2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 分析和解決問(wèn)題能力的組成及培養(yǎng)策略.pdf

高中數(shù)學(xué)分析和解決問(wèn)題能力的組成及培養(yǎng)策略 高中數(shù)學(xué)分析和解決問(wèn)題能力的組成及培養(yǎng)策略 分析和解決問(wèn)題的能力是指能閱讀 理解對(duì)問(wèn)題進(jìn)行陳述的材料 能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué) 知識(shí) 思想和方法解決問(wèn)題 包括解決在相關(guān)學(xué)科 生產(chǎn) 生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題 并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言 正確地加以表述 它是邏輯思維能力 運(yùn)算能力 空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn) 由 于高考數(shù)學(xué)科的命題原則是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上 注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的考查 注重?cái)?shù)學(xué) 能力的考查 強(qiáng)調(diào)了綜合性 這就對(duì)考生分析和解決問(wèn)題的能力提出了更高的要求 也使試卷的 題型更新 更具有開放性 縱觀近幾年的高考 學(xué)生在這一方面失分的普遍存在 如 97 年的理科 24 題 98 年的理科 24 題 99 年的理科 23 24 題 2000 年的文科 21 題 這就要求我們教師在平 時(shí)教學(xué)中注重分析和解決問(wèn)題能力的培養(yǎng) 以減少在這一方面的失分 筆者就分析和解決問(wèn)題能 力的組成及培養(yǎng)談幾點(diǎn)芻見 一 分析和解決問(wèn)題能力的組成 一 分析和解決問(wèn)題能力的組成 1 審題能力 審題是對(duì)條件和問(wèn)題進(jìn)行全面認(rèn)識(shí) 對(duì)與條件和問(wèn)題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究 它 是如何分析和解決問(wèn)題的前提 審題能力主要是指充分理解題意 把握住題目本質(zhì)的能力 分 析 發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡(jiǎn) 轉(zhuǎn)化已知和所求的能力 要快捷 準(zhǔn)確在解決問(wèn)題 掌握題目的數(shù) 形特點(diǎn) 能對(duì)條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的 例 1 已知 3 32 coscos 2sinsin 求 tgtg的值 分析 怎樣利用已知的二個(gè)等式 初看好象找不出條件和結(jié)論的聯(lián)系 只好從未知 tgtg入 手 當(dāng)然 首先想到的是把 tg tg分別求出 然后求出它們的乘積 這是個(gè)辦法 但是不好 求 于是可考慮將 tgtg寫成 cos sin cos sin 轉(zhuǎn)向求 sinsin coscos 令 coscos x sinsin y 于是 x y tgtg 從方程的觀點(diǎn)看 只要有x y的二元一次方程就可求出x y 于是轉(zhuǎn)向求 cos yx cos yx 這樣把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列問(wèn)題 已知 2sinsin 3 32 coscos 求 cos cos 的值 2 2得 3 2 cos 3 10 cos 22 2 2得 3 2 cos 22cos2cos 5 1 cos 這樣問(wèn)題就可以解決 從剛才的解答過(guò)程中可以看出 解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系 這需要一 定的審題能力 由此可見 審題能力應(yīng)是分析和解決問(wèn)題能力的一個(gè)基本組成部分 2 合理應(yīng)用知識(shí) 思想 方法解決問(wèn)題的能力 高中數(shù)學(xué)知識(shí)包括函數(shù) 不等式 數(shù)列 三角函數(shù) 復(fù)數(shù) 立體幾何 解析幾何等內(nèi) 用心 愛心 專心 1 容 數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合 函數(shù)與方程思想 分類與討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化等 數(shù)學(xué)方法包括待定系 數(shù)法 換元法 數(shù)學(xué)歸納法 反證法 配方法等基本方法 只有理解和掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí) 思 想 方法 題 而合理選擇和應(yīng)用 方法可以使問(wèn) 2000 才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)知識(shí) 思想 題解決得更迅速 順暢 axf 1 其中例 2例 2 年全國(guó)高考題 設(shè)函數(shù)xx 2 求的取值范圍 使函數(shù)在 0 a 解不等式 xf1 a xf 0上是單調(diào)函數(shù) 即 1 xf解 不等式 11axx 2 由ax此得即其中常數(shù) 以 原不等式等到價(jià)于 當(dāng) 11ax 0 0 a 所 2 x 2 1 1ax 0 x 即 0 1 2 a2 0 ax x 1 2 0 2 a a xx 所以10 a時(shí) 所給不等式的解集為 當(dāng)1 a時(shí) 所給不等式的解集為 0 xx 區(qū)間上任取使得 0 21 xx 21 xx 在 11 21 xfxf 21 2 2 2 1 xxaxx 11 21 2 2 2 1 2 2 2 1 xxa xx xx 11 2 2 2 1 21 21 a xx xx xx 1 a 當(dāng)時(shí) 1 11 2 2 2 