求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組.doc

_求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組對(duì)于具體給出的向量組，求秩與極大無(wú)關(guān)組的常用方法如下.方法1 將向量組排成矩陣：(列向量組時(shí))或(行向量組時(shí)) (*)并求的秩，則即是該向量組的秩；再在原矩陣中找非零的階子式，則包含的個(gè)列(或行)向量即是的列(或行)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.方法2 將列(或行)向量組排成矩陣如(*)式，并用初等行(或列)變換化為行(或列)階梯形矩陣(或)，則(或)中非零行(或列)的個(gè)數(shù)即等于向量組的秩，且是該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，其中是(或)中各非零行(或列)的第1個(gè)非零元素所在的列(或行).方法3 當(dāng)向量組中向量個(gè)數(shù)較少時(shí)，也可采用逐個(gè)選錄法：即在向量組中任取一個(gè)非零向量作為，再取一個(gè)與的對(duì)應(yīng)分量不成比例的向量作為，又取一個(gè)不能由和線(xiàn)性表出的向量作為，繼續(xù)進(jìn)行下去便可求得向量組的極大無(wú)關(guān)組.對(duì)于抽象的向量組，求秩與極大無(wú)關(guān)組常利用一些有關(guān)的結(jié)論，如“若向量組()可由向量組()線(xiàn)性表示，則()的秩不超過(guò)()的秩”，“等價(jià)向量組有相同的秩”，“秩為的向量組中任意個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都是該向量組的極大無(wú)關(guān)組”等.例1 求向量組，的秩與一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解 法1 ，所以向量組的秩為3；又中位于1，2，4行及1，2，4列的3階子式故是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組(可知；均可作為極大無(wú)關(guān)組).法2 由于的第1，2，4個(gè)行向量構(gòu)成的向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故是向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.例2 求向量組，的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.解 (1) 當(dāng)且時(shí)，故向量組的秩為3，且是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；(2) 當(dāng)時(shí)，故向量組的秩為3，且是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組；(3) 當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)向量組的秩為2，且是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.若，則，此時(shí)向量組的秩為3，且是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.例3 設(shè)向量組的秩為.又設(shè)，求向量組的秩.解 法1 由于，且所以故向量組與等價(jià)，從而的秩為.法2 將看做列向量，則有其中 可求得，即可逆，從而可由線(xiàn)性表示，故這兩個(gè)向量組等價(jià)，即它們有相同的秩.例4 設(shè)向量組()：和向量組()：的秩分別為和，而向量組()：的秩為.證明：.證 若和中至少有一個(gè)為零，顯然有，結(jié)論成立.若和都不為零，不妨設(shè)向量組()的極大無(wú)關(guān)組為，向量組()的極大無(wú)關(guān)組為，由于向量組可以由它的極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示，所以向量組()可