o n ed i r e c 五o nt w od i r e d j o n st h r e ed i r e c k o n s 圖卜l 一、二、三維光子晶體典型結(jié)構(gòu) 1 1 2光子晶體的研究現(xiàn)狀 自從1 9 8 7 年y a b l o n o v i t c h n l 和j o h n 2 1 分別提出光子晶體和光子能帶結(jié)構(gòu) 的概念以來，光子晶體的理論研究和相關(guān)實驗及其應(yīng)用得到了迅速的發(fā)展。由于 光子能帶具有一系列嶄新的特性，如頻率落在完全光子帶隙內(nèi)的電磁波( 光波) 不能在光子晶體內(nèi)的任何方向傳播和抑制自發(fā)輻射等腳。光子晶體的這些奇特性 質(zhì)激起了人們對它的理論和實驗研究的廣泛興趣，促使人們?nèi)パ芯抗庾泳w的各 種可能的效應(yīng)和應(yīng)用，因此近年來光子晶體的研究成為人們普遍關(guān)注的研究熱 點。1 9 9 0 年，c m h o 等人從理論上提出了在一種類金剛石結(jié)構(gòu)的三維光子晶體 中存在完整的光子帶隙，帶隙的位置出現(xiàn)在第二條和第三條能帶之間。1 9 9 1 年， y a b l o n o v i t c h 研究小組f 4 】用活性離子束在高介電常數(shù)的介質(zhì)底板上打孔的方法 制造出了第一塊具有完全p b g 的三維光子晶體。這是人類實驗室制造的第一塊光 子晶體。1 9 9 5 年，u g r u n i n gv l e h m a n n 等人 s l 用電化學刻蝕方法在硅基上制作 出了具有紅外波段光子帶隙的二維光子晶體。隨后j o a n n o p o u l o s 的研究小組設(shè) 計出了工作于可見光波段的光子帶隙材料，從而使得光子晶體朝應(yīng)用方向的發(fā)展 又前進了一大步。1 9 9 8 年，j o a n n o p o u l o s 等1 6 1 發(fā)現(xiàn)一維光學薄膜也有全方位反射 現(xiàn)象，并實現(xiàn)了紅外波段的完全帶隙一維光子晶體，使一維光學薄膜可以用來設(shè) 計全角反射鏡。接著在1 9 9 9 年又設(shè)計制作出了可見光波段( 6 0 4 3 - 6 3 8 4 n m ) 完全 帶隙一維光子晶體。 理論分析是光子晶體研究的重要內(nèi)容，對光子晶體器件的設(shè)計和制作起著指 2 導作用1 7 , s 。依據(jù)電磁波在光子晶體中的傳輸行為，許多奇異的光學特性已被人 們發(fā)現(xiàn)，如光子局域化1 9 1 、非線性增強m l 、光學延遲i l l , t 2 j 、光孤子傳輸u 3 j 、負 折射率等畔1 ，其潛在的應(yīng)用引起了越來越多的科學工作者對它的研究興趣。 由于光子晶體具有獨特的電磁現(xiàn)象和特性以及廣闊的應(yīng)用前景，使其成為國際性 的一個研究熱點。目前人們知道的光子晶體的一些應(yīng)用包括：低閾值激光振蕩 1 1 5 , 1 6 、高效發(fā)光二極管f i l l s 、光波導器件呻1 、慢光裝置1 2 0 , 2 1 1 、光子晶體諧振腔 2 2 , 2 3 1 、窄帶頻率和空間濾波器1 2 4 - - 矧等等，幾乎可以涉及到光的各個領(lǐng)域。 1 1 3 光子晶體的計算方法 光子晶體的計算方法屬于電磁學中的數(shù)學方法的范疇。電磁學是一門古老 而又不斷發(fā)展的學科，其中的數(shù)學方法也層出不窮，主要包括通過建立和求解微 分方程或積分方程，可將解答表示為已知函數(shù)的顯式，從而可計算出精確數(shù)值結(jié) 果的如分離變量法，變換數(shù)學法等的解析法，也有利用高性能的計算機以數(shù)值的、 程序的形式代替解析形式來描述電磁場問題，以差分代替微分，以有限求和代替 積分從而將問題化為求解差分方程或代數(shù)方程問題的數(shù)值方法。在這些眾多的方 法中，目前比較成熟的電磁波帶隙計算方法有平面波展開法、時域有限差分法、 傳輸矩陣法、小波分析法、多重散射法等等。 ( 1 ) 平面波展開法 這是在光子晶體能帶研究中用得比較早和用得做多的一種方法，電磁場在倒 格矢空間以平面波疊加的形式展開，可以將麥克斯韋方程組化為一個本征方程， 求解本征方程便可得到傳播光子的本征頻率。 平面波展開法矧處理周期性結(jié)構(gòu)問題具有自身獨特的優(yōu)點，它可以被用 來處理一、二、三維問題。它能計算光子帶隙的位置、寬度，也可以計算光子晶 體的結(jié)構(gòu)缺陷問題。但是這種方法也有其缺點：計算量與平面波數(shù)有很大的關(guān)系， 幾乎正比于所有波數(shù)的立方，因此當光子晶體結(jié)構(gòu)復雜或處理有缺陷的體系時， 由于需要大量平面波數(shù)，就可能因為計算能力的限制而不能計算或者難以準確計 算。另外，對于介電常數(shù)不是恒值，而是隨著頻率變化的情況，由于沒有一個確 定的本征方程形式，而且有可能在展開中出現(xiàn)發(fā)散，從而導致根本無法求解。我 3 們可以從 l a x w e l l 方程等得到磁場的全矢量方程，表示為： v 南v ?！縚 - 等以 這里k 是模式傳播矢量，t ( r ) 是和位置有關(guān)的介電常數(shù)，由于6 ( r ) 的周期性，根 據(jù)布洛赫理論，h x 可以寫為平面波的疊加形式，為 以= 五( k g ) e x p ( 一f ( k g ) ，) 這里g 為倒格子空間的晶格矢量。介電常數(shù)也可以用傅里葉級數(shù)展開為 麗1 = 舊e x 邸，) 其中 咿) = 石1 焉e x p ( f g 渺 ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 ) ( 1 - 4 ) 在( 1 - 4 ) 式中彳v 是表征單包的一個量。只要將( 卜3 ) j ( 卜2 ) 式代入( 卜1 ) 則可求得本征值，就是在周期性結(jié)構(gòu)中允許存在的模式頻率。 ( 2 ) 時域有限差分法 時域有限差分法舢婦在電磁場數(shù)值模擬領(lǐng)域正受到越來越多的關(guān)注。它直 接在時域求解離散化了的麥克斯韋方程組，能模擬任意幾何形狀的結(jié)構(gòu)；它的另 外一個優(yōu)點是可以通過脈沖輸入響應(yīng)的傅里葉變換，一次計算出包含大頻率范圍 的結(jié)構(gòu)。最近幾十年的發(fā)展和計算機技術(shù)的突飛猛進更為它處理很多實際問題打 下了堅實的基礎(chǔ)。時域有限差分法直接將有限差分式代替麥克斯韋時域場旋度方 程中的微分式，得到關(guān)于場分量的有限差分式，用具有相同電參量的空間網(wǎng)格去 模擬被研究體，選取合適的場初始值和計算空間的邊界條件，可以得到包括時間 變量的麥克斯韋方程的四維數(shù)值解。通過f o u r i e r 變換可求解三維空間的頻域 解。在將時域有限差分法應(yīng)用于光子晶體光纖時，由于光波長相對一般電磁波長 較短，故要求網(wǎng)格密度大，從而對計算機資源要求高，不過我們可以通過一系列 技術(shù)克服這些困難。正如前面所提到的，時域有限差分法較為普適，它可以用來 計算光子晶體光纖的各種問題，比如模式、光子帶隙、非線性等。 ( 3 ) 傳輸矩陣法 4 傳輸矩陣法2 。3 鍆是由磁場在實空間格點位置展開，將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)化成 傳輸矩陣形式，同樣變成本征值求解問題。傳輸矩陣表示一層格點的場強與鄰近 的另一層格點場強的關(guān)系，它假設(shè)在構(gòu)成空間中在同一個格點層上有相同的態(tài)和 相同的頻率，這樣可以利用麥克斯韋方程組將場從一個位置外推到整個晶體空 間。這種方法對介電常數(shù)隨頻率變化的金屬系統(tǒng)特別有效，由于傳輸矩陣小，計 算量較平面波方法大大降低，只與實空間格點數(shù)的平方成正比，精確度也非常好， 而且還可以計算反射系數(shù)和透射系數(shù)。 