2011年高考數(shù)學(xué)試卷解析版-四川卷［文理兩份］

2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 絕密啟用前 2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 (四川卷 ) 數(shù) 學(xué) (文史類 ) 本試題卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題）兩部分第 1 部分 1 至 2 頁，第二部分 3 至 4 頁 ， 共 4 頁 考生作答時，須將答案打在答題卡上，在 本 試題卷、草稿紙上答題無效， 滿分 150 分，考試時間 120 分鐘考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回 參考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面積公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 24SR 如果事件 A、 B 相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑 ( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的體積公式 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 P，那么 343VRn 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的概率 其中 R 表示球的半徑 ( ) (1 )k k n knnP k C P P 第一部分（選擇題 共 60 分） 1選擇題必須使用 2B 鉛筆 將答案標(biāo)號填涂在答題卡上對應(yīng)題目 標(biāo)號 的位置上 2本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 一、選擇題 ： 本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目的要求的 1 若全集 1, 2 , 3, 4 , 5M ， 2, 4N ，則MN（ A） （ B） 1,3,5 （ C） 2,4 （ D ）1, 2, 3, 4, 5 答 案： B 解析： 1, 2 , 3, 4 , 5M ， 則MN 1,3,5，選 B 2有一個容量為 66 的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： 11.5， 15.5) 2 15.5， 19.5) 4 19.5， 23.5) 9 23.5， 27.5) 18 27.5， 31.5) 1l 31.5， 35.5) 12 35.5， 39.5) 7 39.5， 43.5) 3 根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)， 大于或等于 31.5 的 數(shù)據(jù)約占 （ A） 211（ B） 13（ C） 12（ D） 23答案： B 解析： 大于或等于 31.5 的 數(shù)據(jù) 共有 12+7+3=22 個 ， 約占 22 166 3，選 B 3 圓 22 4 6 0x y x y 的圓心坐標(biāo)是 （ A） (2， 3) （ B） ( 2， 3) （ C） ( 2， 3) （ D） (2， 3) 答案： D 解析： 圓 方程化為 22( 2 ) ( 3 ) 1 3xy ，圓心 (2， 3)，選 D 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 4 函數(shù) 1( ) 12 xy 的圖象 關(guān) 于直線 y=x 對稱的 圖象 像大致是 答案： A 解析： 1( ) 12 xy 圖象過點(diǎn) (0,2) ，且單調(diào)遞減，故它 關(guān)于直線 y=x 對稱的 圖象過點(diǎn) (2,0)且單調(diào)遞減，選 A 5“ x 3” 是 “ x2 9” 的 （ A） 充分而不必要的條件 （ B） 必要而不充分的條件 （ C） 充要條件 （ D） 既不充分也不必要的條件 答案： A 解析： 若 x 3，則 x 2 9，反之，若 x 2 9，則 3x ，選 A 61l，2l，3l是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 （ A）12ll，23ll 13/ll（ B）12ll，23/ll 13ll（ C）2 3 3/ /l l l 1l，2l，3l共面 （ D）1l，2l，3l共點(diǎn) 1l，2l，3l共面 答案： B 解析： 由12ll，23/ll，根據(jù)異面直線所成角知1l與3l所成角為 90，選 B 7 如圖，正六邊形 ABCDEF 中， B A C D E Fuuur uuur uuur （ A） 0 （ B） BEuur （ C） ADuur （ D） CFuur 答案： D 解析： B A C D E F C D D E E F C F u uur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur，選 D 8 在 ABC 中 ， 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nA B C B C ， 則 A 的取值范圍是 （ A） (0, 6（ B） , )6（ C） (0, 3（ D） , )3答案： C 解析： 由 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nA B C B C 得 2 2 2a b c b c ，即 2 2 2 122b c abc， 1cos2A， 0 A ，故 03A ，選 C 9 數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 a1=1， an+1 =3Sn（ n 1）， 則 a6= （ A） 3 44 （ B） 3 44+1 （ C） 44 （ D） 44+1 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 答案： A 解析： 由 an+1 =3Sn，得 an =3Sn 1（ n 2），相減得 an+1 an =3(Sn Sn 1)= 3an，則 an+1=4an（ n 2）， a1=1， a2=3，則 a6= a2 44=344，選 A 10 某運(yùn)輸公司有 12 名駕駛員和 19 名工人，有 8 輛載重量為 10 噸的甲型卡車和 7 輛載重量為 6 噸的乙型卡車 某天需運(yùn)往 A 地至 少 72 噸的貨 物，派用的每輛車 需 滿載且只運(yùn)送一次 派 用的每 輛 甲型卡車 需 配 2 名工人，運(yùn)送一次可得利潤 450 元；派用的每輛乙型卡車 需 配 1 名工人，運(yùn)送一次可得利潤 350 元 ， 該公司合理計(jì)劃 當(dāng)天 派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤 為 （ A） 4650 元 （ B） 4700 元 （ C） 4900 元 （ D） 5000 元 答案： C 解析： 設(shè) 派用甲型卡車 x（ 輛）， 乙型卡車 y（ 輛），獲得的利潤為 u（ 元 ）， 4 5 0 3 5 0u x y，由題意， x 、 y 滿 足 關(guān) 系 式1 2 ,2 1 9 ,1 0 6 7 2 ,0 8,0 7 ,xyxyxyxy 作 出 相 應(yīng) 的 平 面 區(qū) 域 ，4 5 0 3 5 0 5 0 ( 9 7 )u x y x y 在由 12,2 19xyxy確定的交點(diǎn) (7,5) 處取得最大值 4900 元 ，選 C 11 在拋物線 2 5 ( 0 )y x a x a 上取橫坐標(biāo)為1 4x ，2 2x 的兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓 225 5 36xy相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ A） ( 2, 9) （ B） (0, 5) （ C） (2, 9) （ D） (1, 6) 答案： A 解析： 令 拋物線 上橫坐標(biāo)為1 4x 、2 2x 的點(diǎn)為 ( 4,11 4 )Aa、 (2,2 1)Ba ，則2ABka ，由 22y x a a ，故切點(diǎn)為 ( 1, 4 )a ，切線方程為 ( 2 ) 6 0a x y ，該直線又和圓相切，則2665( 2 ) 1d a，解得 4a 或 0a （舍去），則拋物線為224 5 ( 2 ) 9y x x x ，定點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 2, ) ，選 A 12 在集合 1,2,3,4,5 中任取一個偶數(shù) a 和一個奇數(shù) b 構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 ( , )ab ，從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形 ， 記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為 n，其中面積 等于 2 的平行四邊形的個數(shù)為 m，則 mn（ A） 215（ B） 15（ C） 415（ D） 13答案： B 解析： 以原點(diǎn)為 起點(diǎn)的向量 ( , )ab 有 (2,1) 、 (2,3) 、 (2,5) 、 (4,1) 、(4,3) 、 (4,5) 共 6 個，可作平行四邊形的個數(shù) 26 15nC個，結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算，其中由 (2,1) (4,1) 、 (2,1) (4,3) 、 (2,3) (4,5) 確定的平行四邊形面積為 2，共有 3 個，則 3115 5mn ，選 B 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 第二部分（非選擇 題 共 90 分） 注意事項(xiàng)： 1必須使用 0.5 毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用 0.5 毫米黑色墨跡簽字筆描清楚，答在試題卷上無效 2本部分共 10 小題，共 90 分 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 4分，共 16分 . 