【數(shù)學(xué)建模】投入產(chǎn)出模型.pdf

8 3 投入產(chǎn)出模型 投入產(chǎn)出 一 投入產(chǎn)出表 1 概念 產(chǎn)品 各生產(chǎn)部門生產(chǎn)的商品 中間產(chǎn)品 繼續(xù)投入生產(chǎn)過程的產(chǎn)品 最終產(chǎn)品 推出生產(chǎn)過程的產(chǎn)品 投入 生產(chǎn)過程中各部門的投入 中間投入 中間產(chǎn)品的物質(zhì)消耗 外購資源 非中間產(chǎn)品的物耗 社會勞力投入 工資 稅收 投入產(chǎn)出 2 投入產(chǎn)出表 x11x12 x1ny11 y1mx1 x21x22 x2ny21 y2m x2 xn1xn2 xnnyn1 ynmxn v1v2 vn s1s2 sn f1f2 fn xij i 部門分配給 j 部門用 于生產(chǎn)過程的中間產(chǎn)品 yik i 部門的最終產(chǎn)品 xi i 部門的總產(chǎn)出 vj j 部門的外購?fù)度?sj j 部門的勞力投入 fj j 部門的社會投入 I 中間產(chǎn)品的投入和產(chǎn)出 II 總產(chǎn)品中可供社會最終使 用的部分 III 外購資源和勞力 社會投入 IV 國民收入 的再分配 3 例 全國農(nóng) 輕 重投入產(chǎn)出表 產(chǎn)出中間產(chǎn)品最終產(chǎn)品 投 入 農(nóng)業(yè)輕工業(yè) 重工業(yè)其他合計積累消費合計總計 農(nóng)業(yè)98 3244 2209 0185 4 763 847 2896 0 943 21680 中 輕工業(yè)2 8631 436 8129 5 800 5179 9 1203 6 1383 52184 間 重工業(yè)43 8304 91326 7332 4 1907 8494 6453 6 948 22956 產(chǎn) 其他43 8351 7379 0258 6 1033 1258 7388 2 646 91680 品 合計118 71532 21851 5905 8 4478 2980 4 2941 4 3921 88400 工 資 1193 1113 4301 4309 4 1916 0 稅 收 298 2538 4703 5464 8 2004 9 合 計 1491 3651 81004 5774 2 3921 8 總 計 16802184295616808400 投入產(chǎn)出 二 投入產(chǎn)出模型 1 假設(shè) 10 產(chǎn)品單一 不聯(lián)合生產(chǎn) 20 i 部門對 j 部門的中間投入與 j 部門的產(chǎn)出 量呈正比 30 無滯后及其他外來因素的影響 i n j iji yxx 1 i n j iji yxx 1 由假設(shè)可知 xij aijxj 則有 n i jjiji yxax 1 記 x x1 x2 xn T y y1 y2 yn T A aij 則有 I A x y或 D x y D 為非對角元非正矩陣 稱為列昂節(jié)夫矩陣 2 模型 平衡關(guān)系 各部門的總產(chǎn)量等于總需求量 niyxax n i ijiji 1 1 投入產(chǎn)出 三 模型的分析 1 可行性 模型是可行的 如果對任何非負的最終需求 y 0 模型總有非負解 x 0 定理 1 模型對任何非負的需求 y 0 有非 負解 x 0 當(dāng)且僅當(dāng) 0 0 1 1 01 2221 1211 11 D aa aa a 0 0 1 1 01 2221 1211 11 D aa aa a Hawkins Simon 條件 投入產(chǎn)出 定理 2 若 A 0 且存在一個非負x 0 使得 I A x 0 則 I A 1存在且非負 推論 若 A 0 且存在一個非負 p 0 使得 pT I A 0 則 I A 1存在且非負 投入產(chǎn)出 2 消耗分析 10 直接消耗系數(shù) aij 生產(chǎn)單位產(chǎn)品 j 對產(chǎn)品 i 的直接需求量 A 154 0133 0167 0026 0 198 0430 0140 0026 0 017 0013 0289 0002 0 110 0073 0112 0059 0 A 20 完全消耗系數(shù) bij bjkakj 產(chǎn)品 j 通過產(chǎn)品 k 對產(chǎn)品 i 的需求量 則有 令 B bij 則有 B A BA B I A A B A I A 1 I A 1 I D 1 I B 從完全需求的角度反映出各部門深層次的相 互間的依賴關(guān)系 295 0 315 0362 0 045 0 495 0 888 0493 0 067 0 150 0 069 0 456 0 009 0 208 0 192 0 254 0 047 0 B 投入產(chǎn)出 njiabab n k kjikijij 1 1 投入產(chǎn)出 295 0315 0362 0045 0 495 0888 0493 0067 0 150 0069 0456 0009 0 208 0192 0254 0047 0 B 154 0133 0167 0026 0 198 0430 0140 0026 0 017 0013 0289 0002 0 110 0073 0112 0059 0 A 直接需求 a33 a22 a34 a42 a44 a32 a43 完全需求 b33 b34 b32 b22 b42 b43 b44 直接 輕需輕 輕需他 輕需重 完全需求 輕需重 輕需輕 輕需他 投入產(chǎn)出 3 價格分析 pj 產(chǎn)品 j 的單價 p p1 pn T 10 產(chǎn)品的增值 不考慮勞力 社會及外購?fù)度?njpapv n i iijjj 1 1 njpapv n i iijjj 1 1 v v1 vn T 利潤向量 則有 pT pTA vT pT I A vT 列昂節(jié)夫價值增值模型 系統(tǒng)的可增值性 任給定v 0 有p 0 使得 pTD vT 系統(tǒng)是可增值的當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)是可行的 推論給出了可增值性的判別 投入產(chǎn)出 20 均衡價格 考慮勞力投入 l l1 ln T 均衡價格 系統(tǒng)的投入和產(chǎn)出在價值上達 到平衡的價格 p 若勞力的價格為 w 則有 p TA w lT p T p T I A w lT 系統(tǒng)可行當(dāng)且僅當(dāng)對任何w l 均衡價格存在 要使系統(tǒng)可增值 當(dāng)且僅當(dāng) p p 投入產(chǎn)出 4 系統(tǒng)的可分解性 10 矩陣的可約性 N 1 2 n 指標(biāo)集 A 可約 當(dāng)且僅當(dāng)存在 N的非空子集S 使得 SjSiaij 0 SjSiaij 0 CB A A 0 1 即 20 系統(tǒng) A 的分解 若 A 可約則有 2 1 2 11 0 y y y x