傳輸矩陣法是本文研究含單負特異材料的無序擾動光子晶體局域特性所采 用的主要方法，將在后面的章節(jié)中對它進行詳細的介紹。 ( 4 ) 小波分析法 小波分析法刪是用布洛赫定理將麥克斯韋方程進行變形，把電場磁場和 介電函數(shù)在小波基上展開，把變形后的麥克斯韋方程化為矩陣的形式，轉(zhuǎn)化為求 解本征矢的問題，而矩陣元是幾個小波函數(shù)相乘的積分值。小波分析法具有精度 高、收斂快等優(yōu)點，且計算量大大小于平面波展開法，所以近年來備受科學研究 者的青睞。小波分析法是本文一維光子晶體能帶計算的主要方法，將在后面的章 節(jié)對它進行詳細的介紹。 1 2 無序光子局域化材料的提出及研究現(xiàn)狀 1 2 1無序光子局域化材料的提出 在凝聚態(tài)物理學中，電子局域化是安德森( p w a n d e r s o n ) 于1 9 5 8 年發(fā)表 的“擴散在一定的無規(guī)點陣中消失 的著名論文啪3 中提出的概念，它開創(chuàng)了非晶 態(tài)固體物理學研究的新領(lǐng)域，并在半個世紀以來一直是非晶態(tài)材料科學的理論基 礎(chǔ)之一，其應(yīng)用范圍已廣泛地涉及了日常見到的各種非晶半導體、玻璃、高分子 聚合物和新近發(fā)展起來的金屬玻璃、非晶態(tài)超導體、非晶態(tài)離子導體乃至干變?nèi)f 化的生物世界。為此，p w a n d e r s o n 和發(fā)表了該理論的n f m o r t 以及闡明了固 體磁學性能的j h v a nv l e c k 分享了1 9 7 7 年的諾貝爾物理學獎，由此可見電子 局域化的研究工作對人類科技文明的貢獻作用。 所謂電子局域化，是相對于能帶理論中晶體或近似晶體中電子公有化運動 的擴展態(tài)而言的，它出現(xiàn)在無序固體中：由于結(jié)構(gòu)周期性被破壞，電子遭受到較 大的勢能漲落，低能電子的波函數(shù)就局限在某一局域范圍內(nèi)，并隨著與研究中心 距離的增大而呈指數(shù)衰減。通俗的講，在傳統(tǒng)的電子系統(tǒng)中，電子局域化發(fā)生在 低能區(qū)，這時電子面臨許多高勢能壁障，因而被局域在勢阱中，所以它是無規(guī)散 射波干涉效應(yīng)的體現(xiàn)。 光子和電子一樣是凝聚態(tài)物質(zhì)和原子物理中基本的相互作用媒介子，光子的 波動特性也類似于電子的波動特性，但人們研究光子局域化則始于2 0 世紀8 0 年代口9 1 ，這比電子局域化的提出晚了2 5 年。 1 2 2光子局域化的理論基礎(chǔ)及研究內(nèi)容 一束頻率為c o 的光在不均勻的無損耗介質(zhì)中傳播時，它的電矢量e 所滿足的 m a x w e l l 方程可化為： 一v 2 e + v ( v 一等“邶= 7 c 0 2 啦( 1 - 5 尊)c c 囂 式中：s 。是復合介質(zhì)的平均介電常數(shù)，。( ，) 是介電常數(shù)擾動。 當光子在一個介電常數(shù)做周期性變化( 周期為n ) 的介質(zhì)中傳播時，則有： 占l ( ，) = l ( 廠+ 加 ( 卜6 ) 若此時的是光波長的量級時，則此種復合介質(zhì)叫做光子晶體，其規(guī)律類似于 完整晶體中的電子波動： 一篆v 2 y 川，渺= 民l f ， ( 1 - 7 ) ly ( 廠) = v ( r + ) 光子在光子晶體中同電子在普通晶體中一樣，具有光子能帶結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的光子帶 隙，因而有“光子半導體 的美稱，人們期望它會像半導體一樣有極為廣泛的用 途，所以各國投入了大量的研究力量。 當一種介質(zhì)中含有隨機分布的另一種介電常數(shù)( 或折射率) 的材料時，擾 動介電常數(shù)是隨機漲落的，它滿足： ( s ，( ，) ) = 0 ( 卜8 ) 此材料中光子運動規(guī)律就類似于無序電子系統(tǒng)中的電子波動。當介電常數(shù)漲落足 6 夠大( 即散射體與基質(zhì)的折射率比足夠大) 和散射體的間距足夠小時，就會發(fā)生 光子局域化。