數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例.doc

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例年級(jí)_ 班級(jí)_ 學(xué)號(hào)_ 姓名_ 分?jǐn)?shù)_總分一二三得分閱卷人一、選擇題(共49題，題分合計(jì)245分)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+1)時(shí),由n=k(k1)不等式成立,推證n=k+1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+12.球面上有n個(gè)大圓,其中任何三個(gè)都不相交于同一點(diǎn),設(shè)球面被這n個(gè)大圓所分成的部分為f(n),則下列猜想:f(n)=n,f(n)=f(n-1)+2n,f(n)=n2-n+2中,正確的是A.與 B.與 C.與 D.只有3.某個(gè)命題與自然數(shù)m有關(guān),若m=k(kN)時(shí)該命題成立,那么可以推得m=k+1時(shí)該命題成立,現(xiàn)已知當(dāng)m=5時(shí),該命題不成立,那么可推得A.當(dāng)m=6時(shí)該命題不成立 B.當(dāng)m=6時(shí)該命題成立C.當(dāng)m=4時(shí)該命題不成立 D.當(dāng)m=4時(shí)該命題成立4.設(shè)f(n)=(nN),那么f(n+1)-f(n)等于A. B. C.+ D.-5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+=(nN,a1)中,在驗(yàn)證n=1時(shí),左式應(yīng)為A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a36.用數(shù)學(xué)歸納法證明5n-2n能被3整除的第二步中,n=k+1時(shí),為了使用歸納假設(shè),應(yīng)把5 k+1 -2 k+1變形為A.(5k-2 k)+45 k -2 k B.5(5 k -2 k)+32 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-35 k7.平面內(nèi)原有k條直線,它們把平面劃分成f(k)個(gè)區(qū)域,則增加第k+1條直線后,這k+1條直線把平面分成的區(qū)域至多增加A.k個(gè) B.k+1個(gè) C.f(k)個(gè) D.f(k)+(k+1)個(gè)8.已知凸k邊形的對(duì)角線條數(shù)為f(k)(k3)條,則凸k+1邊形的對(duì)角線條數(shù)為A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-29.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)+(n+2)+(n+n)=的第二步中,n=k+1時(shí)等式左邊與n=k時(shí)的等式左邊的差等于A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+110.下面四個(gè)判斷中,正確的是A.式子1+k+k2+kn(nN),當(dāng)n=1時(shí)恒為1B.式子1+k+k2+kn-1(nN),當(dāng)n=1時(shí)恒為1+kC.式子+(nN),當(dāng)n=1時(shí)恒為D.設(shè)f(x)=(nN),則f(k+1)=f(k)+11.用數(shù)字歸納法證1+x+x2+xn+1=(x1),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式是A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x312.用數(shù)字歸納法證明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊所得的代數(shù)式是A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+413.用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n是非負(fù)數(shù)時(shí),34n+2+52n+1能被14整除的第二步中,為了使用歸納假設(shè)應(yīng)將34k+6+52k+3變形為A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+2514.用數(shù)學(xué)歸納法證明+= (nN)時(shí),從n=k到n=k+1,等式左邊需增添的項(xiàng)是A. B. C. D. 15.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,(n2,nN)的過程中,由n=k變到n=k+1時(shí),左邊增加了A.1項(xiàng) B.k項(xiàng) C.2k-1項(xiàng) D.2k項(xiàng)16.用數(shù)學(xué)歸納法證明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k+1-2k+1變形為A.(5k-2k)45k-2k B.5(5k-2k)32k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k17.平面內(nèi)原有k條直線,它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k),則增加一條直線后,它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k)18.已知一個(gè)命題P(k),k=2n(nN),若n=1,2,1000時(shí),P(k)成立,且當(dāng)n=1000+1時(shí)它也成立,下列判斷中,正確的是A.P(k)對(duì)k=2004成立 B.P(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k成立C.P(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k成立 D.P(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立19.