概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四版-課后習(xí)題答案_盛驟__浙江大學(xué).pdf

完全版 概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題答案 第四版 盛驟 浙江大學(xué) 浙大第四版 高等教育出版社 第一章 概率論的基本概念 1 一 寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間 1 記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù) 充以百分制記分 一 1 n n nn o S 1001 n 表小班人數(shù) 3 生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到 10 件正品 記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù) 一 2 S 10 11 12 n 4 對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查 合格的蓋上 正品 不合格的蓋上 次品 如連續(xù)查出二個次品就停止檢查 或檢查 4 個產(chǎn)品就停止檢查 記錄檢查的結(jié)果 查出合格品記為 1 查出次品記為 0 連續(xù)出現(xiàn)兩個 0 就停止檢查 或查滿 4 次才停止檢查 一 3 S 00 100 0100 0101 1010 0110 1100 0111 1011 1101 1110 1111 2 二 設(shè) A B C 為三事件 用 A B C 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件 1 A 發(fā)生 B 與 C 不發(fā)生 表示為 CBA或 A AB AC 或 A B C 2 A B 都發(fā)生 而 C 不發(fā)生 表示為 CAB或 AB ABC 或 AB C 3 A B C 中至少有一個發(fā)生 表示為 A B C 4 A B C 都發(fā)生 表示為 ABC 5 A B C 都不發(fā)生 表示為 CBA或 S A B C 或CBA 6 A B C 中不多于一個發(fā)生 即 A B C 中至少有兩個同時不發(fā)生 相當(dāng)于CACBBA 中至少有一個發(fā)生 故 表示為 CACBBA 7 A B C 中不多于二個發(fā)生 相當(dāng)于 CBA 中至少有一個發(fā)生 故 表示為 ABCCBA或 8 A B C 中至少有二個發(fā)生 相當(dāng)于 AB BC AC 中至少有一個發(fā)生 故 表示為 AB BC AC 6 三 設(shè) A B 是兩事件且 P A 0 6 P B 0 7 問 1 在什么條件下 P AB 取到最 大值 最大值是多少 2 在什么條件下 P AB 取到最小值 最小值是多少 解 由 P A 0 6 P B 0 7 即知 AB 否則 AB 依互斥事件加法定理 P A B P A P B 0 6 0 7 1 3 1 與 P A B 1 矛盾 從而由加法定理得 P AB P A P B P A B 1 從 0 P AB P A 知 當(dāng) AB A 即 A B 時 P AB 取到最大值 最大值為 P AB P A 0 6 2 從 式知 當(dāng) A B S 時 P AB 取最小值 最小值為 P AB 0 6 0 7 1 0 3 7 四 設(shè) A B C 是三事件 且0 4 1 BCPABPCPBPAP 8 1 ACP 求 A B C 至少有一個發(fā)生的概率 解 P A B C 至少有一個發(fā)生 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 8 5 0 8 1 4 3 8 五 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有 55 個由二個不相同的字母新組成的單詞 若從 26 個英語字母中任取兩個字母予以排列 問能排成上述單詞的概率是多少 記 A 表 能排成上述單詞 從 26 個任選兩個來排列 排法有 2 26 A種 每種排法等可能 字典中的二個不同字母組成的單詞 55 個 130 1155 2 26 A AP 9 在電話號碼薄中任取一個電話號碼 求后面四個數(shù)全不相同的概率 設(shè)后面 4 個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自 0 1 2 9 記 A 表 后四個數(shù)全不同 后四個數(shù)的排法有 104種 每種排法等可能 后四個數(shù)全不同的排法有 4 10 A 504 0 10 4 4 10 A AP 10 六 在房間里有 10 人 分別佩代著從 1 號到 10 號的紀(jì)念章 任意選 3 人記錄 其紀(jì)念章的號碼 1 求最小的號碼為 5 的概率 記 三人紀(jì)念章的最小號碼為 5 為事件 A 10 人中任選 3 人為一組 選法有 3 10 種 且每種選法等可能 又事件 A 相當(dāng)于 有一人號碼為 5 其余 2 人號碼大于 5 這種組合的種數(shù)有 2 5 1 12 1 3 10 2 5 1 AP 2 求最大的號碼為 5 的概率 記 三人中最大的號碼為 5 為事件 B 同上 10 人中任選 3 人 選法有 3 10 種 且 每種選法等可能 又事件 B 相當(dāng)于 有一人號碼為 5 其余 2 人號碼小于 5 選法有 2 4 1 種 20 1 3 10 2 4 1 BP 11 七 某油漆公司發(fā)出 17 桶油漆 其中白漆 10 桶 黑漆 4 桶 紅漆 3 桶 在搬 運(yùn)中所標(biāo)箋脫落 交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼 問一個定貨 4 桶白漆 3 桶黑漆和 2 桶紅漆顧客 按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少 