如何將A4紙制作成一個體積最大的長方體.doc

如何將A4紙制作成一個體積最大的長方體六（9）班 鄭木蘭一天放學(xué)，數(shù)學(xué)陳老師出了這樣一道思考題：如何將一張A4大小的紙折疊成體積最大的長方體。老師布置思考題以后，我和爺爺就一起開始想了。A4紙到底有多大呢？測量會有誤差，所以我借助了電腦來幫忙，通過windows是頁面設(shè)置，我知道了A4紙的規(guī)格是21cm297cm。剛開始，我想A4紙一點都不浪費的話，體積當(dāng)然就最大了。我就畫出了圖1。圖1中左下角和右下角的兩個X應(yīng)該是一樣的，但是7.425和5.25不相等。不浪費一點紙看來不可行的。所以， （圖1）我開始的設(shè)想，一點都不浪費紙張的設(shè)計徹底失敗，接著，我和爺爺把第一種不浪費進(jìn)行了改進(jìn)。圖2和圖3是兩種改進(jìn)版的方案。這兩種方案浪費的是劃陰影的部分。（圖2）第二種比第一種浪費面積要多一些。圖2體積是409.30立方厘米，圖3體積是678.1立方厘米，圖3比圖2體積要大。 （圖3） 從中，我們發(fā)現(xiàn)了一種“奇怪”的現(xiàn)象：雖然浪費紙張多一些，但體積反而可以大一些。然后，我換了一種方式折疊。我和爺爺列出了一條計算體積公式：v=（a/2-x）（b-2x）x。a表示A4紙長，b表示A4紙寬。如圖下一步就像圖5中畫的那樣，要試出體積最大的。（圖4） （圖5）以下是我用公式試驗的結(jié)果。V=（14.85-x）（21-2x）x，當(dāng)x=1，v=13.85191=263.15=當(dāng)x=2，v2=12.85172=436.9,當(dāng)x=3，v3=11.85153=533.25,當(dāng)x=4,v4=10.85134=564.2，當(dāng)x=5,v5=9.85115=541.75。從試驗中看出，x=4最大。如果a、b取值調(diào)換，也就是長、寬調(diào)換會怎么樣呢？我又進(jìn)行了一次試驗。V=（a/2-x）(b-2x)x=(10.5-2x)(29.7-2x)x,x=1,v1=9.527.71=263.15,x=2,v2=8.525.72=436.9,x=3,v3=7.523.73=533.25,x=4,v4=6.521.73=564.2,x=5,v5=5.519.75=541.75。我和爺爺驚奇地發(fā)現(xiàn)，兩次試驗結(jié)果一模一樣，而且體積最大取值都等于564.2，看來長、寬交換并不影響計算結(jié)果。那么，是否還有體積更大的呢？爺爺說他知道無蓋的長方體體積可能有最大的。我們從無蓋的長方體里來了靈感兩個無蓋的長方體拼起來不就是一個有蓋的長方體了嗎？ （圖6） 那應(yīng)該就是體積最大的長方體了。如圖7。我們也列了一條計算體積公式：v=(a/2-2x)(b-2x)2x。我們開始了試驗：x-1,v1=12.85192=488.3,x=2,v2=0.85174=737.8,x=3,v3=8.85156=796.5,x=4,v4=6.85138=712.4。這一種長方體體積可真夠大的。我們也把長，寬調(diào)換了位置。試驗結(jié)果如下：x=1,v1=8.527.72=470.9,x=2,v2=6.525.74=668.2,x=3,v3=4.523.7 (圖8) 6=639.9。結(jié)果沒有原來那么理想。而且，兩次試驗結(jié)果不一樣。針對圖7情況，我們又用了“步步逼近法”，尋求最佳取值，又試驗了一次：x=2.5,v=9.85165=788,x=2.8,v=9.2515.45.6=797.12,x=2.9,v=9.0515.25.8=797.84,x=3.1,v=8.6514.86.2=圖（9） 793.724,x=3.5,v=7.85147=769.3。結(jié)論：看來，x=2.9，A4紙制作的長方體體積最大是797.84立方厘米。最后我就用