用數(shù)學(xué)歸納法證明:,從k到k+1需在不等式兩邊加上A. B. C. D. 20.設(shè),則f(2k)變形到f(2k+1)需增添項(xiàng)數(shù)為A.2k+1項(xiàng) B.2k項(xiàng) C.2項(xiàng) D.1項(xiàng)21.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于足夠大的自然數(shù)n，總有2nn3,n0為驗(yàn)證的第一個(gè)值，則A.n0=1 B.n0為大于1小于10的某個(gè)整數(shù) C.n010 D.n0=222.某同學(xué)回答用數(shù)字歸納法證明n+1(nN)的過程如下：證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然命題是正確的;(2)假設(shè)n=k時(shí)有3)條直線,其中有k-1條直線互相平行,剩下一條與它們不平行,則這k條直線將平面分成區(qū)域的個(gè)數(shù)為A.k個(gè) B.k+2個(gè) C.2k個(gè) D.2k+2個(gè)24.已知凸k邊形的對(duì)角線條數(shù)為f(k)(k3)，則凸k1邊形的對(duì)角線條數(shù)為A.f(k)k B.f(k)k1 C.f(k)k-1 D.f(k)k-225.平面內(nèi)原有k條直線，它們將平面分成f(k)個(gè)區(qū)域，則增加第k1條直線后，這k1條直線將平面分成的區(qū)域最多會(huì)增加A.k個(gè) B.k1個(gè) C.f(k)個(gè) D.f(k)1個(gè)26.同一平面內(nèi)有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都有兩個(gè)不同交點(diǎn),并且三個(gè)圓不過同一點(diǎn),則這n個(gè)圓把平面分成A.2n部分 B.n2部分 C.2n2部分 D.n2n2部分27.平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，這n個(gè)圓把平面分成f(n)個(gè)部分，則滿足上述條件的n1個(gè)圓把平面分成的部分f(n1)與f(n)的關(guān)系是A.f(n1)=f(n)n B.f(n1)=f(n)2n C.f(n1)=f(n)n1 D.f(n1)=f(n)n228.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立時(shí)，應(yīng)取的第一個(gè)值為A.1 B.3 C.4 D.529.若，則等于A. B.C. D.30.設(shè)凸n邊形的內(nèi)角和為f (n)，則f (n+1) - f (n) 等于A. B. C. D.31.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立,則n的第一個(gè)值應(yīng)取A.7 B.8 C.9 D.1032.等于A. B. C. D.33.已知ab是不相等的正數(shù),若,則b的取值范圍是A.0b2 B.0b234.利用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意偶數(shù)n,an-bn能被a+b整除時(shí),其第二步論證,應(yīng)該是A.假設(shè)n=k時(shí)命題成立,再證n=k+1時(shí)命題也成立B.假設(shè)n=2k時(shí)命題成立,再證n=2k+1時(shí)命題也成立C.假設(shè)n=k時(shí)命題成立,再證n=k+2時(shí)命題也成立D.假設(shè)n=2k時(shí)命題成立,再證n=2(k+1)時(shí)命題也成立35.用數(shù)學(xué)歸納法證明42n-1+3n+1(nN)能被13整除的第二步中,當(dāng)n=k+1時(shí)為了使用假設(shè),對(duì)42k+1+3k+2變形正確的是A.16(42k-1+3k+1)-133k+1 B.442k+93kC.(42k-1+3k+1)+1542k-1+23k+1 D.3(42k-1+3k+1)-1342k-136.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN)時(shí),從兩邊同乘以一個(gè)代數(shù)式,它是A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D. 37.用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時(shí),左式為+cos+cos3+cos(2n-1)(k,kZ,nN),在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊所得的代數(shù)式為A. B. +cos C. +cos+cos 3 D. +cos+cos 3+cos 538.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)時(shí),第二步n=k+1時(shí)的左邊應(yīng)是n=k時(shí)的左邊乘以A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D. 39.設(shè)Sk=+,則Sk+1為A. B. C. D. 40.用數(shù)字歸納法證明某命題時(shí),左式為1-+,從n=k到n=k+1,應(yīng)將左邊加上A. B. C. D.41.用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),xn+yn能被x+y整除時(shí),第二步應(yīng)是A.假設(shè)n=k(kN)時(shí)命題成立,推得n=k+1時(shí)命題成立B.假設(shè)n=2k+1(kN)時(shí)命題成立,推得n=2k+3時(shí)命題成立C.假設(shè)k=2k-1(kN)時(shí)命題成立,推得n=2k+1時(shí)命題成立D.假設(shè)nk(k1,kN)時(shí)命題成立,推得n=k+2時(shí)命題成立42.設(shè)p(k):1+ (kN),則p(k+1)為A. B. C. D.上述均不正確43.k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k1棱柱有對(duì)角面的個(gè)數(shù)為A.2f(k) B.k1f(k) C.f(k)k D.f(k)244.已知，則等于A. B.C. D.45.