記所求事件為 A 在 17 桶中任取 9 桶的取法有 9 17 C種 且每種取法等可能 取得 4 白 3 黑 2 紅的取法有 2 3 3 4 4 10 CCC 故 2431 252 6 17 2 3 3 4 4 10 C CCC AP 12 八 在 1500 個產(chǎn)品中有 400 個次品 1100 個正品 任意取 200 個 1 求恰有 90 個次品的概率 記 恰有 90 個次品 為事件 A 在 1500 個產(chǎn)品中任取 200 個 取法有 200 1500 種 每種取法等可能 200 個產(chǎn)品恰有 90 個次品 取法有 110 1100 90 400 種 200 1500 110 1100 90 400 AP 2 至少有 2 個次品的概率 記 A 表 至少有 2 個次品 B0表 不含有次品 B1表 只含有一個次品 同上 200 個產(chǎn)品不含次品 取法 有 200 1100 種 200 個產(chǎn)品含一個次品 取法有 199 1100 1 400 種 10 BBA 且 B0 B1互不相容 200 1500 199 1100 1 400 200 1500 200 1100 1 1 1 10 BPBPAPAP 13 九 從5雙不同鞋子中任取4只 4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少 記 A 表 4 只全中至少有兩支配成一對 則A表 4 只人不配對 從 10 只中任取 4 只 取法有 4 10 種 每種取法等可能 要 4 只都不配對 可在 5 雙中任取 4 雙 再在 4 雙中的每一雙里任取一只 取法有 4 2 4 5 21 13 21 8 1 1 21 8 2 4 10 44 5 APAP C C AP 15 十一 將三個球隨機(jī)地放入 4 個杯子中去 問杯子中球的最大個數(shù)分別是 1 2 3 的概率各為多少 記 Ai表 杯中球的最大個數(shù)為 i 個 i 1 2 3 三只球放入四只杯中 放法有 43種 每種放法等可能 對 A1 必須三球放入三杯中 每杯只放一球 放法 4 3 2 種 選排列 好比 3 個球在 4 個位置做排列 16 6 4 234 3 1 AP 對 A2 必須三球放入兩杯 一杯裝一球 一杯裝兩球 放法有34 2 3 C種 從 3 個球中選 2 個球 選法有 2 3 C 再將此兩個球放入一個杯中 選法有 4 種 最后將剩余的 1 球放入其余的一個杯中 選法有 3 種 16 9 4 34 3 2 3 2 C AP 對 A3 必須三球都放入一杯中 放法有 4 種 只需從 4 個杯中選 1 個杯子 放入此 3 個球 選法有 4 種 16 1 4 4 3 3 AP 16 十二 50 個鉚釘隨機(jī)地取來用在 10 個部件 其中有三個鉚釘強(qiáng)度太弱 每個部 件用 3 只鉚釘 若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個部件上 則這個部件強(qiáng)度就太弱 問發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率是多少 記 A 表 10 個部件中有一個部件強(qiáng)度太弱 法一 用古典概率作 把隨機(jī)試驗 E 看作是用三個釘一組 三個釘一組去鉚完 10 個部件 在三個釘?shù)囊唤M 中不分先后次序 但 10 組釘鉚完 10 個部件要分先后次序 對 E 鉚法有 3 23 3 44 3 47 3 50 CCCC 種 每種裝法等可能 對 A 三個次釘必須鉚在一個部件上 這種鉚法有 3 23 3 44 3 47 3 3 CCCC 10 種 00051 0 1960 1 10 3 23 3 47 3 50 3 23 3 44 3 47 3 3 CCC CCCC AP 法二 用古典概率作 把試驗 E 看作是在 50 個釘中任選 30 個釘排成一列 順次釘下去 直到把部件鉚完 鉚釘要計先后次序 對 E 鉚法有 3 50 A種 每種鉚法等可能 對 A 三支次釘必須鉚在 1 2 3 位置上或 4 5 6 位置上 或 28 29 30 位置上 這種鉚法有 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 27 47 3 3 10AAAAAAAA 種 00051 0 1960 1 10 30 50 27 47 3 3 A AA AP 17 十三 已知 5 0 4 0 3 0 BABPBAPBPAP 求 解一 BAABBBAASABPBPAPAP 6 0 1 7 0 1 注意 BAAB 故有 P AB P A P AB 0 7 0 5 0 2 再由加法定理 P A B P A P B P AB 0 7 0 6 0 5 0 8 于是25 0 8 0 2 0 BAP ABP BAP BABP BABP 25 0 5 06 07 0 5 1 5 1 7 2 7 5 7 0 5 0 0705 BAPBPAP BAP BAP BBBAP BABP ABPAPABPABPABP ABPABPAPBAP 定義 故 解二 由已知 18 十四 2 1 3 1 4 1 BAPBAPABPAP 求 解 由 6 1 3 1 4 1 2 1 BP BPBP ABPAP BP ABP BAP有 定義 由已知條件 由乘法公式 得 12 1 ABPAPABP 由加法公式 得 3 1 12 1 6 1 4 1 ABPBPAPBAP 19 十五 擲兩顆骰子 已知兩顆骰子點數(shù)之和為 7 求其中有一顆為 1 點的概率 用 兩種方法 解 方法一 在縮小的樣本空間 SB 中求 P A B 即將事件 B 作為樣本空間 求 事件 A 發(fā)生的概率 擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組 x y x y 1 2 3 4 5 6 并且滿足 x y 7 則 樣本空間為 S x y 1 6 6 1 2 5 5 2 3 4 4 3 每種結(jié)果 x y 等可能 A 擲二骰子 點數(shù)和為 7 時 其中有一顆為 1 點 故 3 1 6 2 AP 方法二 用公式 BP ABP BAP S