三角形內(nèi)角和定理的證明的案例分析.doc

三角形內(nèi)角和定理的證明的案例分析牛棚中學(xué) 袁仁虎一、課題 三角形內(nèi)角和定理的證明二、教材內(nèi)容：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué) （七至九年級(jí)，北京師范大學(xué)出版社）八年級(jí)下冊(cè)第六章第五節(jié)。三、教學(xué)目標(biāo)（）感受證明的含義，了解證明的含義，了解證明的必要性。（）了解命題、定理的含義，會(huì)區(qū)分命題的條件 （題設(shè)）和結(jié)論。（）體會(huì)在證明中添加輔助線的必要性以及便捷性；初步了解“數(shù)”與 “形”，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想。四、教材分析內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書各個(gè)版本都有安排，北師大版將其安排在八年級(jí)下冊(cè)第六章證明 （一）中的第五節(jié)。在此之前，學(xué)生通過拼圖曾經(jīng)探索過這個(gè)結(jié)論，已經(jīng)感受過這個(gè)結(jié)論的正確性，同時(shí)學(xué)習(xí)了關(guān)于命題的有關(guān)知識(shí)；而且，他們知道通過觀察、度量、猜測(cè)得到的結(jié)論不一定是正確的。在本節(jié)內(nèi)容之后，學(xué)生將要學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的推論以及三角形、四邊形有關(guān)基本性質(zhì)的證明。在這節(jié)內(nèi)容中，學(xué)生第一次接觸添加輔助線的方法，而輔助線在證明中的重要性不言而喻。因此，這節(jié)內(nèi)容在初中數(shù)學(xué) “空間與圖形”中承上啟下，對(duì)今后的學(xué)習(xí)有良好的奠基作用。教學(xué)重點(diǎn)以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學(xué)習(xí)幾何證明思想，以及輔助線的有關(guān)知識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。教學(xué)難點(diǎn)輔助線添加的必要性和具體方法：（）為什么要添加；（）在哪里添加；（）如何添加；（）哪種添加方法最簡(jiǎn)便。五、設(shè)計(jì)思路分析三角形內(nèi)角和定理是學(xué)生接觸較早的定理之一，其內(nèi)容和應(yīng)用早已為學(xué)生所熟悉。因此，本節(jié)課須要重點(diǎn)解決的問題是定理的證明；在定理的證明中，學(xué)生將首次接觸和應(yīng)用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、 “如何添加輔助線”就成為這節(jié)課的重中之重。本節(jié)課的基本定位在于，通過三角形內(nèi)角和定理證明的教學(xué)具體實(shí)踐和感受幾何證明的思想，體會(huì)輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的重要思想數(shù)形結(jié)合思想。首先，我從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)入手，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生體會(huì)生活中橋梁的重要性，同時(shí)引出搭建橋梁的注意事項(xiàng)。然后，把生活中的橋向數(shù)學(xué)中的 “橋”引申，借助 “撕三角形紙片，拼接，驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理”的過程分析，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)輔助線及其在證明中的作用。最后，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)輔助線添加方法的多樣性，滲透 “最優(yōu)化”思想。六、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)1分析命題（）教師提出三角形內(nèi)角和定理的證明問題。（）組織學(xué)生回顧 “撕三角形紙片，拼接，驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理”的過程。（）提出 “能不能通過其他的方式，達(dá)到平移其中的兩個(gè)內(nèi)角，進(jìn)而證明三角形內(nèi)角和定理”的問題。（）分析三角形內(nèi)角和定理的已知和未知，指出命題中的已知和未知相當(dāng)于橋的兩岸，輔助線是連接兩岸的 “橋”。 數(shù)的研究。對(duì)于三角形的內(nèi)角和是這樣一個(gè)結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生回想：我們?cè)谛W(xué)時(shí)是怎樣知道這個(gè)結(jié)論的。（通過量角器進(jìn)行角度的測(cè)量，這就是 “數(shù)”的研究，量角器在這里起到橋的作用。）提出進(jìn)一步的問題：通過前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道通過觀察、度量、猜測(cè)得到的結(jié)論不一定是正確的，測(cè)量會(huì)產(chǎn)生誤差，問題解決得并不完美。