1 21 xx xx 0 11 2 2 2 1 2 x 1 a x xx 又 即 當(dāng)在區(qū) 0 21 xx 0 xfxf 21 21 xfxf 所以1時(shí) 函數(shù)f間 0 a x上是單調(diào)遞減函數(shù) 當(dāng)時(shí) 在區(qū)間10 a 1 2 0 2 21 a a xx 0 上存在兩點(diǎn)滿足 用心 愛心 專心 2 1 21 xfxf所以函數(shù) xf在區(qū)間 0上不是單調(diào)函數(shù) 綜上 當(dāng)且僅當(dāng)1 a時(shí) 函數(shù) xf在區(qū) 0間上是單調(diào)函數(shù) 在上述的解答過(guò)程中可以看出 本題主要考查不等式的解法 函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí) 分 類討論的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)算 推理能力 3 數(shù)學(xué)建模能力 近幾年來(lái) 在高考數(shù)學(xué)試卷中 都有幾道實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 這給學(xué)生的分析和解決問(wèn)題的能力 提出了挑戰(zhàn) 而數(shù)學(xué)建模能力是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的重要途徑和核心 例 3 1999 全國(guó)高考題 下圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖 冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成 帶鋼從一 端輸入 經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出 輸入帶鋼的厚度為 輸出帶鋼的厚度為 若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò) 問(wèn)冷軋 機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥 0 r 輸入該對(duì)的帶鋼厚度 從該對(duì)輸出的帶鋼厚度輸入該對(duì)的帶鋼厚度度 一對(duì)軋輥減薄率 已知一臺(tái)冷軋共4 對(duì)減薄率為 20 的軋輥 所有軋輥周長(zhǎng)為 1600mm 若第k對(duì)機(jī)有軋 輥有缺陷 每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn) 在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上 疵點(diǎn)的間距為 為了 便于檢修 入下 軋鋼過(guò)中 帶鋼度為變 且 軋輥序號(hào) 1 2 3 4 k L 耗 請(qǐng)計(jì)算 2 L 3 L并填 1 L表程寬不考慮損 k 疵點(diǎn)間距 k L 單位 mm 1600 解 厚度為 的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為的對(duì)軋輥后厚度為 為使輸出帶鋼的厚度不超過(guò) 0 rn n r 1 0 冷軋機(jī)的軋輥數(shù) 以對(duì)為單位 應(yīng)滿足 n r 1 0 n r 1 0 即 由于0 0 1 0 n r式兩端取對(duì)數(shù) 對(duì)上得 lg 1lg 0 rn 由于0 1lg 0 r 所以 1lg lglg 0 r n 因此 至少需要安裝不小于 lglg 的整數(shù)對(duì)軋輥 1g 0 r l 第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥兩疵周長(zhǎng) 在此處出口的點(diǎn)間帶鋼的體積為 寬度 k r 1 1600 其中r20 軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為 無(wú)損耗 由體積得 而在冷 1 寬度 4 rLk 因?qū)挾认嗟?且相等 1 1 1600 4 rrLr k k 20 4 8 01600 k k L即 用心 愛心 專心 3 由此得 200 3 mmL mm3125 1 L 0 2 mmL2500 填表 軋輥序號(hào) 1 2 3 4 如下 k 疵點(diǎn)間距 k L 單位 mm 3125 2500 2000 1600 評(píng)述 題 是一個(gè)常見的等比數(shù)列模型問(wèn)題 即平均變化率類型 要解決該問(wèn)題關(guān)鍵是 理解題中 若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò) 0 r 的含義 題若通過(guò)合理聯(lián)想 帶鋼從第對(duì)軋 輥出口處兩疵點(diǎn)間的距離和冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間的距離的關(guān)系 由于在此過(guò)程中 兩疵點(diǎn)間的 鋼板 能力 正確解決此題實(shí)屬不易 因此 建模能 力是 操作性的特征 可以作為解題的具體手段 只有對(duì)數(shù)學(xué) 思想 技巧 使學(xué)生認(rèn) k 體積相等 故是一等體積幾何模型問(wèn)題 可列式 寬度寬度 4 1 1 1600rLr k k 在該題的解答中 學(xué)生若沒有一定的數(shù)學(xué)建模 分析和解決問(wèn)題能力不可或缺的一個(gè)組成部分 二 培養(yǎng)和提高分析和解決問(wèn)題能力的策略 二 培養(yǎng)和提高分析和解決問(wèn)題能力的策略 1 重視通性通法教學(xué) 引導(dǎo)學(xué)生概括 領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法 數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí) 有更高的層次和地位 它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生 發(fā)展和應(yīng)用的 過(guò)程中 它是一種數(shù)學(xué)意識(shí) 屬于思維的范疇 