用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗(yàn)證n=1等式成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是A. B. C. D.46.用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式，其中證時(shí)不等式成立的關(guān)鍵一步是：，括號(hào)中應(yīng)填的式子是A. B. C. D.47.對(duì)于不等式，某人的證明過程如下：當(dāng)時(shí)，不等式成立。假設(shè)時(shí)不等式成立，即，則時(shí)，。當(dāng)時(shí)，不等式成立。上述證法A.過程全都正確 B.驗(yàn)得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從到的推理不正確48.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)n=k(kN)時(shí)該命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,那么可推得A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)該命題不成立 D.n=4時(shí)該命題成立49.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),由假設(shè)n=k時(shí)命題成立到當(dāng)n=k+1時(shí),正確的步驟是A. B. C. D. 得分閱卷人二、填空題(共9題，題分合計(jì)36分)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)nN,1+2+22+23+25n-1是31倍數(shù)時(shí),當(dāng)n=1時(shí),原式為_.從n=k到n=k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是_.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1 n(n1)，在驗(yàn)證n2成立時(shí)，左式是_.3.不等式 中，當(dāng)nknk1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)是_，少掉的項(xiàng)是_. 4.平面上原有k個(gè)圓，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加第k1個(gè)圓后，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多增加_個(gè). 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到一步時(shí)，等式兩邊應(yīng)增添的式子是_.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明(a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),nN+)時(shí),假設(shè)n=k時(shí)不等式(*)成立,再推證n=k+1時(shí)不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式_.7.用數(shù)學(xué)歸納法證明能被14整除時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于應(yīng)變形為_.8.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步驗(yàn)證為_.9.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，當(dāng)時(shí)，應(yīng)證明的等式為_.得分閱卷人三、解答題(共36題，題分合計(jì)362分)1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對(duì)一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論.2.平面上有幾個(gè)圓,任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),任意三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓把平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分.3.設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,并對(duì)一切自然數(shù)n有, (1)寫出數(shù)列前3項(xiàng);(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(予以證明).4.已知數(shù)列計(jì)算S1 、S2、S3由此推測(cè)Sn 的公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.5.求最大的正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)3n+9對(duì)任意的正整數(shù)n,都能被m整除,并證明你的結(jié)論.6.當(dāng)nN時(shí),Sn=1-+-+-,Tn=+.對(duì)于相同的n,試比較Sn與Tn的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.7.已知函數(shù)f(n)=-2+2(n4)(1)試求反函數(shù)f-1(n),并指出其定義域;(2)如果數(shù)列an(an0)中a1=2,前n項(xiàng)和為Sn(nN)且Sn=f-1(Sn-1),求an的通項(xiàng)公式;(3)求的值.8.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對(duì)一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論.9.已知:x-1且x0,nN,n2求證:(1+x)n1+nx.10.求證:二項(xiàng)式x2n-y2n(nN)能被x+y整除.11.