高中數(shù)學(xué)第一章1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理學(xué)案.docx

1.1.2余弦定理1理解用向量的工具推導(dǎo)余弦定理的過程，并能初步運用余弦定理解斜三角形2掌握三角形的面積公式3能夠運用正弦定理、余弦定理、面積公式等知識和方法解決一些與測量及幾何計算有關(guān)的三角形問題1余弦定理公式表達語言敘述推論a2_三角形任何一邊的平方等于_cos A_b2_cos B_c2_cos C_(1)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間關(guān)系的客觀規(guī)律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例；(3)在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一；(4)運用余弦定理時，因為已知三邊求角，或已知兩邊及夾角求另一邊，由三角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的【做一做11】在ABC中，AB1，BC2，B60，則AC的長為_【做一做12】在ABC中，a2c2b2ab，則C_.2余弦定理的應(yīng)用(1)利用余弦定理判斷三角形的形狀由余弦定理，當(dāng)邊c為最大邊時，如果c2a2b2，則ABC為_三角形；如果c2a2b2，則ABC為_三角形；如果c2a2b2，則ABC為_三角形(2)利用余弦定理可以解決有關(guān)斜三角形的問題已知三邊，_；已知兩邊和它們的夾角，求_和其他_；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解斜三角形時，也可用余弦定理，如已知a，b，A，可先用余弦定理_，求出c，此時c的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)使用余弦定理求角時，一般在判斷三條邊的大小后，可先求最大角，也可先求最小角，如果最大角小于60或最小角大于60，可知三角形無解【做一做21】在ABC中，若sin Asin Bsin C234，則該三角形的形狀為()A直角三角形B等邊三角形C銳角三角形 D鈍角三角形【做一做22】在ABC中，已知c2acos B，則ABC的形狀為_三角形3三角形的面積公式(1)Saha(ha表示a邊上的高)；(2)Sabsin C_；(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)；(4)S(其中p(abc)【做一做31】在ABC中，角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c，且a1，B45，SABC2，則c_.【做一做32】已知三角形的周長為12，內(nèi)切圓的半徑為1，則SABC_.一、三角形中的四類基本問題剖析：解三角形的問題可以分為以下四類：(1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，解三角形此種情況的基本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個數(shù)(2)已知三角形的兩角和任一邊，解三角形此種情況的基本解法是若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求第三邊若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個角，再由正弦定理求另外兩邊(3)已知兩邊和它們的夾角，解三角形此種情況的基本解法是先用余弦定理求第三邊，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個角(4)已知三角形的三邊，解三角形此種情況的基本解法是先用余弦定理求出一個角，再用正弦定理或余弦定理求出另一個角，最后用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角二、教材中的“？”在ABC中，令c，b，a，你能通過計算|a|2aa證明余弦定理嗎？剖析：如圖所示，|a|2aaa2()()22222|cos A2b2c22bccos A，即a2b2c22bccos A同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C除了向量法和幾何法來證明余弦定理外，我們還可以用坐標(biāo)法或正弦定理來解決(1)坐標(biāo)法：如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，AC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，C的坐標(biāo)分別為A(0,0)，B(ccos A，csin A)，C(b,0)，根據(jù)兩點間的距離公式，得a|BC|，a2c2cos2A2bccos Ab2c2sin2A，即a2b2c22bccos A同理可得b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C(2)(用正弦定理證明)因為a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以b2c22bccos A4R2(sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A)4R2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos (BC)4R2(sin2Bsin2C2sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos Bcos C)4R2sin2B(1sin2C)sin2C(1sin2B)2sin Bsin Ccos Bcos C4R2(sin2Bcos2C2sin Bsin Ccos Bcos Csin2Ccos2B)4R2sin2(BC)4R2sin2Aa2.同理可證b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C題型一 用余弦定理解三角形【例1】在ABC中：(1)a1，b1，C120，求c；(2)a3，b4，c，求最大角；(3)abc12，求A，B，C分析：(1)直接利用余弦定理即可；(2)在三角形中，大邊對大角；(3)可設(shè)三邊為x，x,2x.