13 9( 1)x 的展開式中 3x 的系數(shù)是 _ （用數(shù)字作答） 答案： 84 解析： 9( 1)x 的展開式中 3x 的系數(shù) 是 639984CC 14 雙曲線 22164 36xy上一點(diǎn) P 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 4，那么 P 到左準(zhǔn)線的距離是 _ 答案： 16 答案： 16 解析： 離心率 54e，設(shè) P 到右 準(zhǔn)線 的距離是 d， 則 454d，則 165d，則P 到左準(zhǔn)線的距離 等于 2 6 4 1 6 161 0 5 15 如圖，半徑為 4 的球 O 中有一內(nèi)接圓柱 當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大 時 ， 球 的表面積與 該 圓柱的側(cè)面積之差是 _ 答案： 32 解析 ： 如圖， 設(shè)球一條半 徑與圓柱 相應(yīng)的母線 夾角 為 ，圓柱 側(cè)面 積2 4 s i n 2 4 c o sS 32 sin2，當(dāng)4時， S 取最大值 32 ，此時 球 的表面積與該 圓柱的側(cè)面積之差 為 32 16 函數(shù) ()fx 的定義域?yàn)?A，若12,x x A且12( ) ( )f x f x時總有12xx，則稱 ()fx 為單函數(shù) 例如，函數(shù) ()fx =2x+1(xR )是單函數(shù) 下列命題： 函數(shù) 2()f x x （ x R）是單函數(shù)； 指數(shù)函 數(shù) ( ) 2xfx （ x R）是單函數(shù)； 若 ()fx 為單函數(shù)，12,x x A且12xx，則12( ) ( )f x f x； 在定義域上 具有單調(diào)性 的函數(shù) 一定是單函數(shù) 其中的真命題是 _ （寫出所有真命題的編號） 答案： 解析： 對于 ，若12( ) ( )f x f x，則12xx，不滿足； 是單函數(shù)；命題實(shí)際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；根據(jù)定義，命題 滿足條件 三 、 解答 題：本大題共 6小題，共 74 分 ，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17 （ 本小題共 l2 分 ） 本著健康 、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多 某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租 車 不超過兩小時免費(fèi) ， 超過兩小時的 部分每小時 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 2 元 (不足 1小時的部分按 1 小時計(jì)算 ) 有 甲、乙 人 互相 獨(dú)立來該租車點(diǎn) 租車 騎游 （ 各租一車一次 ） 設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為 14、 12；兩小時以上且不超過三小時還2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 車的概率分別為 12、 14；兩人租車時間都不會超過四小時 （ ） 分別 求出甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率 ； （ ） 求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于 6 元的概率 本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等概念及相關(guān)概率計(jì)算，考查運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的能力 解：（ ） 分別記 甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車 為事件 A、 B，則 1 1 1( ) 1 4 2 4PA ， 1 1 1( ) 1 2 4 4PA 答： 甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率 分別為 14、 14 （ ） 記 甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于 6 元 為事件 C，則 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 4 2 2 2 4 4 2 4 4 4PC 答： 甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和小于 6 元的概率 為 3418 （ 本小題共 l2 分 ） 已知函數(shù) 73( ) s i n ( ) c o s ( )44f x x x ， x R （）求 ()fx 的最小正周期和最小值； （）已知 4cos( )5， 4co s( )5 ， 02 求證： 2 ( ) 2 0f 本小題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力，函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 （） 解析： 7 7 3 3( ) s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i n4 4 4 4f x x x x x 2 s i n 2 c o sxx 2 sin( )4x ， ()fx 的最小正周期 2T ， 最小值min( ) 2fx （）證明：由已知得 