小學(xué)奧數(shù)36個(gè)經(jīng)典（1-2）.doc

第1講 計(jì)算綜合（一） 繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，涉及分?jǐn)?shù)與小數(shù)的定義新運(yùn)算問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)的計(jì)算問(wèn)題 1繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算必須注意多級(jí)分?jǐn)?shù)的處理，如下所示： 甚至可以簡(jiǎn)單地說(shuō)：“先算短分?jǐn)?shù)線的，后算長(zhǎng)分?jǐn)?shù)線的”找到最長(zhǎng)的分?jǐn)?shù)線，將其上視為分子，其下視為分母 2一般情況下進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘、除運(yùn)算使用真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)，而不使用帶分?jǐn)?shù)所以需將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù) 3某些時(shí)候?qū)⒎謹(jǐn)?shù)線視為除號(hào)，可使繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更加直觀 4對(duì)于定義新運(yùn)算，我們只需按題中的定義進(jìn)行運(yùn)算即可 5本講要求大家對(duì)分?jǐn)?shù)運(yùn)算有很好的掌握，可參閱思維導(dǎo)引詳解五年級(jí) 第1講 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)1計(jì)算：【分析與解】原式=2計(jì)算：【分析與解】 注意，作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子、分母均含有于是，我們想到改變運(yùn)算順序，如果分子與分母在后的兩個(gè)數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果一致，那么作為被除數(shù)的這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的值為1；如果不一致，也不會(huì)增加我們的計(jì)算量所以我們決定改變作為被除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序 而作為除數(shù)的繁分?jǐn)?shù)，我們注意兩個(gè)加數(shù)的分母相似，于是統(tǒng)一通分為19950.5 具體過(guò)程如下：原式=3計(jì)算：【分析與解】原式=4計(jì)算：已知=，則x等于多少?【分析與解】方法一：交叉相乘有88x+66=96x+56，x=125方法二：有，所以；所以，那么1.25 5求這10個(gè)數(shù)的和 【分析與解】方法一： = = = =. 方法二：先計(jì)算這10個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十位數(shù)字和為49=36，加上個(gè)位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百位數(shù)字和為48=32，加上十位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千位數(shù)字和為47=28，加上百位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的萬(wàn)位數(shù)字和為46=24，加上千位的進(jìn)位的3，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十萬(wàn)位數(shù)字和為45=20，加上萬(wàn)位的進(jìn)位的2，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的百萬(wàn)位數(shù)字和為44=16，加上十萬(wàn)位的進(jìn)位的2，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的千萬(wàn)位數(shù)字和為43=12，加上百萬(wàn)位的進(jìn)位的1，為； 再計(jì)算這10個(gè)數(shù)的億位數(shù)字和為42=8，加上千萬(wàn)位的進(jìn)位的1，為；最后計(jì)算這10個(gè)數(shù)的十億位數(shù)字和為41=4，加上億位上沒有進(jìn)位，即為所以，這10個(gè)數(shù)的和為4938271591 6.如圖1-1，每一線段的端點(diǎn)上兩數(shù)之和算作線段的長(zhǎng)度，那么圖中6條線段的長(zhǎng)度之和是多少? 【分析與解】 因?yàn)槊總€(gè)端點(diǎn)均有三條線段通過(guò)，所以這6條線段的長(zhǎng)度之和為： 7.我們規(guī)定，符號(hào)“”表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：352.9=2.93.5=3.5符號(hào)“”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：3.52.9=2.93.5=2.9請(qǐng)計(jì)算：【分析與解】原式 8規(guī)定（3）=234，（4）=345，(5)=456，(10)=91011，如果，那么方框內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是多少?【分析與解】=. 9從和式中必須去掉哪兩個(gè)分?jǐn)?shù)，才能使得余下的分?jǐn)?shù)之和等于1?【分析與解】 因?yàn)?，所?的和為l，因此應(yīng)去掉與. 10如圖1-2排列在一個(gè)圓圈上10個(gè)數(shù)按順時(shí)針次序可以組成許多個(gè)整數(shù)部分是一位的循環(huán)小數(shù)，例如1.892915929那么在所有這種數(shù)中。最大的一個(gè)是多少?