這樣入射光的透射率就會隨著厚度的增加呈指數(shù)衰減，局域化的顯 著特征是計算它的局域長度。 十幾年來，物理學家們使用了隨機矩陣理論、自洽場理論和量子場論等復 雜數(shù)學工具做了許多理論工作，并在可見光、近紅外和微波頻段做了大量的實驗， 雖未能實現(xiàn)真正意義上的強光子局域化，但在理論與實驗上仍取得了很大的進 展。光子局域化研究涉及的內(nèi)容非常豐富，這些研究包括： ( 1 ) 無序光子晶體( 含有缺陷或結(jié)構(gòu)適當無序) 的光子局域化模州； ( 2 ) 無序光學介質(zhì)的等效介質(zhì)理論h m 3 ； ( 3 ) 弱光子局域化和相干背散射m 3 ； ( 4 ) 光波能帶輸運( 透射4 7 。艚1 、擴散4 9 3 、吸收) ； ( 5 ) 光波在強散射介質(zhì)中的強局域化洲羽： ( 6 ) 光子局域化的統(tǒng)計特征； ( 7 ) 激光增益介質(zhì)中的光子局域化； ( 8 ) 磁性散射粒子的光子局域化理論阻1 ； ( 9 ) 外磁場中的光子局域化理論畸5 1 。 另外，聲子局域化的理論與實驗研究嘶也大大推動了光子局域化的研究。 1 2 3光子局域化的研究現(xiàn)狀 一維無序系統(tǒng)中光子局域研究的現(xiàn)狀主要包括數(shù)值計算一維無序結(jié)構(gòu)中 光子局域問題、討論斜入射時的局域問題、討論吸收對局域的影響、以及利用無 序進行器件設(shè)計等等。有關(guān)一維光子局域的問題大都是采用數(shù)值計算的方法，而 理論分析的文章較少，主要是理論分析過于復雜。理論分析的手段及方法大部分 來源于電子局域中發(fā)展的方法。對于一維問題，傳輸矩陣的方法非常適合，所得 的結(jié)果與實際較為接近，因此在一維無序介質(zhì)中光的傳輸問題大都采用傳輸矩陣 的方法，稱為仿真。 近年來，隨著無序材料的理論研究工作取得突破性進展，科學家不僅對傳統(tǒng) 7 的無序材料，還對含特異材料的無序結(jié)構(gòu)進行了光子局域特性的研究。對外界入 射的光，當厚度小于局域長度時，局域表現(xiàn)為透射率隨厚度的增加呈指數(shù)衰減， 如圖卜2 所示。s j o h n 嘲對任意無序度的局域情況進行了研究，發(fā)現(xiàn)在任意的 無序度下，所有頻率的光都被局域，但它們的局域強度不一樣。 f i g1 i nk 0 n d i l i s 9 2 圖1 - 2 透射率隨厚度的增加呈指數(shù)衰減 1 9 8 7 年，s j o h n 等人嘲1 在一些介電常數(shù)足夠高的無序超晶格微結(jié)構(gòu)中發(fā)現(xiàn) 了光子的強局域現(xiàn)象，這為從實驗上研究光子局域提供了向?qū)А?1 9 9 2 年，a k o n d i l i s 等人嘲1 用傳輸矩陣的方法計算了任意厚度多層結(jié)構(gòu)的 光子局域，發(fā)現(xiàn)在弱無序情況下，局域長度隨光子能量的變化和相應(yīng)的有序結(jié)構(gòu) 超晶格的帶隙結(jié)構(gòu)的變化接近。除了一層厚度為常數(shù)，另一層厚度隨機變化的多 層結(jié)構(gòu)外，在所有非零光子能量處，得到的局域長度都是有限的。還發(fā)現(xiàn)吸收和 無序?qū)Σǖ乃p的影響是相互獨立的。 1 9 9 3 年，a r m c g u r n 等油3 研究了一維無序周期結(jié)構(gòu)光學系統(tǒng)的安德森局域特 8 性。在垂直入射的有限長無序樣品中計算局域長度，發(fā)現(xiàn)：在帶隙中局域長度很 小，而在通帶中局域長度很大。還計算了消散系中局域長度的相關(guān)性，得到了一 個簡單的關(guān)系。 2 0 0 5 年，韓鵬等嵋n 以一維周期結(jié)構(gòu)光譜對稱性為基礎(chǔ)，提出了無序擾動周期 結(jié)構(gòu)有關(guān)局域長度的一個新的變換關(guān)系：對稱等價變換，并用數(shù)值計算加以驗證。 