x y x 1 2 3 4 5 6 y 1 2 3 4 5 6 每種結(jié)果均可能 A 擲兩顆骰子 x y 中有一個為 1 點 B 擲兩顆骰子 x y 7 則 22 6 2 6 1 6 6 ABPBP 故 3 1 6 2 6 1 6 2 2 BP ABP BAP 20 十六 據(jù)以往資料表明 某一 3 口之家 患某種傳染病的概率有以下規(guī)律 P A P 孩子得病 0 6 P B A P 母親得病 孩子得病 0 5 P C AB P 父親得病 母親 及孩子得病 0 4 求母親及孩子得病但父親未得病的概率 解 所求概率為 P ABC 注意 由于 母病 孩病 父病 都是隨機(jī)事件 這里不是求 P C AB P AB P A P B A 0 6 0 5 0 3 P C AB 1 P C AB 1 0 4 0 6 從而 P ABC P AB P C AB 0 3 0 6 0 18 21 十七 已知 10 只晶體管中有 2 只次品 在其中取二次 每次隨機(jī)地取一只 作 不放回抽樣 求下列事件的概率 1 二只都是正品 記為事件 A 法一 用組合做 在 10 只中任取兩只來組合 每一個組合看作一個基本結(jié)果 每種 取法等可能 62 0 45 28 2 10 2 8 C C AP 法二 用排列做 在 10 只中任取兩個來排列 每一個排列看作一個基本結(jié)果 每個 排列等可能 45 28 2 10 2 8 A A AP 法三 用事件的運(yùn)算和概率計算法則來作 記 A1 A2分別表第一 二次取得正品 45 28 9 7 10 8 1221 AAPAPAAPAP 2 二只都是次品 記為事件 B 法一 45 1 2 10 2 2 C C BP 法二 45 1 2 10 2 2 A A BP 法三 45 1 9 1 10 2 12121 AAPAPAAPBP 3 一只是正品 一只是次品 記為事件 C 法一 45 16 2 10 1 2 1 8 C CC CP 法二 45 16 2 10 2 2 1 2 1 8 A ACC CP 法三 互斥與且 21212121 AAAAAAAAPCP 45 16 910 82 9 2 10 8 121121 AAPAPAAPAP 4 第二次取出的是次品 記為事件 D 法一 因為要注意第一 第二次的順序 不能用組合作 法二 5 1 2 10 1 2 1 9 A AA DP 法三 互斥與且 21212121 AAAAAAAAPDP 5 1 9 1 10 2 9 2 10 8 121121 AAPAPAAPAP 22 十八 某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字 因而隨機(jī)的撥號 求他撥號不超 過三次而接通所需的電話的概率是多少 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù) 那么此概率是 多少 記 H 表撥號不超過三次而能接通 Ai表第 i 次撥號能接通 注意 第一次撥號不通 第二撥號就不再撥這個號碼 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 2131211211 321211 AAAPAAPAPAAPAPAPHP AAAAAAH 三種情況互斥 如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù) 記為事件 B 問題變?yōu)樵?B 已發(fā)生的條件下 求 H 再發(fā)生的概率 321211 BAAABAABPABHP 2131211211 AABAPABAPBAPABAPBAPBAP 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 24 十九 設(shè)有甲 乙二袋 甲袋中裝有 n 只白球 m 只紅球 乙袋中裝有 N 只白球 M 只紅球 今從甲袋中任取一球放入乙袋中 再從乙袋中任取一球 問取到 即從乙袋 中取到 白球的概率是多少 此為第三版 19 題 1 記 A1 A2分別表 從甲袋中取得白球 紅球放入乙袋 再記 B 表 再從乙袋中取得白球 B A1B A2B 且 A1 A2互斥 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 11 1 MN N mn m MN N mn n 十九 2 第一只盒子裝有 5 只紅球 4 只白球 第二只盒子裝有 4 只紅球 5 只白球 先從第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去 然后從第二盒子中任取一只球 求取到白 球的概率 記 C1為 從第一盒子中取得 2 只紅球 C2為 從第一盒子中取得 2 只白球 C3為 從第一盒子中取得 1 只紅球 1 只白球 D 為 從第二盒子中取得白球 顯然 C1 C2 C3兩兩互斥 C1 C2 C3 S 由全 概率公式 有 P D P C1 P D C1 P C2 P D C2 P C3 P D C3 99 53 11 6 11 7 11 5 2 9 1 4 1 5 2 9 2 4 2 9 2 5 C CC C C C C 26 二十一 已知男人中有 5 是色盲患者 女人中有 0 25 是色盲患者 今從男女 人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人 恰好是色盲患者 問此人是男性的概率是多少 解 A1 男人 A2 女人 B 色盲 顯然 A1 A2 S A1 A2 由已知條件知 25 0 5 2 1 2121 ABPABPAPAP 由貝葉斯公式 有 21 20 10000 25 2 1 100 5 2 1 100 5 2 1 2211 111 1 ABPAPABPAP ABPAP BP BAP BAP 二十二 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試 第一次及格的概率為 P 若第一次 及格則第二次及格的概率也為 P 若第一次不及格則第二次及格的概率為 2 P 1 若至少 有一次及格則他能取得某種資格 求他取得該資格的概率 2 若已知他第二次已經(jīng)及 格 