【分析與解】 有整數(shù)部分盡可能大，十分位盡可能大，則有92918較大，于是最大的為 11請(qǐng)你舉一個(gè)例子，說(shuō)明“兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的和可以是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，而且這三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母誰(shuí)也不是誰(shuí)的約數(shù)”. 【分析與解】 有， 評(píng)注：本題實(shí)質(zhì)可以說(shuō)是尋找孿生質(zhì)數(shù)，為什么這么說(shuō)呢? 注意到，當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)a、b、c兩兩互質(zhì)時(shí)，顯然滿足題意 顯然當(dāng)a、b、c為質(zhì)數(shù)時(shí)一定滿足，那么兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于另一個(gè)質(zhì)數(shù)，必定有一個(gè)質(zhì)數(shù)為2，不妨設(shè)a為2，那么有，顯然b、c為一對(duì)孿生質(zhì)數(shù) 即可得出一般公式：，c與c+2均為質(zhì)數(shù)即可. 12計(jì)算： 【分析與解】原式=.13已知.問(wèn)a的整數(shù)部分是多少？ 【分析與解】 =.因?yàn)樗?同時(shí)所以a.綜上有a所以a的整數(shù)部分為10114問(wèn)與相比，哪個(gè)更大，為什么?【分析與解】方法一：令，有.而B中分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的都比A中的分?jǐn)?shù)大，則它們的乘積也是BA，有AA4B，所以有AA，那么A即與相比，更大方法二：設(shè)，則=，顯然、都是小于1的，所以有A2，于是A.15下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘：?jiǎn)枺撼朔e的各位數(shù)字之和是多少?【分析與解】在算式中乘以9，再除以9，則結(jié)果不變因?yàn)槟鼙?整除，所以將一個(gè)乘以9，另一個(gè)除以9，使原算式變成：= 得到的結(jié)果中有19809=220個(gè)“123456790”和“987654320”及一個(gè)“12345678”和一個(gè)“987654321”，所以各位數(shù)之和為：+評(píng)注：1111111119=12345679； M的數(shù)字和為9k(其中M)可以利用上面性質(zhì)較快的獲得結(jié)果第2講 計(jì)算綜合（二） 本講主要是補(bǔ)充計(jì)算綜合(I)未涉及和涉及不深的問(wèn)題，但不包括多位數(shù)的運(yùn)算 1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3； 2從1開始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)的平方和的計(jì)算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1 已知a=試比較a、b的大小.【分析與解】其中A=99,B=99+因?yàn)锳98+，所以有a b2.試求的和？【分析與解】 記則題目所要求的等式可寫為：而所以原式的和為1評(píng)注：上面補(bǔ)充的兩例中體現(xiàn)了遞推和整體思想2 試求1+2+3+4+4+100的值?【分析與解】 方法一：利用等差數(shù)列求和公式，(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下兩個(gè)數(shù)相加都是101，并且有100組，所以兩倍原式的和為101100，那么原式的和為10l100 2=5050方法三：整數(shù)裂項(xiàng)(重點(diǎn))， 原式=(12+22+32+42+1002)2=5050.3 試求l2+23+34+45+56+99100 【分析與解】方法一：整數(shù)裂項(xiàng)原式=(123+233+343+453+563+991003)3 =123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = =328350+4950 =3333005計(jì)算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 【分析與解】這個(gè)題看上去是一個(gè)關(guān)于小數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上我們可以先把它們變成整數(shù)，然后再進(jìn)行計(jì)算即先計(jì)算13+24+35+46+9799+98100。再除以100方法一：再看每一個(gè)乘法算式中的兩個(gè)數(shù)，都是差2，于是我們?nèi)菀紫氲搅秧?xiàng)的方法 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=(9899100+9899)100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=(99100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 評(píng)注：首先，我們要清楚數(shù)與數(shù)之間是相通的，小數(shù)的計(jì)算與整數(shù)的計(jì)算是有聯(lián)系的下面簡(jiǎn)單介紹一下整數(shù)裂項(xiàng) 12+23+34+(n-1)n=123+233+343+(n-1)n3=123+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2)=6.計(jì)算下列式子的值： 【分析與解】 雖然很容易看出可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因?yàn)檫@不像分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)我們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我們又有減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