該等價變換描述了不同無序度的結(jié)構(gòu)對不同頻率光子局域能力之間的等價關(guān)系， 為無序結(jié)構(gòu)中光子局域性質(zhì)的進一步研究提供了一個新的工具。 2 0 0 7 年，h r aa h s a t r y a n 等人舊1 研究了含特異材料無序結(jié)構(gòu)中的安德森局 域化的抑制特性，發(fā)現(xiàn)在一維混合排列的無序系統(tǒng)中，特異材料的引入大大地抑 制了安德森局域化。在長波極限，無序結(jié)構(gòu)中的局域長度正比于波長的六次方， 而正常結(jié)構(gòu)中的衰減長度與波長的平方成正比，它們二者相差好幾個數(shù)量級。在 引入左手材料時，證實了長波諧振腔中的局域抑制作用將大大消失。 2 0 0 8 年，p h a n 等人應(yīng)用傳輸矩陣法討論了由兩種單負材料隨機排列而 成的無序系統(tǒng)。在色散和非色散兩種模型下，計算了長波極限條件下無序系統(tǒng)的 局域長度，并與傳統(tǒng)的無序系統(tǒng)進行了比較，發(fā)現(xiàn)了很多獨特的性質(zhì)，這為進一 步研究光子無序結(jié)構(gòu)提供了有力的依據(jù)。 理論分析是無序材料光子局域特性研究的重要內(nèi)容，對于器件的設(shè)計有指 導作用，目前光子局域材料的應(yīng)用主要是用于寬帶反射鏡設(shè)計口。 通過這些研究工作，人們對含特異材料的無序結(jié)構(gòu)的局域特性有了進一步 的了解，對其潛在的應(yīng)用前景也有了更深的認識。由于特異材料具有負的介電常 數(shù)和磁導率，光在其界面及內(nèi)部的傳輸特性與傳統(tǒng)材料有很大的不同，因此可以 預(yù)見，在含有特異材料的無序結(jié)構(gòu)中的安德森局域?qū)⒕哂幸恍┨赜械男再|(zhì)。 9 1 2 4光子局域化材料的應(yīng)用前景 由前面的介紹我們可以看出，光子局域化是凝聚態(tài)物理學前沿領(lǐng)域之一， 它在2 1 世紀基礎(chǔ)研究中占有很重要地位。理想的光子局域化材料對其內(nèi)部的光 來講是陷阱，對于外部的光來講是一個完美的反射鏡，因而有人稱之為白洞 ( w h i t eh o l e ) 4 2 o 當周期性完整的光子晶體中出現(xiàn)線缺陷時，光子帶隙中也產(chǎn)生 局域模，且允許出現(xiàn)大于直角的光路彎曲。用此原理，英國巴斯大學從1 9 9 5 年 開始了空氣一二氧化硅結(jié)構(gòu)的光子晶體光纖( p c f ，p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ) 訂 的研究并直到現(xiàn)在，目前除了正在試圖用于傳輸超高功率的激光外嗽1 ，還用在了 精確測量光學頻率的飛秒激光梳技術(shù)中舊1 。 同樣，光子帶隙和局域化并非結(jié)構(gòu)規(guī)整的光子晶體所獨有的特征，就像非晶 硅和非晶鍺中存在大的電子贗隙那樣，基于無序介電微結(jié)構(gòu)的帶隙材料也可成為 大尺度和極廉價的光子材料。 自從2 0 世紀6 0 年代初第一臺激光器問世以來，研究人員一直在努力尋找具 有新的產(chǎn)生機理和特性的激光介質(zhì)以拓寬激光的應(yīng)用范圍。常規(guī)激光器通常有反 射鏡構(gòu)成的諧振腔，所以輸出具有較好的方向性。當激光增益介質(zhì)為含有較大折 射率光散射體的粉末材料時，如果散射體間的距離足夠近，即粉末介質(zhì)的散射平 均自由程小于散射光波長時，該材料就成了增益型光子局域化材料。光子在這樣 的薄層粉末中的路徑就可以是封閉的，這就等效于存在多個隨機環(huán)型諧振腔，因 而該激光就有不同的輸出方向。1 9 9 9 年，美國科學周刊以“來自一把粉塵 的激光 為題報道了這種強光子局域化粉末材料( z n o 和g a n ) 中獲得的上百倍 隨機激光輻射。研究人員立刻意識到它將會在提高平板場發(fā)散顯示器的亮度和分 辨率上大展宏圖。 