求他第一次及格的概率 解 Ai 他第 i 次及格 i 1 2 已知 P A1 P A2 A1 P 2 12 P AAP 1 B 至少有一次及格 所以 21 AAB 兩次均不及格 1 1 1 12121 AAPAPAAPBPBP 1 1 1 121 AAPAP 2 2 1 2 3 2 1 1 1PP P P 2 2 21 21 AP AAP AAP 定義 由乘法公式 有 P A1 A2 P A1 P A2 A1 P2 由全概率公式 有 1211212 AAPAPAAPAPAP 22 2 1 2 PP P PPP 將以上兩個結(jié)果代入 得 1 2 22 2 2 21 P P PP P AAP 28 二十五 某人下午 5 00 下班 他所積累的資料表明 到家時間 5 35 5 39 5 40 5 44 5 45 5 49 5 50 5 54 遲于 5 54 乘地鐵到 家的概率 0 10 0 25 0 45 0 15 0 05 乘汽車到 家的概率 0 30 0 35 0 20 0 10 0 05 某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車 結(jié)果他是 5 47 到家的 試求他是乘地鐵 回家的概率 解 設(shè) A 乘地鐵 B 乘汽車 C 5 45 5 49 到家 由題意 AB A B S 已知 P A 0 5 P C A 0 45 P C B 0 2 P B 0 5 由貝葉斯公式有 6923 0 13 9 65 0 45 0 2 1 2 1 45 05 0 BCPACP CP APACP CAP 29 二十四 有兩箱同種類型的零件 第一箱裝 5 只 其中 10 只一等品 第二箱 30 只 其中 18 只一等品 今從兩箱中任挑出一箱 然后從該箱中取零件兩次 每次任取一 只 作不放回抽樣 試求 1 第一次取到的零件是一等品的概率 2 第一次取到的零 件是一等品的條件下 第二次取到的也是一等品的概率 解 設(shè) Bi表示 第 i 次取到一等品 i 1 2 Aj表示 第 j 箱產(chǎn)品 j 1 2 顯然 A1 A2 S A1A2 1 4 0 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 1 BP B1 A1B A2B 由全概率公式解 2 4857 0 5 2 29 17 30 18 2 1 49 9 50 10 2 1 1 21 12 BP BBP BBP 先用條件概率定義 再求 P B1B2 時 由全概率公式解 32 二十六 2 如圖 1 2 3 4 5 表示繼電器接點 假設(shè)每一繼電器接點閉合 的概率為 p 且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨 立 求 L 和 R 是通路的概率 記 Ai表第 i 個接點接通 記 A 表從 L 到 R 是構(gòu)成通路的 A A1A2 A1A3A5 A4A5 A4A3A2四種情況不互斥 P A P A1A2 P A1A3A5 P A4A5 P A4A3A2 P A1A2A3A5 P A1A2 A4A5 P A1A2 A3 A4 P A1A3 A4A5 P A1A2 A3A4A5 P A2 A3 A4A5 P A1A2A3 A4A5 P A1A2 A3 A4A5 A1A2 A3 A4A5 P A1A2 A3 A4A5 P A1A2 A3 A4A5 又由于 A1 A2 A3 A4 A5互相獨立 故 P A p2 p3 p2 p3 p4 p4 p4 p4 p5 p4 p5 p5 p5 p5 p5 2 p2 3p3 5p4 2 p5 二十六 1 設(shè)有 4 個獨立工作的元件 1 2 3 4 它們的可靠性分別為 P1 P2 P3 P4 將它們按圖 1 的方式聯(lián)接 求系統(tǒng)的可靠性 記 Ai表示第 i 個元件正常工作 i 1 2 3 4 A 表示系統(tǒng)正常 A A1A2A3 A1A4兩種情況不互斥 P A P A1A2A3 P A1A4 P A1A2A3 A4 加法公式 P A1 P A2 P A3 P A1 P A4 P A1 P A2 P A3 P A4 P1P2P3 P1P4 P1P2P3P4 A1 A2 A3 A4獨立 34 三十一 袋中裝有 m 只正品硬幣 n 只次品硬幣 次品硬幣的兩面均印有國徽 在袋中任取一只 將它投擲 r 次 已知每次都得到國徽 問這只硬幣是正品的概率為多 3 4 2 1 5 3 4 2 1 L R 少 解 設(shè) 出現(xiàn) r 次國徽面 Br 任取一只是正品 A 由全概率公式 有 r r r r r r rr rrr nm m nm n nm m nm m BP ABPAP BAP nm n nm m ABPAPABPAPBP 2 2 1 2 1 1 2 1 條件概率定義與乘法公式 35 甲 乙 丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊 三人擊中的概率分別為 0 4 0 5 0 7 飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為 0 2 被兩人擊中而被擊落的概率為 0 6 若三人都擊 中 飛機(jī)必定被擊落 求飛機(jī)被擊落的概率 解 高 Hi表示飛機(jī)被 i 人擊中 i 1 2 3 B1 B2 B2分別表示甲 乙 丙擊中飛 機(jī) 3213213211 BBBBBBBBBH 三種情況互斥 3213213212 BBBBBBBBBH 三種情況互斥 3223 BBBH 又 B1 B2 B2獨立 3213211 BPBPBPBPBPBPHP 36 07 05 06 03 05 0 6 03 05 04 0 321 BPBPBP 3213212 BPBPBPBPBPBPHP 3 05 04 0 321 BPBPBP 0 4 0 5 0 7 0 6 0 5 0 7 0 41 P H3 P B1 P B2 P B3 0 4 0 5 0 7 0 14 又因 A H1A H2A H3A 三種情況互斥 故由全概率公式 有 P A P H1 P A H1 P H2 P A H2 P H3 P AH3 0 36 