4c o s c o s s i n s i n5 ， 4c o s c o s s i n s i n5 兩式相加得 2 cos co s 0 ， 02 ， cos 0 ，則2 22 ( ) 2 4 s i n 2 04f 19 （ 本小題共 l2 分 ） 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC=90， AB=AC=AA1=1，延長 A1C1至點(diǎn) P，使 C1P A1C1，連接 AP 交棱 CC1于 D （ ）求證： PB1 平面 BDA1； （ ）求二面角 A A1D B 的平面角的余弦值； 本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基 本知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決問題的能力 解法一： （ ） 連結(jié) AB1與 BA1 交于點(diǎn) O，連結(jié) OD， C1D 平面 AA1， A1C1 AP， AD=PD，又 AO=B1O， OD PB1，又 OD面 BDA1， PB1面 BDA1， PB1 平面 BDA1 （ ） 過 A 作 AE DA1 于點(diǎn) E，連結(jié) BE BA CA， BA AA1，2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 且 AA1 AC=A， BA 平 面 AA1C1C由三垂線定理可知 BE DA1 BEA 為 二面角 A A1D B 的平面角 在 Rt A1C1D 中，221 15( ) 1AD ， 又11 1 5112 2 2A A DS A E ， 255AE 在 Rt BAE 中， 222 5 3 5( ) 155BE ， 2c o s3AHA H B BH 故 二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 為 23 解法二： 如圖，以 A1為原點(diǎn)， A1B1， A1C1， A1A 所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 A1 B1C1A，則1(0,0,0)A，1(1,0,0)B，1(0,1,0)C， (1,0,1)B ， (0,2,0)P （ ） 在 PAA1 中有1112C D AA，即 1(0,1, )2D 1 (1, 0,1)ABuuur，1 (0,1, )A D xuuuur，1 ( 1, 2, 0)BPuuur 設(shè)平面 BA1D 的一個法向量為1 ( , , )abcn， 則 11110,1 0.2A B a cA D b c uuuruuuurnn令 1c ，則1 1(1, , 1)2n 11 11 ( 1 ) 2 ( 1 ) 0 02BP u u urn ， PB1 平面 BA1D， （）由（ ） 知，平面 BA1D 的一個法向量1 1(1, , 1)2n 又2 (1,0,0)n為平面 AA1D 的一個法向量12121212c o s ,3| | | | 312 nnnnnn 故 二面角 A A1D B 的平面角的余弦值 為 23 20（本小題共 12 分） 已知 na是以 a 為首項(xiàng)， q 為公比的等比數(shù)列，nS為它的前 n 項(xiàng)和 （ ）當(dāng)1S、3S、4S成等差數(shù)列時，求 q 的值； （ ）當(dāng)mS、nS、lS成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù) k，mka、nka、lka也成等差數(shù)列 本小題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識以及基本運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力 解： （ ） 由已知， 1nna aq ，因此1Sa， 23 (1 )S a q q ， 234 (1 )S a q q q 當(dāng)1S、3S、4S成等差數(shù)列時，1 4 32S S S，可得 32aq aq aq 化簡得 2 10qq 解得 152q （ ） 若 1q ，則 na的每項(xiàng)naa，此時mka、nka、lka顯然 成等差數(shù)列 若 1q ，由mS、nS、lS成 等 差 數(shù) 列 可得 2m l nS S S，即2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )1 1 1m l na q a q a qq q q 整理得 2m l nq q q 因此， 11( ) 2 2k m l n km k l k n ka a a q q q a q a 所以，mka、nka、lka也成等差數(shù)列 21（本小題共 l2 分） 過點(diǎn) C(0， 1)的橢圓 22 1 ( 0 )xy abab 的離心率為 32，橢圓與 x 軸交于兩點(diǎn) ( ,0)Aa 、( ,0)Aa ，過點(diǎn) C 的直線 l 與橢圓交于另一點(diǎn) D，并與 x 軸交于點(diǎn) P， 直線 AC 與直線 BD 交于點(diǎn) Q （ I）當(dāng)直線 l 過橢圓右焦點(diǎn)時，求線段 CD 的長； （ ）當(dāng)點(diǎn) P 異于點(diǎn) B 時，求證： OP OQuuur uuur 為定值 本小題主要考查直線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本性質(zhì)等基本知識，考查平面解析幾何的思想方法及推理運(yùn)算能力 