高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項和課件 文 新人教版.ppt

6 3等比數(shù)列及其前n項和 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 一般地 如果一個數(shù)列 那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 通常用字母表示 q 0 1 等比數(shù)列的定義 知識梳理 2 等比數(shù)列的通項公式 設(shè)等比數(shù)列 an 的首項為a1 公比為q 則它的通項an 從第2項起 每一項與它的前一項的比等于同一常 數(shù) 公比 q a1 qn 1 如果在a與b中間插入一個數(shù)g 使a g b成等比數(shù)列 那么g叫做a與b的 3 等比中項 4 等比數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項公式的推廣 an am n m n 2 若 an 為等比數(shù)列 且k l m n k l m n n 則 等比中項 qn m ak al am an 公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項和為sn 則sn s2n sn s3n s2n仍成等比數(shù)列 其公比為 5 等比數(shù)列的前n項和公式 6 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) qn 等比數(shù)列 an 的單調(diào)性 判斷下列結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 滿足an 1 qan n n q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 2 g為a b的等比中項 g2 ab 3 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 bn a2n 1 a2n 則數(shù)列 bn 也是等比數(shù)列 4 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 lnan 是等差數(shù)列 1 教材改編 已知 an 是等比數(shù)列 a2 2 a5 則公比q等于 考點自測 答案 解析 2 2015 課標(biāo)全國 已知等比數(shù)列 an 滿足a1 3 a1 a3 a5 21 則a3 a5 a7等于a 21b 42c 63d 84 答案 解析 3 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項和為sn 若s2 3 s4 15 則s6等于a 31b 32c 63d 64 答案 解析 4 教材改編 在9與243中間插入兩個數(shù) 使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列 則這兩個數(shù)為 答案 解析 27 81 答案 解析 11 題型分類深度剖析 題型一等比數(shù)列基本量的運算 例1 1 2015 課標(biāo)全國 已知等比數(shù)列 an 滿足a1 a3a5 4 a4 1 則a2等于 答案 解析 答案 解析 2n 1 思維升華 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 可迎刃而解 跟蹤訓(xùn)練1 1 設(shè) an 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列 sn為其前n項和 已知a2a4 1 s3 7 則s5等于 答案 解析 2 2015 湖南 設(shè)sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 若a1 1 且3s1 2s2 s3成等差數(shù)列 則an 答案 解析 3n 1 題型二等比數(shù)列的判定與證明 例2設(shè)數(shù)列 an 的前n項和為sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 1 求a2 a3的值 解答 a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 當(dāng)n 1時 a1 2 1 2 當(dāng)n 2時 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 當(dāng)n 3時 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 綜上 a2 4 a3 8 2 求證 數(shù)列 sn 2 是等比數(shù)列 證明 a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 當(dāng)n 2時 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 sn 1 2 n 1 得nan n 1 sn n 2 sn 1 2 n sn sn 1 sn 2sn 1 2 nan sn 2sn 1 2 sn 2sn 1 2 0 即sn 2sn 1 2 sn 2 2 sn 1 2 s1 2 4 0 sn 1 2 0 故 sn 2 是以4為首項 2為公比的等比數(shù)列 思維升華 1 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法 其他方法只用于選擇題 填空題中的判定 若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列 則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可 2 利用遞推關(guān)系時要注意對n 1時的情況進行驗證 證明 跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 3an 1 1 證明 an 是等比數(shù)列 并求 an 的通項公式 證明 題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 例3 1 若等比數(shù)列 an 的各項均為正數(shù) 且a10a11 a9a12 2e5 則lna1 lna2 lna20 答案 解析 50 答案 解析 思維升華 等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類 1 通項公式的變形 2 等比中項的變形 3 前n項和公式的變形 根據(jù)題目條件 認(rèn)真分析 發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口 跟蹤訓(xùn)練3 1 已知在等比數(shù)列 an 中 a1a4 10 則數(shù)列 lgan 的前4項和等于a 4b 3c 2d 1 答案 解析 2 設(shè)等比數(shù)列 an 中 前n項和為sn 已知s3 8 s6 7 則a7 a8 a9等于 答案 解析 分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用 思想與方法系列13 1 利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比 寫出通項公式 2 求出前n項和 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明 規(guī)范解答 思想方法指導(dǎo) 課時作業(yè) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 等比數(shù)列x 3x 3 6x 6 的第四項等于a 24b 0c 12d 24 答案 解析 由x 3x 3 6x 6成等比數(shù)列 得 3x 3 2 x 6x 6 解得x1 3或x2 1 不合題意 舍去 故數(shù)列的第四項為 24 2 2016 珠海模擬 在等比數(shù)列 an 中 若a1 0 a2 18 a4 8 則公比q等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在正項等比數(shù)列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 則n等于a 12b 13c 14d 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 昆明模擬 在等比數(shù)列 an 中 若a3 a7是方程x2 4x 2 0的兩根 則a5的值是 答案 解析 根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得a3 a7 4 a3a7 2 由a3 a7 40 所以a3 0 a7 0 即a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 中國古代數(shù)學(xué)著作 算法統(tǒng)宗 中有這樣一個問題 三百七十八里關(guān) 初行健步不為難 次日腳痛減一半 六朝才得到其關(guān) 要見次日行里數(shù) 請公仔細(xì)算相還 其意思為 有一個人走378里路 第一天健步行走 從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半 走了6天后到達(dá)目的地 請問第二天走了a 192里b 96里c 48里d 24里 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 銅仁質(zhì)檢 在由正數(shù)組成的等比數(shù)列 an 中 若a3a4a5 3 則sin log3a1 log3a2 log3a7 的值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 設(shè)sn為等比數(shù)列 an 的前n項和 已知3s3 a4 2 3s2 a3 2 則公比q 答案 解析 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列 an sn為前n項和且s10 10 s30 70 那么s40 答案 解析 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知數(shù)列 an 的前n項和為sn 且滿足an sn 1 n n 則通項an 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知 an 是等差數(shù)列 滿足a1 3 a4 12 數(shù)列 bn 滿足b1 4 b4 20 且 bn an 是等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 和 bn 的通項公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設(shè)等差數(shù)列的公差為d 所以an a1 n 1 d 3n n n 設(shè)等比數(shù)列 bn an 的公比為q 所以bn an b1 a1 qn 1 2n 1 從而bn 3n 2n 1 n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求數(shù)列 bn 的前n項和 解答 由 1 知bn 3n 2n 1 n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 全國丙卷 已知各項都為正數(shù)的數(shù)列 an 滿足a1 1 2an 1 1 an 2an 1 0 1 求a2 a3 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求 an 的通項公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2016 昆明一檢 已知等比數(shù)列 an 的前n項和是sn s18 s9 7 8 1 求證 s3 s9 s6依次成等差數(shù)列 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 若q 1 則s18 18a1 s9 9a1 s18 s9 2 1 7 8 q 1 s18