0 2 0 41 0 6 0 14 1 0 458 36 三十三 設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析 某船只運(yùn)輸某種物品損壞 2 這一事件記為 A1 10 事件 A2 90 事件 A3 的概率分別為 P A1 0 8 P A2 0 15 P A2 0 05 現(xiàn)從中隨機(jī)地獨立地取三件 發(fā)現(xiàn)這三件都是好的 這一事件記為 B 試分別求 P A1 B P A2 B P A3 B 這里設(shè)物品件數(shù)很多 取出第一件以后不影響取第二件的概率 所以 取第一 第二 第三件是互相獨立地 B 表取得三件好物品 B A1B A2B A3B 三種情況互斥 由全概率公式 有 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 8 0 98 3 0 15 0 9 3 0 05 0 1 3 0 8624 0001 0 8624 0 1 0 05 0 1268 0 8624 0 9 0 15 0 8731 0 8624 0 98 0 8 0 3 333 3 3 222 2 3 111 1 BP ABPAP BP BAP BAP BP ABPAP BP BAP BAP BP ABPAP BP BAP BAP 37 三十四 將 A B C 三個字母之一輸入信道 輸出為原字母的概率為 而輸 出為其它一字母的概率都是 1 2 今將字母串 AAAA BBBB CCCC 之一輸入信道 輸入 AAAA BBBB CCCC 的概率分別為 p1 p2 p3 p1 p2 p3 1 已知輸出為 ABCA 問 輸入的是 AAAA 的概率是多少 設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的 解 設(shè) D 表示輸出信號為 ABCA B1 B2 B3分別表示輸入信號為 AAAA BBBB CCCC 則 B1 B2 B3為一完備事件組 且 P Bi Pi i 1 2 3 再設(shè) A 發(fā) A 收分別表示發(fā)出 接收字母 A 其余類推 依題意有 P A收 A發(fā) P B收 B發(fā) P C收 C發(fā) P A收 B發(fā) P A收 C發(fā) P B收 A發(fā) P B收 C發(fā) P C收 A發(fā) P C收 B發(fā) 2 1 又 P ABCA AAAA P D B 1 P A收 A發(fā) P B收 A發(fā) P C收 A發(fā) P A收 A發(fā) 22 2 1 同樣可得 P D B 2 P D B 3 3 2 1 于是由全概率公式 得 3 32 22 1 3 1 2 1 2 1 PP ap BDPBPDP i ii 由 Bayes 公式 得 P AAAA ABCA P B 1 D 11 DP BDPBP 1 2 2 321 1 PP P P 二十九 設(shè)第一只盒子裝有 3 只藍(lán)球 2 只綠球 2 只白球 第二只盒子裝有 2 只 藍(lán)球 3 只綠球 4 只白球 獨立地分別從兩只盒子各取一只球 1 求至少有一只藍(lán)球 的概率 2 求有一只藍(lán)球一只白球的概率 3 已知至少有一只藍(lán)球 求有一只藍(lán)球 一只白球的概率 解 記 A1 A2 A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球 綠球 白球 B1 B2 B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球 綠球 白球 1 記 C 至少有一只藍(lán)球 C A1B1 A1B2 A1B3 A2B1 A3B1 5 種情況互斥 由概率有限可加性 得 9 5 9 2 7 2 9 2 7 2 9 4 7 3 9 3 7 3 9 2 7 3 1312312111 1312312111 BPAPBPAPBPAPBPAPBPAP BAPBAPBAPBAPBAPCP 獨立性 2 記 D 有一只藍(lán)球 一只白球 而且知 D A1B3 A3B1兩種情況互斥 63 16 9 2 7 2 9 4 7 3 13311331 BPAPBPAPBAPBAPDP 3 35 16 DCD CP DP CP CDP CDP 注意到 三十 A B C 三人在同一辦公室工作 房間有三部電話 據(jù)統(tǒng)計知 打給 A B C 的電話的概率分別為 5 1 5 2 5 2 他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?A B C 三人外出的概 率分別為 4 1 4 1 2 1 設(shè)三人的行動相互獨立 求 1 無人接電話的概率 2 被呼叫人在辦公室的概率 若某一時間斷打進(jìn)了 3 個 電話 求 3 這 3 個電話打給同一人的概率 4 這 3 個電話打給不同人的概率 5 這 3 個電話都打給 B 而 B 卻都不在的概率 解 記 C1 C2 C3分別表示打給 A B C 的電話 D1 D2 D3分別表示 A B C 外出 注意到 C1 C2 C3獨立 且 5 1 5 2 321 CPCPCP 4 1 2 1 321 DPDPDP 1 P 無人接電話 P D1D2D3 P D1 P D2 P D3 32 1 4 1 4 1 2 1 2 記 G 被呼叫人在辦公室 332211 DCDCDCG 三種情況互斥 由有 限可加性與乘法公式 20 13 4 3 5 1 4 3 5 2 2 1 5 2 333222111 332211 CDPCPCDPCPCDPCP DCPDCPDCPGP kkk DPCDP故 否和來電話無關(guān) 由于某人外出與 3 H 為 這 3 個電話打給同一個人 125 17 5 1 5 1 5 1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 HP 4 R 為 這 3 個電話打給不同的人 R 由六種互斥情況組成 每種情況為打給 A B C 的三個電話 每種情況的概率為 125 4 5 1 5 2 5 2 于是 125 24 125 4 6 RP 5 