三角形內(nèi)角和定理的證明的案例分析.doc

三角形內(nèi)角和定理的證明的案例分析牛棚中學 袁仁虎一、課題 三角形內(nèi)角和定理的證明二、教材內(nèi)容：義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學 （七至九年級，北京師范大學出版社）八年級下冊第六章第五節(jié)。三、教學目標（）感受證明的含義，了解證明的含義，了解證明的必要性。（）了解命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件 （題設）和結論。（）體會在證明中添加輔助線的必要性以及便捷性；初步了解“數(shù)”與 “形”，培養(yǎng)數(shù)形結合思想。四、教材分析內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容新課程標準實驗教科書各個版本都有安排，北師大版將其安排在八年級下冊第六章證明 （一）中的第五節(jié)。在此之前，學生通過拼圖曾經(jīng)探索過這個結論，已經(jīng)感受過這個結論的正確性，同時學習了關于命題的有關知識；而且，他們知道通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定是正確的。在本節(jié)內(nèi)容之后，學生將要學習三角形內(nèi)角和定理的推論以及三角形、四邊形有關基本性質的證明。在這節(jié)內(nèi)容中，學生第一次接觸添加輔助線的方法，而輔助線在證明中的重要性不言而喻。因此，這節(jié)內(nèi)容在初中數(shù)學 “空間與圖形”中承上啟下，對今后的學習有良好的奠基作用。教學重點以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學習幾何證明思想，以及輔助線的有關知識，體會數(shù)形結合思想。教學難點輔助線添加的必要性和具體方法：（）為什么要添加；（）在哪里添加；（）如何添加；（）哪種添加方法最簡便。五、設計思路分析三角形內(nèi)角和定理是學生接觸較早的定理之一，其內(nèi)容和應用早已為學生所熟悉。因此，本節(jié)課須要重點解決的問題是定理的證明；在定理的證明中，學生將首次接觸和應用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、 “如何添加輔助線”就成為這節(jié)課的重中之重。本節(jié)課的基本定位在于，通過三角形內(nèi)角和定理證明的教學具體實踐和感受幾何證明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領學生體會數(shù)學中的重要思想數(shù)形結合思想。首先，我從學生已有的生活經(jīng)驗入手，創(chuàng)設情境，讓學生體會生活中橋梁的重要性，同時引出搭建橋梁的注意事項。然后，把生活中的橋向數(shù)學中的 “橋”引申，借助 “撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內(nèi)角和定理”的過程分析，啟發(fā)誘導學生初步體會輔助線及其在證明中的作用。最后，引領學生進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透 “最優(yōu)化”思想。六、教學環(huán)節(jié)設計1分析命題（）教師提出三角形內(nèi)角和定理的證明問題。（）組織學生回顧 “撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內(nèi)角和定理”的過程。（）提出 “能不能通過其他的方式，達到平移其中的兩個內(nèi)角，進而證明三角形內(nèi)角和定理”的問題。（）分析三角形內(nèi)角和定理的已知和未知，指出命題中的已知和未知相當于橋的兩岸，輔助線是連接兩岸的 “橋”。 數(shù)的研究。對于三角形的內(nèi)角和是這樣一個結論，啟發(fā)學生回想：我們在小學時是怎樣知道這個結論的。（通過量角器進行角度的測量，這就是 “數(shù)”的研究，量角器在這里起到橋的作用。）提出進一步的問題：通過前兩節(jié)課的學習，我們知道通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定是正確的，測量會產(chǎn)生誤差，問題解決得并不完美。這就促使我們?nèi)で笮碌难芯糠较蛐?。（體會證明的必要性） 形的研究。啟發(fā)學生回顧上節(jié)課學習的有關證明的內(nèi)容，導出 “平移三角形內(nèi)角的辦法”。師：我們學習了有關命題的知識，學習過驗證一個命題正確性的一些方法，但是如何才能從數(shù)學上真正證明 “三角形內(nèi)角和定理”這個結論的正確性呢？請同學們回憶一下，要證明一個命題我們首先要做的工作是什么。分析命題的條件和結論。條件相當于已知，結論相當于未知。（理解命題）結合表格從形來分析已知與未知，提出問題：“用什么將兩者聯(lián)系起來？在哪里進行聯(lián)系？怎樣聯(lián)系？”結合 “數(shù)”與 “形”進行分析。2分組探究（）教師組織學生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。（）在學生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當?shù)奶崾竞鸵龑?。著重從下列問題去引導： 如何添線 （如何架橋）添線的目的是將三角形的三個角向一個平角或互補的兩個角轉化。 在哪添線 （在哪架橋）可以選擇三角形的頂點、邊或三角形的內(nèi)部甚至外部。但在學生探究時注意分層次引導，由學生自己發(fā)現(xiàn)地點選擇的多樣性。 有幾種添法 （可架幾座橋）從地點上看可以有若干種，同時對平角或互補的選擇又有不同。 哪種最簡捷 （怎樣架最省）體會數(shù)學中的最優(yōu)化思想，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識。（）教師指導學生添加輔助線，給出完整的 “三角形內(nèi)角和定理”的證明。3成果展示教師指導學生進行大班回報：（）借助實物投影儀，將學生找到的添加輔助線的方法進行匯總展示。注意選取不同的方法。（）在展示過程中，注意關注學生的表達以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。（）引導學生將輔助線添加在三角形的頂點上、邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進一步引導學生比較，哪種最好 （最省）。設計意圖給學生充分的自我展示的機會，盡量發(fā)現(xiàn)更多的添加輔助線的方法。4歸納、總結教師引導學生從如下四個方面進行小結：（）是否積極地參與了本節(jié)課的探究活動？你的工作是否獲得本組組員的肯定？（）是否掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明？添加輔助線要注意哪些問題？（）“橋”的作用以及 “架橋”思想，數(shù)與形哪個更好？“數(shù)形結合”思想。（）此外，通過這節(jié)課你有什么收獲和體會？5課程結束（）布置作業(yè)證明四邊形的內(nèi)角和等于。七、總結作為 “幾何證明”的重要組成部分，這節(jié)課所涉及的內(nèi)容對于證明的學習顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進行幾何證明的首次學習，學生對此普遍感到困難；另一方面，這是 全日制義務教育數(shù)學課程標準下的 “幾何公理體系”的第一次循環(huán)的綜合運用，即 “兩條直線平行，內(nèi)錯角相等”、“內(nèi)錯角相等，兩條直線平行”公理的綜合運用。這篇案例的設計是精心的，尤其是從 “數(shù)”與 “形”兩個角度對輔助線作法的分析與探討，是相當成功的。當然，對于這節(jié)課的教學目的，設計者將教材上規(guī)定的教學目標 “掌握 三角形