解： （ ） 由已知得 31,2cb a，解得 2a ，所以橢圓方程為 22 14x y 橢圓的右焦點(diǎn)為 ( 3,0) ，此時直線 l 的方程為 3 13yx ，代入橢圓方程得 27 8 3 0xx，解得12830, 7xx，代入直線 l 的方程得 1211, 7yy ，所以8 3 1( , )77D ， 故 228 3 1 1 6| | ( 0 ) ( 1 )7 7 7CD （ ） 當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時與題意不符 設(shè)直線 l 的方程為 11 ( 0 )2y k x k k 且代入橢圓方程得 22( 4 1 ) 8 0k x k x 解得12 280, 41kxx k ，代入直線 l 的方程得 212 2141, 41kyy k ， 所以 D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 2228 1 4( , )4 1 4 1kkkk 又直線 AC的方程為 12x y，又直線 BD的方程為 12 ( 2 )24kyxk， 聯(lián)立得 4,2 1.xkyk因此 ( 4 , 2 1)Q k k，又 1( ,0)Pk 所以 1( , 0 ) ( 4 , 2 1 ) 4O P O Q k kk uuur uuur 故 OP OQuuur uuur 為定值 22（本小題共 l4 分） 已知 函數(shù) 21()32f x x， ()h x x （ ）設(shè)函數(shù) F(x) 18f(x) x2h(x)2，求 F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； （ ）設(shè) aR ，解關(guān)于 x 的方程 33l g ( 1 ) 2 l g ( ) 2 l g ( 4 )24f x h a x h x ； （ ）設(shè) *nN ，證明： 1( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 6f n h n h h h n L 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的能力 解： （ ） 2 2 3( ) 1 8 ( ) ( ) 1 2 9 ( 0 )F x f x x h x x x x ， 2( ) 3 1 2F x x 令 ( ) 0Fx，得 2x （ 2x 舍去） 當(dāng) (0,2)x 時 ( ) 0Fx ；當(dāng) (2, )x 時， ( ) 0Fx ， 故當(dāng) 0,2)x 時， ()Fx為增函數(shù)；當(dāng) 2, )x 時， ()Fx為減函數(shù) 2x 為 ()Fx的極大值點(diǎn)，且 ( 2 ) 8 2 4 9 2 5F （ ） 方法一： 原方程可化為4 2 233l o g ( 1 ) l o g ( ) l o g ( 4 )24f x h a x h x ， 即為4 2 2 2l o g ( 1 ) l o g l o g 4 l o g 4axx a x x x ，且 ,1 4,xax 當(dāng) 14a時， 1 xa ，則 14axx x，即 2 6 4 0x x a ， 3 6 4 ( 4 ) 2 0 4 0aa ，此時 6 2 0 4 352 axa ， 1 xa ， 此時方程僅有一解 35xa 當(dāng) 4a 時， 14x ，由 14axx x，得 2 6 4 0x x a ，3 6 4 ( 4 ) 2 0 4aa ， 若 45a ，則 0 ，方程有兩解 35xa ； 若 5a 時，則 0 ，方程有一解 3x ； 若 1a 或 5a ，原方程無解 方法二： 原方程可化為4 2 2l o g ( 1 ) l o g ( 4 ) l o g ( )x h x h a x ， 即2 2 21 l o g ( 1 ) l o g 4 l o g2 x x a x ，1 0 ,4 0 ,0,( 1 ) ( 4 ) .xxaxx x a x 214,( 3 ) 5 .xxaax 當(dāng) 14a時，原方程有一解 35xa ； 當(dāng) 45a 時，原方程有二解 35xa ； 當(dāng) 5a 時，原方程有一解 3x ； 當(dāng) 1a 或 5a 時，原方程無解 （ ） 由已知得 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 1 2h h h n n LL， 1 4 3 1()() 6 6 6nf n h n n 設(shè)數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為nS，且 1()()6nS f n h n（ *nN ） 從而有111aS，當(dāng) 2 100k 時，1 4 3 4 1 166k k k kka S S k k 又 1 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1 6ka k k k k k 221 ( 4 3 ) ( 4 1 ) ( 1 )6 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1k k k kk k k k 11 06 ( 4 3 ) ( 4 1 ) 1k k k k 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 即 對 任 意 2k 時 ， 有kak， 又 因 為1 11a ， 所 以12 12na a a n LL 則 (1 ) ( 2 ) ( )nS h h h n L，故原不等式成 立 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 絕密啟用前 2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 (四川卷 ) 數(shù) 學(xué) (理工 類 ) 解析版 本試卷分第 一部分 (選擇題 )和第 二部分 (非選擇題 )。