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中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例任意角的三角函數(shù)(第1課時(shí))鉛山三中 俞旭安一、 情境描述第一部分情景引入問題1:如圖是一個(gè)摩天輪,假設(shè)它的中心離地面的高度為,它的直徑為2R,逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要360秒,若現(xiàn)在你坐在座艙中,從初始位置OA出發(fā)(如圖1所示),過(guò)了30秒后,你離地面的高度為多少?過(guò)了45秒呢?過(guò)了秒呢?【設(shè)計(jì)意圖】:高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識(shí),因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材,此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的理解。這個(gè)數(shù)學(xué)模型很好融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義,也能放在直角坐標(biāo)系中,很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過(guò)渡,揭示函數(shù)的本質(zhì)。第二部分復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)讓學(xué)生自主思考如何解決問題:“過(guò)了30秒后,你離地面的高度為多少?”【分析】:作圖如圖2很容易知道:從起始位置OA運(yùn)動(dòng)30秒后到達(dá)P點(diǎn)位置,由題意知,作PH垂直地面交OA于M,又知MH,所以本問題轉(zhuǎn)變成求PH,再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M。要求PM就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2:銳角的正弦函數(shù)如何定義?【學(xué)生自主探究】:學(xué)生很容易得到所以學(xué)生很自然得到“過(guò)了30秒后,過(guò)了45秒,你離地面的高度為多少?”【教師總結(jié)】:在銳角的范圍中,第三部分引入新課問題3:請(qǐng)問的范圍呢?隨著時(shí)間的推移,你離地面的高度為多少?能不能猜想?【分析】:若想做到這一點(diǎn),就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來(lái)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)。問題4:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角的正弦函數(shù)的定義嗎?能否也定義其它函數(shù)(余弦、正切)?【學(xué)生自主探究】:,問題5:改變終邊上的點(diǎn)的位置,這三個(gè)比值會(huì)改變嗎?為什么?【分析】:先由學(xué)生回答問題,教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn),計(jì)算比值,獲得具體認(rèn)識(shí),并由相似三角形的性質(zhì)證明?!驹O(shè)計(jì)意圖】:讓學(xué)生深刻理解體會(huì)三角函數(shù)值不會(huì)隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改變而改變,只與角有關(guān)系。通過(guò)摩天輪的演示,讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。問題6:大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義,能否也給出第二象限角的正弦函數(shù)的定義呢?【學(xué)生自主探究】:學(xué)生通過(guò)上面已知知識(shí)得到學(xué)生定義好第二象限角后,讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時(shí),離地面的高度?通過(guò)摩天輪知道:由此得到:【設(shè)計(jì)意圖】:通過(guò)這個(gè),讓學(xué)生檢驗(yàn)在第二象限角是否正確?問題7:在第三象限角或第四象限能成立嗎?【設(shè)計(jì)意圖】:讓學(xué)生通過(guò)模型,檢驗(yàn)定義是否正確,從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號(hào)的偏差。(可以讓學(xué)生取,從而得到,發(fā)現(xiàn)這與不相符,實(shí)際上是)【教師總結(jié)】:我們通過(guò)這個(gè)模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計(jì)算自已此時(shí)離地面的高度,用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示,當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng),角度的概念也不知不覺地推廣到任意角,對(duì)于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對(duì)邊的長(zhǎng)度比斜邊長(zhǎng)度了,我更應(yīng)該用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來(lái)代替或,那么這樣就能夠很好表示出任意角的正弦函數(shù)的定義。第三部分給出任意角三角函數(shù)的定義如圖3,已知點(diǎn)為角終邊上的點(diǎn),點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為R,則 () () ()【分析】:讓學(xué)生通過(guò)剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn):點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。問題8:當(dāng)摩天輪的半徑R1時(shí),三角函數(shù)的定義會(huì)發(fā)生怎樣的變化?!緦W(xué)生自主探究】:,。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比,學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化。教師進(jìn)一步給出單位圓的定義給出下列表格,讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。三角函數(shù)定義一:定義二:定義域及時(shí)歸納總結(jié)有利學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握。第三部分例題講解例1.(課本P14例2)已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),求角的正弦、余弦和正切值?!痉治觥浚鹤寣W(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣,得用上面的定義二就可以得到答案。例2.(課本P14例1)求的正弦、余弦和正切值?!緦W(xué)生自主探究】:讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對(duì)比一下,發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)?!窘處熤v解】:本題題意很簡(jiǎn)單,但是如何入手卻是難點(diǎn),關(guān)鍵是對(duì)本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒有領(lǐng)會(huì)清楚(任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn):點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離),因此本題的重點(diǎn)之處是如何利用單位圓找到這個(gè)點(diǎn)P,如圖4可以知道,又點(diǎn)P在第四象限,得到,這樣就可以很容易得到本題答案。不妨讓學(xué)生取,能否也得到點(diǎn)P的坐標(biāo),得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的定義。第四部分鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。練習(xí)2.問題9:通過(guò)觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn),三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同,請(qǐng)說(shuō)說(shuō)三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號(hào)?獨(dú)立完成課本P15的“探究”?!驹O(shè)計(jì)意圖】:練習(xí)1、練習(xí)2的設(shè)計(jì)與例2、例3銜接,主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征,引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法。并在特殊情形中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。第五部分小結(jié)與作業(yè)學(xué)生自我總結(jié)作業(yè):P23習(xí)題1.2A組 1,2,3二、 教學(xué)反思和分析上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過(guò)程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義:1. 教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪,認(rèn)知過(guò)程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律具體到抽象,現(xiàn)象到本質(zhì),特殊到一般,這樣有利學(xué)生的思考。2. 情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義,也能很好地引入到直角坐標(biāo)系中,很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過(guò)渡,同時(shí)能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。3. 通過(guò)問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過(guò)程,讓學(xué)生在情境中活動(dòng),在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會(huì)的聯(lián)系、新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值,它滲透了蘊(yùn)涵在知識(shí)中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略,使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時(shí),在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。4. 標(biāo)準(zhǔn)把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)作為其目標(biāo)之一, 在教學(xué)中不僅要突出知識(shí)的來(lái)龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間, 促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過(guò)程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),使其上升為一種數(shù)學(xué)意識(shí),自覺地對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問題的過(guò)程中體

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