由于是知道每次打電話都給 B 其概率是 1 所以每一次打給 B 電話而 B 不在 的概率為 4 1 且各次情況相互獨立 于是 P 3 個電話都打給 B B 都不在的概率 64 1 4 1 3 第二章 隨機(jī)變量及其分布 1 一 一袋中有 5 只乒乓球 編號為 1 2 3 4 5 在其中同時取三只 以 X 表 示取出的三只球中的最大號碼 寫出隨機(jī)變量 X 的分布律 解 X 可以取值 3 4 5 分布律為 10 6 1 4 3 2 1 5 5 10 3 1 3 2 1 4 4 10 1 1 2 1 3 3 3 5 2 4 3 5 2 3 3 5 2 2 C C PXP C C PXP C C PXP 中任取兩球再在號一球為 中任取兩球再在號一球為 號兩球為號一球為 也可列為下表 X 3 4 5 P 10 6 10 3 10 1 3 三 設(shè)在 15 只同類型零件中有 2 只是次品 在其中取三次 每次任取一只 作 不放回抽樣 以 X 表示取出次品的只數(shù) 1 求 X 的分布律 2 畫出分布律的圖形 解 任取三只 其中新含次品個數(shù) X 可能為 0 1 2 個 35 22 0 3 15 3 13 C C XP 35 12 1 3 15 2 13 1 2 C CC XP 35 1 2 3 15 1 13 2 2 C CC XP 再列為下表 X 0 1 2 P 35 1 35 12 35 22 4 四 進(jìn)行重復(fù)獨立實驗 設(shè)每次成功的概率為 p 失敗的概率為 q 1 p 0 pY P X 1 Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P X 3 P Y 0 P X 3 P Y 1 P X 3 P Y 2 P X 1 P Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 P X 3 P Y 0 P X 3 P Y 1 P X 3 P Y 2 822 3 321 3 3 0 4 0 6 0 3 0 4 0 6 0 CC 321 3 22 3 6 0 3 0 7 0 4 0 6 0 CC 321 3 33 6 0 3 0 7 0 6 0 3 0 C 243 0 3 0 7 0 22 3 C 9 十 有甲 乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各 4 杯 如果從中挑 4 杯 能將甲 種酒全部挑出來 算是試驗成功一次 1 某人隨機(jī)地去猜 問他試驗成功一次的概率是多少 2 某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒 他連續(xù)試驗 10 次 成功 3 次 試問他是 猜對的 還是他確有區(qū)分的能力 設(shè)各次試驗是相互獨立的 解 1 P 一次成功 70 11 4 8 C 2 P 連續(xù)試驗 10 次 成功 3 次 10000 3 70 69 70 1 733 10 C 此概率太小 按實 際推斷原理 就認(rèn)為他確有區(qū)分能力 九 有一大批產(chǎn)品 其驗收方案如下 先做第一次檢驗 從中任取 10 件 經(jīng)驗收 無次品接受這批產(chǎn)品 次品數(shù)大于 2 拒收 否則作第二次檢驗 其做法是從中再任取 5 件 僅當(dāng) 5 件中無次品時接受這批產(chǎn)品 若產(chǎn)品的次品率為 10 求 1 這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率 2 需作第二次檢驗的概率 3 這批產(chǎn)品按第 2 次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率 4 這批產(chǎn)品在第 1 次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率 5 這批產(chǎn)品被接受的概率 解 X 表示 10 件中次品的個數(shù) Y 表示 5 件中次品的個數(shù) 由于產(chǎn)品總數(shù)很大 故 X B 10 0 1 Y B 5 0 1 近似服從 1 P X 0 0 910 0 349 2 P X 2 P X 2 P X 1 581 09 01 09 01 0 91 10 822 10 CC 3 P Y 0 0 9 5 0 590 4 P 0 X 2 Y 0 0 X 2 與 Y 2 獨立 P 0 X 2 P Y 0 0 581 0 590 0 343 5 P X 0 P 010 P X 11 0 002840 查表計算 十二 2 每分鐘呼喚次數(shù)大于 3 的概率 566530 0 4 3 XPXP 十六 以 X 表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間 以分計 X 的分布函數(shù)是 00 0 1 4 0 x xe xF x X 求下述概率 1 P 至多 3 分鐘 2 P 至少 4 分鐘 3 P 3 分鐘至 4 分鐘之間 4 P 至多 3 分鐘或至少 4 分鐘 5 P 恰好 2 5 分鐘 解 1 P 至多 3 分鐘 P X 3 2 1 1 3 eFX 2 P 至少 4 分鐘 P X 4 6 1 4 1 eFX 3 P 3 分鐘至 4 分鐘之間 P 3 X 4 6 12 1 3 4 eeFF XX 4 P 至多 3 分鐘或至少 4 分鐘 P 至多 3 分鐘 P 至少 4 分鐘 6 12 1 1 ee 5 P 恰好 2 5 分鐘 P X 2 5 0 18 十七 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 1 1 ln 1 0 ex exx x xFX 求 1 P X 2 P 0 X 3 P 2 X 2 5 2 求概率密度 fX x 解 1 P X 2 FX 2 ln2 P 0 X 3 FX 3 FX 0 1 4 5 ln2ln 2 5 ln 2 2 5 2 5 2 XX FFXP 2 其它 0 1 1 ex x xFxf 20 十八 