第 一部分 1 至 2 頁，第二部分 3 至 4 頁，共 4 頁考生作答時，須將答案答在答題卡上及試題卷，草稿紙上答題無效，滿分 150 分 ， 考試時間 120 分鐘。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 . 參考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球的表面積公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24sR 如果事件 A、 B 相互獨(dú)立，那么 其中 R 表示球的半徑 P(AB)=P(A)P(B) 球的體積公式 如果事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 p，那么 243vR在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率 其中 R 表示球的半徑 n ( ) (1 ) ( 0 , 1 , 2 , . . . )k k n knP k C p p k n 第一部分（選擇題 共 60分） 注意事項(xiàng)： 1.選擇題必須使用 2B 鉛筆將答案標(biāo)號 填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上。 2.本部分共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1、 有一個容量為 66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下： 11.5， 15.5) 2 15.5,19.5) 4 19.5， 23 5) 9 23.5,27.5) 18 27.5， 31.5) 1l 31.5， 35.5) 12 35.5 39.5) 7 39.5,43.5) 3 根據(jù)樣本的頻率分 布估計(jì) ， 數(shù)據(jù)落在 31.5， 43.5)的概率約是 (A)16(B)13(C)12（ D） 23答案： B 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 解析：從 31.5 到 43.5 共有 22，所以 22 166 3P 。 2、 復(fù)數(shù) 1ii= (A) 2i （ B） 12i（ C） 0 （ D） 2i 答案： A 解析： 1 2i i i ii 3、1l，2l，3l是空間 三條不同的直線， 則下列命題正確的是 (A)12ll，23ll 13ll P（ B）12ll，23llP 13ll(C)2 3 3l l lPP 1l，2l，3l共面 （ D）1l，2l，3l共點(diǎn) 1l，2l，3l共面 答案： B 解析： A 答案還有異面或者相交， C、 D 不一定 4、 如圖，正六邊形 ABCDEF 中， B A C D E Fuuur uuur uuur = (A)0 (B)BEuur (C)ADuur (D)CFuur 答案 D 解析： B A C D E F B A A F E F B F E F C E E F C F u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur 5、 5函數(shù)， ()fx在點(diǎn)0xx處有定義是 ()fx在點(diǎn)0xx處連續(xù)的 (A)充分而不必要的條件 (B)必要而不充分的條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要的條件 答案： B 解析：連續(xù)必定有定義，有定義不一定連續(xù)。 6.在 ABC中 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i nB C B C .則 A的取值范圍是 (A)(0，6 (B) 6， ) (c)(0，3 (D) 3， ) 答案： C 解析：由題意正弦定理2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 2 2 22 2 2 2 2 2 11 c o s 023b c aa b c b c b c a b c A Abc 7 已 知 ()fx是 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) 0x 時， 1( ) ( ) 12 xfx， 則 ()fx的反 函數(shù)的圖像大致是 答案： A 解析：由反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)的值域?yàn)榉春瘮?shù)的定義域，原函數(shù)的定義域?yàn)榉春瘮?shù)的值域。 當(dāng) 10 , 0 ( ) 1 , 1 22 xxy ，故選 A 8.數(shù)列 na的首項(xiàng)為 3 ， nb為等差數(shù)列且1 ( * )n n nb a a n N .