1 3 本文的主要工作 鑒于目前對光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)的研究中，常用的幾種研究方法已經(jīng)較為深 入，但這些計算方法都出現(xiàn)了一些缺點，而小波分析法作為一種新的計算方法， 它具有精度高、收斂快等優(yōu)點，采用它來計算光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)的文獻卻少有 報道。文中我們將小波法作為主要的計算方法，通過構(gòu)建本征矩陣，求解小波積 l o 分，來研究一維光子晶體的能帶特性。 另一方面，由于特異材料具有負的介電常數(shù)和磁導率，光在其界面及內(nèi)部的 傳輸特性與傳統(tǒng)材料有很大的不同，因此可以預(yù)見，在含有特異材料的無序結(jié)構(gòu) 中的安德森局域?qū)⒕哂幸恍┨赜械男再|(zhì)。然而，相關(guān)的研究還較少開展，現(xiàn)有的 文獻僅討論了由雙負材料和正折射率材料交替構(gòu)成的無序系統(tǒng)中的光子局域系 統(tǒng)。我們詳細討論了由兩種單負材料構(gòu)成的周期結(jié)構(gòu)中的每層材料的厚度存在一 定程度的無序擾動時，光在其內(nèi)部傳輸時的局域特性，并與我們之前討論的隨機 結(jié)構(gòu)進行了比較。 2 1 變分法 2 理論基礎(chǔ) 變分法 3 5 - 3 7 的主要思想是將函數(shù)和算子在合適的基函數(shù)上展開。像平面波展 開法和有限元法就屬于這一類，它們分別使用了f o u r i e r 基函數(shù)和非振蕩的基函 數(shù)來進行展開。下面將詳細介紹一下平面波展開法。 從m a x w e l l 方程組出發(fā)，構(gòu)建本征方程，有 去v x v 蝴) _ _ 吉導聊) ( 2 - ，) v 去v 刪和) ) - 專等聊) ( 2 - 2 ) 利用b l o c h 定理，上面兩式可以寫成 辨 去v v x 冽= 等砸) ( 2 - 3 ) 弧 去v 堋辨= 等研) ( 2 4 ) 將電場和介電常數(shù)向平面波上展開，可以得到 “ e 婦( 尹) = 瓦( 6 ) e x p f ( 云+ 6 ) 蘆) ， ( 2 5 ) h 蛔( 尹) = 鞏( 吞) e x p 砸+ 6 ) 尹) ( 2 6 ) 運用b l o c h 定理：e ( 蘆) = ( 尹) = ( 尹弦積7 并- dh ( f ) = h _ b ，( 尹) = ，切( 尹) p 融7 。介電 常數(shù)可以展成 麗1 = 丟，c ( 否) e x p ( 面力 將( 2 5 ) 、( 2 6 ) 和( 2 - 7 ) 代入( 2 - 3 ) 、( 2 - 4 ) 得 ( 2 - 7 ) 一善k ( g 一吞) ( 云+ g ) ( | j i + 6 。) 氏( 6 ) ) = 等2 ( g ) ， ( 2 - 8 ) 1 2 一莩k ( 。一哪+ 弧衙西日h ( 鰳= 研c - - - i - h 白, ( g ) ( 2 9 ) 而在本文中我們用到的小波分析法也是屬于變分法的范疇，它是在截斷的小波基 上展開，詳細的展開過程請見第三部分。 2 2 傳輸矩陣法 傳輸矩陣法 6 4 - 6 6 是將m a x w e l l 方程組轉(zhuǎn)化成傳輸矩陣形式來求解電磁場的 傳播。傳輸矩陣表示一層格點的場強與緊鄰的另一層格點場強的關(guān)系，假設(shè)在構(gòu) 成的空間中在同一個格點層上有相同的態(tài)和相同的頻率，這樣可以利用m a x w e l l n b = e 瓜。 光波在介質(zhì)中的傳播滿足m a x w e l l 嘲3 方程組： v 岳一籌 v 脅一等+ 7 ( 2 - 1 0 ) v 雹2p v b = 0 在自由空i 司的條件f ，得到波動方程組： | v ：辱+ ：p s 獸2o(2-11) i v 2 b + 朋b = 0 首先我們考慮頻率為c o 的單色平面電磁波入射，其偏振態(tài)為t e 波時有： 豆= ( o ，b ，o ) ，膏= ( 皿，0 ，皿) 。