這就促使我們?nèi)で笮碌难芯糠较蛐?。（體會(huì)證明的必要性） 形的研究。啟發(fā)學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的有關(guān)證明的內(nèi)容，導(dǎo)出 “平移三角形內(nèi)角的辦法”。師：我們學(xué)習(xí)了有關(guān)命題的知識(shí)，學(xué)習(xí)過驗(yàn)證一個(gè)命題正確性的一些方法，但是如何才能從數(shù)學(xué)上真正證明 “三角形內(nèi)角和定理”這個(gè)結(jié)論的正確性呢？請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，要證明一個(gè)命題我們首先要做的工作是什么。分析命題的條件和結(jié)論。條件相當(dāng)于已知，結(jié)論相當(dāng)于未知。（理解命題）結(jié)合表格從形來分析已知與未知，提出問題：“用什么將兩者聯(lián)系起來？在哪里進(jìn)行聯(lián)系？怎樣聯(lián)系？”結(jié)合 “數(shù)”與 “形”進(jìn)行分析。2分組探究（）教師組織學(xué)生分組討論：有了上面的知識(shí)作為鋪墊，我們可以開展探究活動(dòng)了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。（）在學(xué)生開展探究的過程中，教師參與其中，對(duì)個(gè)別感到困難的小組可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo)。著重從下列問題去引導(dǎo)： 如何添線 （如何架橋）添線的目的是將三角形的三個(gè)角向一個(gè)平角或互補(bǔ)的兩個(gè)角轉(zhuǎn)化。 在哪添線 （在哪架橋）可以選擇三角形的頂點(diǎn)、邊或三角形的內(nèi)部甚至外部。但在學(xué)生探究時(shí)注意分層次引導(dǎo)，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)地點(diǎn)選擇的多樣性。 有幾種添法 （可架幾座橋）從地點(diǎn)上看可以有若干種，同時(shí)對(duì)平角或互補(bǔ)的選擇又有不同。 哪種最簡(jiǎn)捷 （怎樣架最?。w會(huì)數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化思想，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)。（）教師指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，給出完整的 “三角形內(nèi)角和定理”的證明。3成果展示教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大班回報(bào)：（）借助實(shí)物投影儀，將學(xué)生找到的添加輔助線的方法進(jìn)行匯總展示。注意選取不同的方法。（）在展示過程中，注意關(guān)注學(xué)生的表達(dá)以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進(jìn)行必要的提示。（）引導(dǎo)學(xué)生將輔助線添加在三角形的頂點(diǎn)上、邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較，哪種最好 （最省）。設(shè)計(jì)意圖給學(xué)生充分的自我展示的機(jī)會(huì)，盡量發(fā)現(xiàn)更多的添加輔助線的方法。4歸納、總結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生從如下四個(gè)方面進(jìn)行小結(jié)：（）是否積極地參與了本節(jié)課的探究活動(dòng)？你的工作是否獲得本組組員的肯定？（）是否掌握了三角形內(nèi)角和定理的證明？添加輔助線要注意哪些問題？（）“橋”的作用以及 “架橋”思想，數(shù)與形哪個(gè)更好？“數(shù)形結(jié)合”思想。（）此外，通過這節(jié)課你有什么收獲和體會(huì)？5課程結(jié)束（）布置作業(yè)證明四邊形的內(nèi)角和等于。七、總結(jié)作為 “幾何證明”的重要組成部分，這節(jié)課所涉及的內(nèi)容對(duì)于證明的學(xué)習(xí)顯得十分重要。其原因一方面在于，這是添加輔助線、進(jìn)行幾何證明的首次學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)此普遍感到困難；另一方面，這是 全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)下的 “幾何公理體系”的第一次循環(huán)的綜合運(yùn)用，即 “兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行”公理的綜合運(yùn)用。這篇案例的設(shè)計(jì)是精心的，尤其是從 “數(shù)”與 “形”兩個(gè)角度對(duì)輔助線作法的分析與探討，是相當(dāng)成功的。當(dāng)然，對(duì)于這節(jié)課的教學(xué)目的，設(shè)計(jì)者將教材上規(guī)定的教學(xué)目標(biāo) “掌握 三角形