若則3 2b ，10 12b ，則8a（ A） 0 （ B） 3 （ C） 8 （ D） 11 B 解 析 ： 由 已 知 知12 8 , 2 8 ,n n nb n a a n 由 疊 加 法2 1 3 2 8 7 8 1( ) ( ) ( ) 6 4 2 0 2 4 6 0 3a a a a a a a a L9.某運(yùn)輸公司有 12 名駕駛員和 19 名工人，有 8 輛載重量為 10 噸的甲型卡車和 7 輛載重量為 6 噸的乙型卡車 .某天需運(yùn)往 A 地至少 72 噸的貨物，派用的每輛車虛滿載且只運(yùn)送一次 .拍用的每噸甲型卡車虛配 2 名工人，運(yùn)送一次可得利潤 450 元；派用的每輛乙型卡車虛配 1名工人，運(yùn)送一次可得利潤 350 元 .該公司合理計(jì)劃黨團(tuán)派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤 （ A） 4650 元 （ B） 4700 元 （ C） 4900 元 （ D） 5000 元 答案： C 解析：由題意設(shè)派甲，乙 ,xy輛，則利潤 4 5 0 3 5 0z x y，得約束條件0807121 0 6 7 22 1 9xyxyxyxy 畫2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 出可行域在 122 19xyxy的點(diǎn) 75xy代入目標(biāo)函數(shù) 4900z 10.在拋物線 2 5 ( 0 )y x a x a 上取橫坐標(biāo)為1 4x ，2 2x 的兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓 225 5 3 6xy相切，則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （ A） ( 2, 9) （ B） (0, 5) （ C） (2, 9) （ D） (1, 6) 答案： A 解析：由已知的割線的坐標(biāo) ( 4 , 1 1 4 ) , ( 2 , 2 1 ) , 2a a K a ,設(shè)直線方程為 ( 2 )y a x b ，則 22365 1 ( 2 )ba 又2 5 6 4 ( 2 , 9 )( 2 )y x a x bay a x b 11. 已知定義在 0, 上的函數(shù) ()fx 滿足 ( ) 3 ( 2 )f x f x，當(dāng) 0,2x 時，2( ) 2f x x x .設(shè) ()fx在 2 2, 2nn 上的最大值為 ( *)na n N ，且 na 的前 n 項(xiàng)和為nS，則 limnn S （ A） 3 （ B） 52（ C） 2 （ D） 32 答案： D解 析 ： 由 題 意 1( 2 ) ( )3f x f x, 在 2 2, 2 nn 上，2111 ( )1 1 1 331 , ( ) 1 , 2 , ( ) , 3 , ( ) ( ) ( ) l i m13 3 3 213nnn n nn f x n f x n f x a S S L12.在集合 1, 2,3, 4,5 中任取一個偶數(shù) a 和一個奇數(shù) b 構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量 ( , )ab .從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形 .記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為 n ，其中面積 不超過 4 的平行四邊形的個數(shù)為 m ，則 mn（ A） 415（ B） 13（ C） 25（ D） 23 答案： D 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 基本事件： 26( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 4 , 1 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 3 ) , 3 5 1 5nC 由其中面積 為 1 的平行四邊形的個數(shù) ( 2 , 3 ) ( 4 , 5 ) ; ( 2 , 1 ) ( 4 , 3 ) ; ( 2 , 1 ) ( 4 , 1 )其中面積 為 2 的平行四邊形的個數(shù)為( 2 , 3 ) ( 2 , 5 ) ; ( 2 , 1 ) ( 2 , 3 )其中面積 為 3 的平行四邊形的個數(shù) ( 2 , 3 ) ( 4 , 3 ) ; ( 2 , 1 ) ( 4 , 5 )其中面積 為4 的平行四邊形的個數(shù) ( 2 , 1 ) ( 2 , 5 ) ; ( 4 , 1 ) ( 4 , 3 ) ; ( 4 , 3 ) ( 4 , 5 )其中面積 為 5 的平行四邊形的個數(shù)( 2 , 3 ) , ( 4 , 1 ) ; ( 2 , 5 ) ( 4 , 5 )； 其中面積 為 7 的平行四邊形的個數(shù) (2,5), (4,3) 其中面積 為 8 的平行四邊形的個數(shù) (4,1)(4,5) 其中面積 為 9 的平行四邊形的個數(shù) (2,5),(4,1) 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分 . 13.計(jì)算 121( l g l g 2 5 ) 1 0 0 =4 . 答案： 20 解析： 121 1 1( l g l g 2 5 ) 1 0 0 l g 2 04 1 0 0 1 0 14.