2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度 xf為 1 其它0 111 2 2 xx xf 2 其他0 212 10 xx xx xf 求 X 的分布函數(shù) F x 并作出 2 中的 f x 與 F x 的圖形 解 當(dāng) 1 x 1 時 2 1 arcsin 1 1 1 arcsin 2 1 1 2 12 1 2 0 2 1 2 1 2 1 x xx xxx dxx dxxF X x 當(dāng) 1 x 時 101 2 0 1 1 1 2 1 x dxdxx dxxF 故分布函數(shù)為 x xx xx x xF 11 11 2 1 arcsin 1 1 1 10 2 解 2 x dttfxXPxF 1 02 2 1 0 2 1 1 0 0 2 0 0 10 2 0 2 1 2 2 2 0 21 2 0 10 00 0 x x x x dtdttdttdtxFx x xdttdttdtxFx x dttdtxFx dtxFx 時當(dāng) 時當(dāng) 時當(dāng) 時當(dāng) 故分布函數(shù)為 x x x x x x x xF 21 211 2 2 10 2 00 2 2 2 中的 f x 與 F x 的圖形如下 22 二十 某種型號的電子的壽命 X 以小時計 具有以下的概率密度 其它0 1000 1000 2 x x xf 現(xiàn)有一大批此種管子 設(shè)各電子管損壞與否相互獨立 任取 5 只 問其中至少有 2 只壽 命大于 1500 小時的概率是多少 解 一個電子管壽命大于 1500 小時的概率為 3 2 3 2 1 1 1 10001 1000 1 1500 1 1500 1500 1000 1500 10002 x dx x XPXP 令 Y 表示 任取 5 只此種電子管中壽命大于 1500 小時的個數(shù) 則 3 2 5 BY 243 232 243 11 1 3 251 1 3 1 3 2 3 1 1 1 0 1 2 1 2 5 41 5 5 CYPYPYPYP 23 二十一 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間 X 以分計 服從指數(shù)分布 其概率密度為 x 1 2 0 f x x 1 2 0 F x 其它 0 0 5 1 5 xe xF x X 某顧客在窗口等待服務(wù) 若超過 10 分鐘他就離開 他一個月要到銀行 5 次 以 Y 表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù) 寫出 Y 的分布律 并求 P Y 1 解 該顧客 一次等待服務(wù)未成而離去 的概率為 2 10 5 10 5 105 1 10 eedxedxxfXP xx X 因此5 4 3 2 1 1 5 5 5222 kee k kYPeBY kk 即 5167 04833 018677 01 1353363 01 1 389 7 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 5 5552 eYPYPYP 24 二十二 設(shè) K 在 0 5 上服從均勻分布 求方程0244 2 KxKx有實 根的概率 K 的分布密度為 其他0 50 05 1 K Kf 要方程有根 就是要 K 滿足 4K 2 4 4 K 2 0 解不等式 得 K 2 時 方程有實根 5 3 0 5 1 2 5 5 22 dxdxdxxfKP 25 二十三 設(shè) X N 3 22 1 求 P 2 X 5 P 4 2 P X 3 若 X N 2 則 P X P 2 X 5 2 35 2 32 1 0 5 0 8413 0 3085 0 5328 P 42 1 P X 2 1 P 2 P3 1 P X 3 1 2 33 1 0 5 0 5 2 決定 C 使得 P X C P X C P X C 1 P X C P X C 得 P X C 2 1 0 5 又 P X C 0 2 3 5 0 2 3 CC 查表可得 C 3 26 二十四 某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓 收縮區(qū) 以 mm Hg 計 服從 12 110 2 N 在該地區(qū)任選一 18 歲女青年 測量她的血壓 X 求 1 P X 105 P 100 x 0 05 解 3384 06616 01 4167 0 1 4167 0 12 110105 105 1 XP 5952 017976 021 8333 0 21 6 5 2 6 5 6 5 12 110100 12 110120 120100 XP 74 129 74 12974 19110 645 1 12 110 95 0 12 110 05 0 12 110 1 1 2 Xx x xx xXPxXP 故最小的查表得 27 二十五 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度 cm 服從參數(shù)為 10 05 0 06 的正態(tài) 分布 規(guī)定長度在范圍 10 05 0 12 內(nèi)為合格品 求一螺栓為不合格的概率是多少 設(shè)螺栓長度為 X P X 不屬于 10 05 0 12 10 05 0 12 1 P 10 05 0 12 X 10 05 0 12 1 06 0 05 10 12 005 10 06 0 05 10 12 005 10 1 2 2 1 0 9772 0 0228 0 0456 28 二十六 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命 X 以小時計 服從參數(shù)為 160 未 知 的正態(tài)分布 若要求 P 120 X 200 0 80 允許 最大為多少 P 120 X 200 80 0 4040160120160200 又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有 x 1 x 上式變?yōu)?0 0 40 1 40 解出9 0 40 40 便得 再查表 得25 