世界數(shù)學(xué)十大未解難題.doc

世界數(shù)學(xué)十大未解難題（其中“一至七”為七大“千僖難題”；附錄“希爾伯特23個(gè)問題里尚未解決的問題”）一：P（多項(xiàng)式算法）問題對(duì)NP（非多項(xiàng)式算法）問題在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來驗(yàn)證，還是沒有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問題之一。它是斯蒂文考克（StephenCook）于1971年陳述的。二： 霍奇(Hodge)猜想二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。三： 龐加萊(Poincare)猜想如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問題。這個(gè)問題立即變得無比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。四： 黎曼(Riemann)假設(shè)有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學(xué)家黎曼(18261866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來光明。五： 楊米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?；跅蠲谞査狗匠痰念A(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于 “夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來沒有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿意的證實(shí)。在這一問題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。六： 納維葉斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解納維葉斯托克斯方程的解，來對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開隱藏在納維葉斯托克斯方程中的奧秘。七： 貝赫(Birch)和斯維訥通戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想數(shù)學(xué)家總是被諸如x2+y2=z2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。八：幾何尺規(guī)作圖問題這里所說的“幾何尺規(guī)作圖問題”是指作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里的直尺是指沒有刻度只能畫直線的尺?！皫缀纬咭?guī)作圖問題”包括以下四個(gè)問題 1.化圓為方求作一正方形使其面積等於一已知圓； 2.三等分任意角； 3.倍立方求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。 4.做正十七邊形。以上四個(gè)問題一直困擾數(shù)學(xué)家二千多年都不得其解，而實(shí)際上這前三大問題都已證明不可能用直尺圓規(guī)經(jīng)有限步驟可解決的。第四個(gè)問題是高斯用代數(shù)的方法解決的，他也視此為生平得意之作，還交待要把正十七邊形刻在他的墓碑上，但后來他的墓碑上并沒有刻上十七邊形，而是十七角星，因?yàn)樨?fù)責(zé)刻碑的雕刻家認(rèn)為，正十七邊形和圓太像了，大家一定分辨不出來。九：哥德巴赫猜想公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個(gè)=6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個(gè)=9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬數(shù)學(xué)家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”?！靖绲掳秃詹孪胱钚伦詈玫某晒侵袊鴶?shù)學(xué)家陳景潤的陳氏定理，通俗地講：哥德巴赫猜想如果簡稱“1+1”，如今解決的是“1+2”。但是這樣說使得許多大眾容易產(chǎn)生誤會(huì)?！渴核纳孪?852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色?！?1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。 1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計(jì)算機(jī)證明，轟動(dòng)了世界。希爾伯特23問題里尚未解決的問題：1、問題1連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。全體正整數(shù)（被稱為可數(shù)集）的基數(shù) 和實(shí)數(shù)集合（被稱為連續(xù)統(tǒng)）的基數(shù)c之間沒有其它基數(shù)。背景：1938年奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾證明此假設(shè)在集合論公理系統(tǒng)，即策莫羅-佛朗克爾公理系統(tǒng)里，不可證偽。1963年美國數(shù)學(xué)家柯恩證明在該公理系統(tǒng)，不能證明此假設(shè)是對(duì)的。所以，至今未有人知道，此假設(shè)到底是對(duì)還是錯(cuò)。2、問題2 算術(shù)公理相容性。背景：哥德爾證明了算術(shù)系統(tǒng)的不完備，使希爾伯特的用元數(shù)學(xué)證明算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性的想法破滅。3、 問題7 某些數(shù)的無理性和超越性。背景此題為希爾伯特第7問題中的一個(gè)特例。已經(jīng)證明了e的超越性，卻至今未有人證明e+的超越性。4、 問題 8 素?cái)?shù)問題。證明：(s)=1+(1/2)s+(1/3)s+(1/4)s+(1/5)s + (s屬于復(fù)數(shù)域)所定義的函數(shù)(s)的零點(diǎn)，除負(fù)整實(shí)數(shù)外，全都具有實(shí)部1/2。背景：此即黎曼猜想。也就是希爾伯特第8問題。美國數(shù)學(xué)家用計(jì)算機(jī)算了(s)函數(shù)前300萬個(gè)零點(diǎn)確實(shí)符合猜想。希爾伯特認(rèn)為黎曼猜想的解決能夠使我們嚴(yán)格地去解決歌德巴赫猜想（任一偶數(shù)可以分解為兩素?cái)?shù)之和）和孿生素?cái)?shù)猜想（存在無窮多相差為2的素?cái)?shù)）。引申的問題是：素?cái)?shù)的表達(dá)公式？素?cái)?shù)的本質(zhì)是什么？5、 問題 11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型。背景：德國和法國數(shù)學(xué)家在60年代曾取得重大進(jìn)展。6、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理在任意代數(shù)有理域上的推廣。背景：此問題只有些零散的結(jié)果，離徹底解決還十分遙遠(yuǎn)。7、 問題13 僅用二元函數(shù)解一般7次代數(shù)方程的不可能性。背景：1957蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家解決了連續(xù)函數(shù)情形。如要求是解析函數(shù)則此問題尚未完全解決。8、 問題15 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ)。背景： 代數(shù)簌交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。和代數(shù)幾何學(xué)有關(guān)。9、 問題 16 代數(shù)曲線和曲面的拓?fù)?。要求代?shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。和微分方程的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)和相對(duì)位置。10、 問題 18 用全等多面體來構(gòu)造空間。無限個(gè)相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題，現(xiàn)在