用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí) 處理和解決 數(shù)學(xué)方法 是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn) 具有模式化與可 與方法概括了 才能在分析和解決問(wèn)題時(shí)得心應(yīng)手 只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法 書本的 別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自已的能力 每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論 如分類討論思想可以分 成 1 由于概念本身需要分類的 象等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比q的分類和直線方程中對(duì)斜 率k的分類等 2 同解變形中需要分類的 如含參問(wèn)題中對(duì)參數(shù)的討論 解不等式組中解集的 討論等 又如數(shù)學(xué)方法的選擇 二次函數(shù)問(wèn)題常用配方法 含參問(wèn)題常用待定系數(shù)法等 因此 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法 淡化特殊識(shí)一種 思想 或 方法 的個(gè) 性 有效 從而培養(yǎng)和提高學(xué)即認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想或方法對(duì)于解決什么樣的問(wèn)題生合理 正確地 應(yīng)用 題就著重考查這方面的能力 這從新課程版的 考試說(shuō)明 與原來(lái) 的 數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問(wèn)題的能力 2 加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué) 提高學(xué)生的模式識(shí)別能力 高考是注重能力的考試 特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 更是 考查的重點(diǎn) 而高考中的應(yīng)用 考試說(shuō)明 中對(duì)能力的要求的區(qū)別可見一斑 新課程版將 分析和解決問(wèn)題的能力 改為 解決實(shí)際問(wèn)題的能力 數(shù)學(xué)是充滿模式的 就解應(yīng)用題而言 對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提 由于高考考查 的都不是原始的實(shí)際問(wèn)題 命題者對(duì)生產(chǎn) 生活中的原始問(wèn)題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù) 學(xué)模型 如 1997 年的 運(yùn)輸成本問(wèn)題 為函數(shù)與均值不等式 1998 年的 污水池問(wèn)題 為函數(shù) 立幾與均值不等式 1999 年的 減薄率問(wèn)題 是數(shù)列 不等式與方程 2000 年的 西紅柿問(wèn)題 是分段式的一次函數(shù)與二次函數(shù)等等 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中 不但要重視應(yīng)用題的教學(xué) 同時(shí)要對(duì) 模型 這樣學(xué)生才能有的放矢 合 理運(yùn) 應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié) 歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué) 用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題 3 適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練 拓寬學(xué)生的知識(shí)面 要分析和解決問(wèn)題 必先理解題意 才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題 近年來(lái) 隨 著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展 要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì) 具有更強(qiáng)的創(chuàng)造能力的人才 這 一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題 開放題的出現(xiàn) 更加注重了能力的考查 由于開放題的特 征是題目的條件不充分 或沒有確定的結(jié)論 題的背景新 這樣給學(xué)生在題意的理解和而新背景 解題方法的選擇上制造了不少的麻煩 導(dǎo)致失分率較高 如 1999 年理科的第 16 題和第 22 題 很多 用心 愛心 專心 4 學(xué)生由于對(duì) 壟 和 減薄率不超過(guò) 0 r 不理解而不知所措 又如 2000 年文科第 16 題和第 21 題 2001 年春季高考的第 11 題 只有在讀懂所給的圖形的前提下 才能正確作出解答 因此 在 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng) 進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練 拓寬學(xué)生的知識(shí)面是提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題 能力的必要的補(bǔ)充 重視解題的回顧 在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中 解決問(wèn)題以后 再回過(guò)頭來(lái)對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討 分析與 研究 題的 要思想 關(guān)鍵因素 是非常必要的一個(gè)重要環(huán)節(jié) 這是數(shù)學(xué)解題過(guò)程的最后階段 也