是否存在常數(shù)a，b使等式1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)3+(n-1)2+n1=n(n+a)(n+b)對(duì)一切自然數(shù)N都成立，并證明你的結(jié)論.12.已知x10,x11,且xn+1=(n=1,2,3).試證:數(shù)列xn或者對(duì)任意的自然數(shù)n都滿足xnxn+1,或者對(duì)任意的自然數(shù)n都滿足xn+1x.13.是否存在常數(shù)abc,使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)對(duì)一切自然數(shù)n成立?并證明你的結(jié)論.14.證明不等式:1+(nN).15.平面上有n條直線,其中無(wú)兩條平行也無(wú)三條共點(diǎn)求證:這n條直線(1)彼此分成n2段;(2)把平面分成個(gè)部分.16.用數(shù)歸納法證明(3n+1)7n-1是9的倍數(shù) (nN).17.用數(shù)學(xué)歸納法證明(x+3)n-1能被（x+2）整除.18.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1232 nn(2n1)( nN) .19.下列所給條件，寫出數(shù)列an的前四項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.已知a1=1，Sn= n2an (n2).20.下列所給條件，寫出數(shù)列an的前四項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差數(shù)列.21.對(duì)于任意自然數(shù)n，n3+11n能被6整除.22.已知數(shù)列bn是等差數(shù)列,(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng).(2)設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)(其中)記Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,試比較Sn與的大小,并證明你的理論.23.用數(shù)學(xué)歸納法證明已知：24.25.設(shè),是否存在關(guān)于n的整式g(n)使對(duì)大于1的一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.26.平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點(diǎn),(1)設(shè)這n條直線互相分割成f (n) 條線段或射線,猜想f (n) 的表達(dá)式并給以證明.(2)求證:這n條直線把平面分成個(gè)區(qū)域.27.數(shù)列an中,設(shè).(1)試求出的值;(2)猜想出,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.28.是否存在常數(shù)a、b、c使等式對(duì)一切自然數(shù)n都成立，并證明結(jié)論29.在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，且( nN)，試由a1，a2，a3的值推測(cè)an的計(jì)算公式，并證明之.30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f f(x)，fn (x)= fn-1 f(x) (nN，n2)，試求ab，x表示的f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)的式子，并推測(cè)fn (x)以b，x，n表示的式子，證明你的結(jié)論31.設(shè)函數(shù) , 若數(shù)列滿足,求證：當(dāng)32.用數(shù)學(xué)歸納法證明(nN)33.用數(shù)學(xué)歸納法證明|sinn|n|sin|.34.試比較An與Bn的大小，并說明理由.35.已知等差數(shù)列an的第2項(xiàng)為8,前10項(xiàng)的和為185.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若從數(shù)列an中依次取出第2項(xiàng),第4項(xiàng),第8項(xiàng),.,第2n項(xiàng),.按原來順序排成一個(gè)新的數(shù)列,求此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.(3)設(shè)Tn= n(an +9),試比較Sn與Tn的大小,并說明理由.36.數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-an).(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表達(dá)式;(2)用數(shù)字歸納法證明你的結(jié)論.數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例答案一、選擇題(共49題，合計(jì)245分)1.952答案：C2.953答案：C3.1015答案：C4.1019答案：D5.1063答案：C6.1065答案：B7.1066答案：B8.1067答案：C9.1081答案：B10.1082答案：C11.1083答案：C12.1085答案：C13.1091答案：C14.1092答案：C15.1098答案：D16.1100答案：B17.1101答案：B18.1102答案：D19.1103答案：C20.1104答案：B21.1107答案：C22.1108答案：D23.1109答案：C24.1110答案：C25.1111答案：B26.1113答案：D27.1114答案：B28.1120答案：D29.1121答案：D30.1123答案：C31.8059答案：B32.8060答案：B33.8061答案：B34.1084答案：D35.1088答案：A36.1089答案：D37.1090答案：B38.1093答案：D39.1094答案：C40.1095答案：D41.1096答案：C42.1105答案：C43.1106答案：B44.1122答案：C45.1124答案：B46.1125答案：C47.1126答案：D48.1086答案：C49.1099答案：D二、填空題(共9題，合計(jì)36分)1.954答案：1+2+22+23+242.1068