世界數(shù)學十大未解難題.doc

世界數(shù)學十大未解難題（其中“一至七”為七大“千僖難題”；附錄“希爾伯特23個問題里尚未解決的問題”）一：P（多項式算法）問題對NP（非多項式算法）問題在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內(nèi)部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文考克（StephenCook）于1971年陳述的。二： 霍奇(Hodge)猜想二十世紀的數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬?，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數(shù)學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。三： 龐加萊(Poincare)猜想如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗。四： 黎曼(Riemann)假設有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù)；它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學家黎曼(18261866)觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明。五： 楊米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口量子物理的定律是以經(jīng)典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學之間的令人注目的關系。基于楊米爾斯方程的預言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學家所確認、并且在他們的對于 “夸克”的不可見性的解釋中應用的“質(zhì)量缺口”假設，從來沒有得到一個數(shù)學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數(shù)學上兩方面引進根本上的新觀念。六： 納維葉斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機的飛行。數(shù)學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對數(shù)學理論作出實質(zhì)性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉斯托克斯方程中的奧秘。七： 貝赫(Birch)和斯維訥通戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想數(shù)學家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對這一方程給出完全的解答，但是對于更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數(shù)解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數(shù)z(s)在點s=1附近的性態(tài)。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個這樣的點。八：幾何尺規(guī)作圖問題這里所說的“幾何尺規(guī)作圖問題”是指作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺。“幾何尺規(guī)作圖問題”包括以下四個問題 1.化圓為方求作一正方形使其面積等於一已知圓； 2.三等分任意角； 3.倍立方求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。 4.做正十七邊形。以上四個問題一直困擾數(shù)學家二千多年都不得其解，而實際上這前三大問題都已證明不可能用直尺圓規(guī)經(jīng)有限步驟可解決的。第四個問題是高斯用代數(shù)的方法解決的，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因為負責刻碑的雕刻家認為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。九：哥德巴赫猜想公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數(shù)學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個=9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質(zhì)數(shù)之和。從此，這道著名的數(shù)學難題引起了世界上成千上萬數(shù)學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。【哥德巴赫猜想最新最好的成果是中國數(shù)學家陳景潤的陳氏定理，通俗地講：哥德巴赫猜想如果簡稱“1+1”，如今解決的是“1+2”。但是這樣說使得許多大眾容易產(chǎn)生誤會。】十：四色猜想1852年，畢業(yè)于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?1872年，英國當時最著名的數(shù)學家凱利正式向倫敦數(shù)學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學界關注的問題。世界上許多一流的數(shù)學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。 1976年，美國數(shù)學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計算機證明，轟動了世界。希爾伯特23問題里尚未解決的問題：1、問題1連續(xù)統(tǒng)假設。全體正整數(shù)（被稱為可數(shù)集）的基數(shù) 和實數(shù)集合（被稱為連續(xù)統(tǒng)）的基數(shù)c之間沒有其它基數(shù)。背景：1938年奧地利數(shù)學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統(tǒng)，即策莫羅-佛朗克爾公理系統(tǒng)里，不可證偽。1963年美國數(shù)學家柯恩證明在該公理系統(tǒng)，不能證明此假設是對的。所以，至今未有人知道，此假設到底是對還是錯。2、問題2 算術公理相容性。背景：哥德爾證明了算術系統(tǒng)的不完備，使希爾伯特的用元數(shù)學證明算術公理系統(tǒng)的無矛盾性的想法破滅。3、 問題7 某些數(shù)的無理性和超越性。背景此題為希爾伯特第7問題中的一個特例。已經(jīng)證明了e的超越性，卻至今未有人證明e+的超越性。4、 問題 8 素數(shù)問題。證明：(s)=1+(1/2)s+(1/3)s+(1/4)s+(1/5)s + (s屬于復數(shù)域)所定義的函數(shù)(s)的零點，除負整實數(shù)外，全都具有實部1/2。背景：此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。美國數(shù)學家用計算機算了(s)函數(shù)前300萬個零點確實符合猜想。希爾伯特認為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數(shù)可以分解為兩素數(shù)之和）和孿生素數(shù)猜想（存在無窮多相差為2的素數(shù)）。引申的問題是：素數(shù)的表達公式？素數(shù)的本質(zhì)是什么？5、 問題 11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型。背景：德國和法國數(shù)學家在60年代曾取得重大進展。6、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理在任意代數(shù)有理域上的推廣。背景：此問題只有些零散的結果，離徹底解決還十分遙遠。7、 問題13 僅用二元函數(shù)解一般7次代數(shù)方程的不可能性。背景：1957蘇聯(lián)數(shù)學家解決了連續(xù)函數(shù)情形。如要求是解析函數(shù)則此問題尚未完全解決。8、 問題15 舒伯特計數(shù)演算的嚴格基礎。背景： 代數(shù)簌交點的個數(shù)問題。和代數(shù)幾何學有關。9、 問題 16 代數(shù)曲線和曲面的拓撲。要求代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。和微分方程的極限環(huán)的最多個數(shù)和相對位置。10、 問題 18 用全等多面體來構造空間。無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現(xiàn)在