前行波波矢為疋= ( t ，0 ，磚) ，反射波波矢為 定= ( t ，0 ，一氏) 。由( 2 1 1 ) 知，在一維光子晶體中任意一層( y 4j 層) 內(nèi)的光 場滿足以下波動方程： 善矽b 石) + 導噦b 石) + 等“( ) 矽b 石) = 。 ( 2 1 2 ) 在同一介質(zhì)內(nèi)，方程的解的一般形成可表達成： e ( y j ( x ，z ，f ) = e x p ( i k ! 5 x 7 ) 【e ( 4 - ( x j - l ，乃- 1 ，c o ) e x p ( i k l 7 a z 】 + 矽( x j - 1 ，乃- l ，r o ) e x p ( - i k ! 門a z u ) 】 ( 2 - 1 3 ) 其中嘭和屯分別為第j 層的折射角和光波波矢。a r 7 = _ - x j 一，和止7 = 乃- - z j 一。 分別為在第j 層內(nèi)光波沿x 方向和z 方向傳播的距離。( + ) ( 一) 分別表示為前行波 和反射波。 在第j 層介質(zhì)中傳播的光波波矢為： k j2 廁= = 鼉厄 ( 2 - 1 4 ) 由式子 1 4 得到 v x e = 卸。以 ) 日 ( 2 1 5 ) 硭 夥 ，y ，c o ) = o ) p o p ，( 國) 趔( x ，y ，) 以( ) 叫7 ，y ，) = 一硭7 ) 【黟( x j l ，乃一l ，) e x p ( f z 1 即磁場分量為： ( 2 - 1 6 ) 一矽( - l ，z j - l ，c o ) e x p ( - i k l 7 a z ) e x p ( i k ! 。缸1 ( 2 17 ) 趟氣x , z , c o ) = 桫礎(chǔ)( x ，z ，) 掣。以( ) = 犁旦e y ( j ( x , z , c o ) ( 2 1 8 ) q p o 以 叫。( 墨弘) = 羔【黟( _ 小乃小國) e x p ( f 。z “) 一矽( - l 乃- l ，w ) e x p ( - i k ! a z ) e x p ( i k l 7 a x 7 ) ( 2 1 9 ) 在第j 層的電磁場可以通過定義一個二分量矩陣4 2 1 來描述： 其中 胂，= 陵矧 甲l ( x ，y ，) = 夥( x ，z ，) 甲2 j ( x ，y ，) = i ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 從( 2 4 ) 式和( 2 1 0 ) 式，可以通過一個傳輸矩陣來聯(lián)系甲，( x j 一。+ 缸，z j 一。+ 止，國) 和甲一。( 書乃書) ： 甲j ( _ 一l + 缸，乃一l + 心，c o ) = e x p ( i k ! 血) m j ( 應(yīng)，國) 甲一l ( x j - l 乃- l c o ) ( 2 2 3 ) 其中傳輸矩陣哆( 位，c o ) 表示為： m j ( z ，c o ) = 辱j 再l c o s ( 砭7 a z ) 其中砭。= 詈后厄 s i n ( k 1 7 a z ) s 酞z )c o s ( 砭力a z ) ( 2 - 2 4 ) ，由于電場分量e ( y j ( x ，z ，) 和磁場分量 l - i ( y j ( x ，z ，國) 在界面上是連續(xù)可導的， 所以在空間任意位置 ( x = x j 一。+ a x ，z = z j 一。+ 止) 的電磁場可以通過一個矩陣和入射段的電磁場聯(lián)系起 來： 其中 甲j ( x j l + a x ，乃一l + a z ，c o ) = r ( x j l + a x ，c o ) q ( z j l + a z ，c o ) e ( x o ，z o ，c o ) ( 2 2 5 ) j - i y ( x j l + a x ，t o ) = e x p ( i k ，( a x ) 兀e x p ( i k ，( o 缸) ( 2 2 6 ) j - q