高中數(shù)學 第三章 推理與證明 3.2 數(shù)學證明課件 北師大版選修12 (2).ppt

3 2數(shù)學證明 一 演繹推理 二 三段論 名師點撥1 演繹推理的特點 1 演繹推理的前提是一般性原理 演繹推理的結(jié)論是蘊涵于前提之中的個別特殊事實 2 在演繹推理中 前提和結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系 只要前提是真實的 推理形式是正確的 結(jié)論必定是正確的 2 對三段論的理解 1 三段論推理的依據(jù) 用集合觀點來講 就是 若集合m的所有元素都具有性質(zhì)p s是m的子集 則s中所有元素也都具有性質(zhì)p 2 應(yīng)用 三段論 進行推理的過程中 大前提 小前提或推理形式之一錯誤 都可能導(dǎo)致結(jié)論錯誤 3 應(yīng)用三段論解決問題時 首先應(yīng)該明確什么是大前提和小前提 但為了敘述簡潔 如果大前提是人們熟知的 那么可以省略不寫 做一做 1 因為我們是共青團員 所以我們要在學習和工作中起帶頭作用 它的大前提是 a 我們是共青團員b 我們在學習和工作中起帶頭作用c 共青團員應(yīng)在學習和工作中起帶頭作用d 以上都不是 2 用三段論證明命題 任何實數(shù)的平方大于0 因為a是實數(shù) 所以a2 0 你認為這個推理 a 大前提錯誤b 小前提錯誤c 推理形式錯誤d 是正確的 解析 1 通過三段論的形式可以看出 本題的大前提已經(jīng)省略 小前提為 我們是共青團員 結(jié)論為 我們要在學習和工作中起帶頭作用 故大前提應(yīng)為 共青團員應(yīng)在學習和工作中起帶頭作用 2 這個三段論推理的大前提是 任何實數(shù)的平方大于0 小前提是 a是實數(shù) 結(jié)論是 a2 0 顯然這是個錯誤的推理 究其原因 是大前提錯誤 盡管推理形式是正確的 但是結(jié)論是錯誤的 答案 1 c 2 a 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 演繹推理的結(jié)論一定正確 2 演繹推理的一般模式是 三段論 形式 3 三段論中 大前提正確 小前提正確 推理過程正確 則結(jié)論正確 4 演繹推理得到的結(jié)論的正確性與大前提 小前提和推理形式有關(guān) 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 對三段論的理解 例1 將下列演繹推理寫成三段論的形式 1 等腰三角形的兩底角相等 a b是等腰三角形的底角 則 a b 2 通項公式為an 2n 3的數(shù)列 an 為等差數(shù)列 思路分析 分清楚三段論中的大前提 小前提 結(jié)論是解題的關(guān)鍵 為此要抓住它們的含義 即大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情況 結(jié)論 根據(jù)一般原理 對特殊情況作出的判斷 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解 1 等腰三角形的兩底角相等 大前提 a b是等腰三角形的底角 小前提 a b 結(jié)論 2 數(shù)列 an 中 若當n 2時 an an 1為常數(shù) 則 an 為等差數(shù)列 大前提 當通項公式為an 2n 3時 an an 1 2n 3 2 n 1 3 2 常數(shù) 小前提 通項公式為an 2n 3的數(shù)列 an 為等差數(shù)列 結(jié)論 反思感悟1 用三段論寫演繹推理的過程 關(guān)鍵是明確大前提 小前提 大前提提供了一個一般性的原理 在演繹推理的過程中往往省略 而小前提指出了大前提下的一個特殊情況 只有將二者結(jié)合起來才能得到完整的三段論 2 在尋找大前提時 可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練1用三段論的形式寫出下列演繹推理 1 菱形的對角線相互垂直 正方形是菱形 所以正方形的對角線相互垂直 2 若兩角是對頂角 則此兩角相等 所以若兩角不相等 則此兩角不是對頂角 探究一 探究二 探究三 思維辨析 演繹推理在幾何證明中的應(yīng)用 例2 如圖 正三棱柱abc a1b1c1的棱長均為a d e分別為c1c與ab的中點 a1b交ab1于點g 求證 1 a1b ad 2 ce 平面ab1d 思路分析 1 為了證明a1b ad 可證a1b 平面ab1d 連接dg 顯然a1b ab1 所以只需證明a1b dg 可利用 a1db是等腰三角形以及g是a1b中點得證 2 要證ce 平面ab1d 