反思：(1)本例為余弦定理的最基本應(yīng)用，要在此基礎(chǔ)上熟練地掌握余弦定理的結(jié)構(gòu)特征(2)對于第(3)小題，根據(jù)已知條件，設(shè)出三邊長，由余弦定理求出A，進而求出其余兩角另外也可由邊長關(guān)系，判斷出C為直角，再求角題型二 判斷三角形的形狀【例2】在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，試確定ABC的形狀分析：利用余弦定理先求出A60，再根據(jù)三角變換公式求得BC反思：(1)判斷三角形的形狀是看該三角形是否為某特殊的三角形(如銳角、直角、鈍角、等腰、等邊三角形等)(2)對于給出條件是邊角關(guān)系混合在一起的問題，一般地，應(yīng)運用正弦定理和余弦定理，要么統(tǒng)一為邊的關(guān)系，要么統(tǒng)一為角的關(guān)系再利用三角形的有關(guān)知識、三角恒等變形方法、代數(shù)恒等變形方法進行轉(zhuǎn)化、化簡，從而得出結(jié)論(3)常見結(jié)論：設(shè)a，b，c分別是ABC的角A，B，C的對邊，若a2b2c2，則C90；若a2b2c2，則C90；若a2b2c2，則C90；若sin 2Asin 2B，則AB或AB.題型三 三角形的面積公式的應(yīng)用【例3】在ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.求：(1)B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積分析：先由余弦定理求出B，再結(jié)合條件列方程求出ac，利用面積公式求出ABC的面積反思：求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊及夾角的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用題型四 正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】(2011山東高考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求邊a.分析：(1)利用正弦定理及三角變換公式對已知等式進行化簡即可；(2)利用余弦定理列出方程，并且用上(1)中的結(jié)論即可求出a.反思：正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用關(guān)鍵要明確已知的邊和角及所求，正弦定理尤其在邊角轉(zhuǎn)化方面功能顯著余弦定理的使用要注意選擇好“第三邊”，這樣才能列出有效的方程，再者要熟練掌握三角變換公式，這在解三角形中經(jīng)常用到題型五 易錯辨析【例5】在銳角ABC中，b1，c2，則a的取值范圍是()A1a3 B1aCa D不確定錯解：由三角形的性質(zhì)，知cba，得a1.又A為銳角，從而cos A0，得0a.所以1a.故選B錯因分析：上述解法忽視了三角形三個內(nèi)角的關(guān)系，即ABC180，cos A0只能推出A為銳角，而不能推出ABC一定為銳角三角形，因為ABC180，所以當(dāng)ABC為銳角三角形時，不僅cos A0，還必須滿足cos B0，cos C0.【例6】在ABC中，已知a2，b2，C15，求A錯解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C4822284，所以c.又由正弦定理，得sin A.因為0A180，所以A30或150.錯因分析：沒有注意到ba這一隱含條件，致使增解1在ABC中，bcos Aacos B，則三角形的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C等腰三角形 D等邊三角形2在ABC中，已知三邊a，b，c滿足(abc)(abc)3ab，則C等于()A15 B30C45 D603在ABC中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，如果bc2，A60，ABC的面積為，那么a為()A BC10 D64在ABC中，AB3，BC，AC4，則sin A_.5(2012北京昌平高三一模)在ABC中，cos 2Acos2 Acos A(1)求角A的大??；(2)若a3，sin B2sin C，求SABC答案：基礎(chǔ)知識梳理1b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍【做一做11】由余弦定理，得AC21222212cos 603.AC.【做一做12】602(1)直角銳角鈍角(2)求三個角第三邊兩個角a2b2c22bccos A【做一做21】D【做一做22】等腰3(2)bcsin Aacsin B【做一做31】4【做一做32】6典型例題領(lǐng)悟【例1】解：(1)由余弦定理，得c2a2b22abcos C1212211()3，c.(2)顯然C最大cos C，C120.(3)由于abc12，可設(shè)ax，bx，c2x.由余弦定理，得cos A，A30.同理cos B，cos C0，B60，C90.【例2】解：(abc)(bca)3bc，a2b2c2bc.而a2b2c22bccos A，2cos A1.cos AA60.又sin Asin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C，sin A2sin Bcos C，sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin (BC)0，BC.又BC120，ABC60.故ABC為等邊三角形【例3】解：(1)，整理，得a2c2b2ac，cos B，從而B120.(2)由(1)得a2c2ac13.又ac4，a2c22ac16.由，得ac3，SABCacsin B3sin 120.【例4】解：(1)由正弦定理，得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以，即sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，即有sin (AB)2sin (BC)，即sin C2sin A，所以2.(2)由(1)知2，即c2a，又因為b2，所以由余弦定理，得：b2a2c22accos B，即224a2a22a2a，解得a1.【例5】C正解：由三角形的性質(zhì)，知cba，得a1.又由cos A0，得0a.由cos B0，得aR.由cos C0，得a.綜上，知a.【例6】正解：由余弦定理，得c2a2b22abcos C84，所以c.又由正弦定理，得sin A.因