七章第六節(jié)函數的冪級數展開及應用.doc

7.6 函數的冪級數展開及應用一 教學目的與要求、 熟練掌握初等函數的冪級數的展開、 理解用冪級數的逼近及誤差估計二重點與難點初等函數的冪級數的展開三 教學過程由于冪級數的特殊形式，如果函數能表為冪級數的形式，無論是理論上還是應用中都是很有意義的。本節(jié)將討論函數能展為冪級數的條件、稀疏的確定、初等函數的冪級數展開及有關應用舉例。7.6.1 函數的冪級數展開回顧第三章討論過的泰勒公式：若函數在點的某鄰域內有階導數，則可表示為（6.1）其中 介于與之間如果在點的某鄰域內是無窮次連續(xù)可微的，自然會想到，是否可展為如下的冪級數（6.2）人們稱冪級數（6.2）是函數在點出的泰勒級數。特別，當時，稱冪級數為的馬克勞林級數。自然，人們希望級數（6.2）在附近收斂，并且收斂域。此時，我們稱函數能（或可）展成冪級數（6.2）。從式（6.1），這實際上取決于。于是我們有下面的結果。定理6.1 設函數在點某鄰域內具有任意階導數，則它的泰勒級數（6.2）在內收斂于得充分必要條件是：。在上述定理的條件不成立的范圍內，函數的泰勒級數（6.2）即使收斂，也不收斂到，例如 由于（見上冊，第68頁，第9題），所以，函數的馬克勞林級數（6.3）的各項系數均為零，顯然它在整個數軸上一致收斂到零。但除外，均不收斂到。這是因為，除原點外，都不以零為極限。 定理6.2 （冪級數展開式的惟一性）若函數在的某鄰域內可展為冪級數 （6.4）則其系數這里規(guī)定。證明 由于冪級數在其收斂區(qū)間內可逐項積分，于是 即 7.6.2 初等函數的冪級數展開現(xiàn)在我們來展開一些常見的函數。例6.1 將函數展為的冪級數。解 因為泰勒公式的余項介于與之間，它滿足不等式對任一確定的，式（6.5）的余項以零為極限，所以，在上恒有又，故。于是例6.2 求和的展式。解 由的泰勒公式知，它的泰勒級數為 其收斂半徑為對收斂區(qū)間內的任一點，有從而得到展開式 （6.7）對式（6.7）兩端求導，由展開的惟一性，得 （6.8）例6.3有上節(jié)5.4(1)及函數展開為冪級數的惟 （6.9）其中。例6.4 將函數展為的冪級數，其中為任意實數。 解 如果是非負數，則根本是一多項式。因此，我們只考慮不是非負整數的情形。此時，在為階導數為 因此，其泰勒級數為其收斂半徑為 所以的泰勒級數的收斂區(qū)間是。在處，對不同的，斂散性不同。 為了避免討論余項的極限，設在內它的和函數為，即設下面證明。由逐項積分兩邊同乘以后，右邊方括號內的系數為于是，有微分方程滿足條件。由分離變量法，得 故有展開式 （6.10）其中。 式（6.10）稱為牛頓二項展開式，當為正正數時，式（6.10）便是代數中的二項公式。當時，依次有展開式 （6.11） （6.12） 例6.5 求的馬克勞林展開式解 由于 令，則逐項積分，得 7.6.3 冪級數的應用舉例 有了函數的冪級數展開式，就可以方便地解決函數的多項式逼近和函數的緝私計算問題。同時，因冪級數可以表達一些非初等函數，使一些積分和微分方程問題得到完滿的解決。下面通過一些例子來說明。例6.6 計算的值，精確到小數點后第四位（即誤差）。解 因為 所以，當時，有 若取前項近似計算，其截斷誤差要使，只需取。于是 例6.7 計算的近似值，精確到。解 我們知道，函數的原函數盡管存在，但不是初等函數。有了函數的冪級數的展開理論，我們可以把原函數表示成級數形式。 因為 所以 其中，由于，所以是通常的定積分（不是廣義積分） 令上限，得這是一個交錯級數，若取前三項作為近似值，其截斷誤差 故 例6.8 求初值問題解 設所求的解為 由初始條件知，所以將其代入方程，得恒等式比較兩邊的同次冪的稀疏，得于是所求之解為 下面的例子是利用冪級數求數值級數的和。例6.9 求數值級數的和。解 這個數值級數是冪級數在時對應的級數。顯然，這個冪級數的收斂區(qū)間為。先求此冪級數的和函數。因為從而有 最后討論對數的近似計算。式（6.9）給出了函數的馬克老林展開，但應用式（6.9）計算自然對數的近似值有兩個缺點：一是的變換范圍太??；二是收斂速度太慢，因此他沒有使用價值。為此，在式（6.9）的基礎上構造一個新的級數，既擴大的變化范圍，又提高收斂速度。具體做法如下。 在式（6.9）中，以替代，有 （6.13）將式（6.9）與式（6.13）的等號兩端分別相減，有或 （6.14）令 ，有 將代入式（6.9）中，有 或 （6.15）由級數（6.15）可知：一方面，應用遞推方法，能求出任意自然數的自然對數；另一方面，提高了級數收斂的速度，即取很少項的部分和就能達到