只需證ce與平面ab1d內(nèi)的一條直線 dg 平行即可 探究一 探究二 探究三 思維辨析 證明 1 連接a1d dg bd 如圖所示 三棱柱abc a1b1c1是棱長均為a的正三棱柱 四邊形a1abb1為正方形 a1b ab1 d是c1c的中點 a1c1d bcd a1d bd g為a1b的中點 a1b dg 又 dg ab1 g a1b 平面ab1d 又 ad 平面ab1d a1b ad 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 連接ge 則eg a1a ge 平面abc dc 平面abc ge dc ge dc a 四邊形gecd為平行四邊形 ec gd 又 ec 平面ab1d dg 平面ab1d ec 平面ab1d 反思感悟1 三段論是最重要且最常用的推理表現(xiàn)形式 我們以前學過的平面幾何與立體幾何的證明 都運用了這種推理 只不過在利用該推理時 往往省略了大前提 2 幾何證明問題中 每一步都包含著一般性原理 都可以分析出大前提和小前提 將一般性原理應(yīng)用于特殊情況 就能得出相應(yīng)結(jié)論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練2如圖 d e f分別是bc ca ab上的點 bfd a de ba 求證 ed af 證明 因為同位角相等 兩直線平行 bfd與 a是同位角 且 bfd a 所以fd ae 因為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 de ba 且fd ae 所以四邊形afde是平行四邊形 因為平行四邊形的對邊相等 ed和af是平行四邊形afde的對邊 所以ed af 探究一 探究二 探究三 思維辨析 演繹推理在代數(shù)證明中的應(yīng)用 例3 已知定義域為 0 1 的函數(shù)f x 同時滿足以下三個條件 對任意的x 0 1 總有f x 0 f 1 1 若 當x1 0 x2 0且x1 x2 1時 有f x1 x2 f x1 f x2 成立 則稱f x 為 友誼函數(shù) 1 若已知f x 為 友誼函數(shù) 求f 0 的值 2 函數(shù)g x 2x 1在區(qū)間 0 1 上是否為 友誼函數(shù) 并給出理由 3 已知f x 為 友誼函數(shù) 且0 x1 x2 1 求證 f x1 f x2 思路分析 第 1 問已知f x 為友誼函數(shù) 求f 0 可用賦值法求解 第 2 問給出g x 解析式和定義區(qū)間 判斷g x 是否為友誼函數(shù) 需緊扣定義驗證g x 是否滿足三個條件 第 3 問要證f x1 f x2 需依據(jù)條件 進行變換 注意條件 在變形中的應(yīng)用 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 數(shù)學問題的解決和證明都蘊含著演繹推理 即一連串的三段論 解決這類問題關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù) 大前提 小前提 注意前一推理的結(jié)論往往會作為下一個三段論的前提 2 在代數(shù)證明問題中 首先找出與物體相關(guān)的一般性原理 如基本不等式 函數(shù)的性質(zhì)等 這是大前提 然后利用 三段論 進行推理 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因推理中大 小 前提錯誤致誤 典例 如圖 在 abc中 ac bc cd是ab邊上的高 求證 acd bcd 易錯分析 本題的證明 可以正確運用大前提 即在同一個三角形中 大邊對大角 但易忽略ad與bd并不是在同一個三角形內(nèi)的兩條邊 即小前提不成立 致使推理過程錯誤 證明 因為cd ab 所以 adc bdc 90 所以 a acd b bcd 90 所以 a b bcd acd 在 abc中 因為ac bc 所以 b a 即 a b bcd 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得利用三段論推理時 1 大前提必須是真命題 2 小前提是大前提的特殊情形 探究一 探究二 探究三 思維辨析 跟蹤訓練已知在梯形abcd中 如圖 dc da ad bc 求證 ac平分 bcd 用三段論證明 3 正弦函數(shù)是奇函數(shù) f x sin x2 1 是正弦函數(shù) 因此f x sin x2 1 是奇函數(shù) 以上推理 a 結(jié)論正確b 大前提不正確c 小前提不正確d 全不正確解析 函數(shù)f x sin