雙曲線 22xy = 1 P 46 4 3 6 上 一 點(diǎn) 到 雙 曲 線 右 焦 點(diǎn) 的 距 離 是 ， 那 么 點(diǎn)P 到左準(zhǔn)線的距離是 . 答案： 565解析： 8 , 6 , 1 0a b c ，點(diǎn) P 顯然在雙曲線右支上，點(diǎn) P 到左焦點(diǎn)的距離為 14，所以1 4 5 5 645c dda 15.如圖，半徑為 R 的球 O 中有一內(nèi)接圓柱 .當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大是，求的表面積與改圓柱的側(cè)面積之差是 . 答案： 22 R 解析： 2 2 2 2 2m a x2 4 ( )S r R r r R r S 側(cè) 側(cè)時，22 2 222Rr R r r r R ，則 2 2 24 2 2R R R 16.函數(shù) fx（ ） 的定義域?yàn)?A，若1 2 1 2x x A f x = f x， 且 （ ） （ ）時總有 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 12x = x f x， 則 稱 （ ）為單函數(shù) .例如，函數(shù) fx（ ） =2x+1（ xR ）是單函數(shù) .下列命題： 函數(shù) fx（ ） = 2x （ x R）是單函數(shù)； 若 fx（ ） 為單函數(shù)，1 2 1 2 1 2x x A x x f x f x ， 且 ， 則 （ ） （ ） ； 若 f： A B 為單函數(shù)，則對于任意 b B，它至多有一個原象； 函數(shù) f（ x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則 f（ x）一定是單函數(shù) . 其中的真命題是 .（寫出所有真命題的編號） 答案： 解析 ：錯，12xxQ，正確。 三、解答題 17、 已知函數(shù) 73( ) s i n ( ) c o s ( ) ,44f x x x x R (1)求 ()fx的最小正周期和最小值； （ 2）已知 44c o s ( ) , c o s ( ) , ( 0 )5 5 2a ，求證： 2 ( ) 2 0f 解析：7 7 3 3( ) s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i n4 4 4 42 s i n 2 c o s2 s i n ( )4f x x x x xxxx m a x2 , ( ) 2T f x （ 2）4c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ( 1 )54c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ( 2 )5c o s c o s 00 c o s 022 KKLLQ2( ) 2 ( ( ) ) 2 0ff 18、 本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點(diǎn)的 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時免費(fèi)，超過兩小時的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 2元（不足 1小時的部分按 1小時計(jì)算）。有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游。各租一車一次。2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為 11,42；兩小時 以上 且不超過三小時還車的概率分別為 11,24；兩人租車時間都不會超過四小時。 （） 求出甲、乙 所付租車費(fèi)用相同 的概率； （）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和 為隨機(jī)變量 ，求 的分布列與數(shù)學(xué)期望 E ； 解析： （ 1）所付費(fèi)用相同即為 0,2,4 元。設(shè)付 0 元為1 1 1 14 2 8P ，付 2 元為2 1 1 12 4 8P ，付4 元為3 1 1 14 4 1 6P 則所付費(fèi)用相同的概率為1 2 3 516P P P P (2)設(shè)甲，乙兩個所付的費(fèi)用之和為 ， 可為 0,2,4,6,8 1( 0 )81 1 1 1 5( 2 )4 4 2 2 1 61 1 1 1 1 1 5( 4 )4 4 2 4 2 4 1 61 1 1 1 3( 6 )4 4 2 4 1 61 1 1( 8 )4 4 1 6PPPPP 分布列 0 2 4 6 8 P 18 516 516 316 116 5 5 9 1 78 4 8 2 2E 19 (本小題共 l2分 ) 如圖，在直三棱柱 AB-A1B1C1中 BAC=90 ， AB=AC=AA1 =1 D是棱 CC1上的一 P是 AD 的延長 線與 A1C1的延長線的交點(diǎn)，且 PB1 平面 BDA (I)求證： CD=C1D： (II)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值； () 求點(diǎn) C到平面 B1DP的距離 2011 年高考數(shù)學(xué)試卷解析版 -四川卷文理兩份 解析： （ 1）連接1BA交1BA于 O ,1 /BPQ 1面 B