31 281 1 40 281 1 40 30 二十七 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 X 2 1 0 1 3 P 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 求 Y X 2的分布律 Y X 2 2 2 1 2 0 2 1 2 3 2 P 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 再把 X 2的取值相同的合并 并按從小到大排列 就得函數(shù) Y 的分布律為 Y 0 1 4 9 P 5 1 15 1 6 1 5 1 30 11 31 二十八 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 0 1 上服從均勻分布 1 求 Y eX的分布密度 X 的分布密度為 為其他x x xf 0 101 Y g X eX是單調(diào)增函數(shù) 又 X h Y lnY 反函數(shù)存在 且 min g 0 g 1 min 1 e 1 max g 0 g 1 max 1 e e Y 的分布密度為 為其他y ey y yhyhf y 0 1 1 1 2 求 Y 2lnX 的概率密度 Y g X 2lnX 是單調(diào)減函數(shù) 又 2 Y eYhX 反函數(shù)存在 且 min g 0 g 1 min 0 0 max g 0 g 1 max 0 Y 的分布密度為 為其他y yeeyhyhf y yy 0 0 2 1 2 1 1 22 32 二十九 設(shè) X N 0 1 1 求 Y eX的概率密度 X 的概率密度是 xe xf x 2 1 2 2 Y g X eX 是單調(diào)增函數(shù) 又 X h Y lnY 反函數(shù)存在 且 min g g min 0 0 max g g max 0 Y 的分布密度為 為其他y y y e yhyhf y y 0 0 1 2 1 2 ln 2 2 求 Y 2X2 1 的概率密度 在這里 Y 2X2 1 在 不是單調(diào)函數(shù) 沒有一般的結(jié)論可用 設(shè) Y 的分布函數(shù)是 FY y 則 FY y P Y y P 2X2 1 y 2 1 2 1y X y P 當(dāng) y1 時 y FY y 2 1 2 1 2 2 2 1 y y x dxe 4 1 1 2 1 y e y 3 求 Y X 的概率密度 Y 的分布函數(shù)為 FY y P Y y P X y 當(dāng) y0 時 y FY y 22 2 2 2 2 1 y y y x e dxe 33 三十 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f x 求 Y X 3的概率密度 Y g X X 3 是 X 單調(diào)增函數(shù) 又 X h Y 3 1 Y 反函數(shù)存在 且 min g g min 0 max g g max 0 Y 的分布密度為 y f h h h y 0 3 1 3 2 3 1 yyyyf但 0 0 2 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布 求 Y X 2的概率密度 法一 X 的分布密度為 00 0 x xe xf x Y x2是非單調(diào)函數(shù) 當(dāng) x 0 時 y x2 反函數(shù)是yx 當(dāng) x 0 時 y x2 yx Y fY y yyfyyf y y x O y y x2 00 0 2 1 2 1 0 y ye y e y yy 法二 yXPyXPyXyPyYPy Y FY 0 0 0 10 0 y yedxe y y x Y fY y 0 0 0 2 1 y ye y y 34 三十一 設(shè) X 的概率密度為 為其他x x x xf 0 0 2 2 求 Y sin X 的概率密度 FY y P Y y P sinX y 當(dāng) y 0 時 FY y 0 當(dāng) 0 y 1 時 FY y P sinX y P 0 X arc sin y 或 arc sin y X y y dx x dx x arcsin 2 arcsin 0 2 22 當(dāng) 1 y 時 FY y 1 Y 的概率密度 y 為 y 0 時 y FY y 0 0 0 y 1 時 y FY y y y dx x dx x arcsin 2 arcsin 0 2 22 2 1 2 y 1 y 時 y FY y 1 0 36 三十三 某物體的溫度 T oF 是一個隨機(jī)變量 且有 T N 98 6 2 試求 的概率密度 已知 32 9 5 T 法一 T 的概率密度為 tetf t 22 1 22 6 98 2 又 32 9 5 TTg 是單調(diào)增函數(shù) 32 5 9 hT 反函數(shù)存在 且 min g g min max g g max 的概率密度 為 5 9 22 1 4 6 9832 5 9 2 e h hf e 10 9 100 37 81 2 法二 根據(jù)定理 若 X N 1 1 則 Y aX b N a 1 b a2 2 由于 T N 98 6 2 故 2 9 5 9 333 2 9 5 9 160 6 98 9 5 9 160 9 5 22 NNT 故 的概率密度為 10 9 2 9 5 2 1 100 37 81 2 9 5 2 9 333 2 2 2 ee 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1 一 在一箱子里裝有 12 只開關(guān) 其中 2 只是次品 在其中隨機(jī)地取兩次 每次 取一只 考慮兩種試驗 1 放回抽樣 2 不放回抽樣 我們定義隨機(jī)變量 X Y 如下 若第一次取出的是次品 若第一次取出的是正品 1 0 X 若第二次取出的是次品 若第二次取出的是正品 1 0 Y 試分別就 1 2 兩種情況 寫出 X 和 Y 的聯(lián)合分布律 解 1 放回抽樣情況 由于每次取物是