1.3.3 函數的最值與導數.doc

選修2-2 1.3.3 函數的最值與導數一、選擇題1函數yf(x)在區(qū)間a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，則f(x)()A等于0B大于0C小于0 D以上都有可能答案A解析Mm，yf(x)是常數函數f(x)0，故應選A.2設f(x)x4x3x2在1,1上的最小值為()A0B2 C1 D.答案A解析yx3x2xx(x2x1)令y0，解得x0.f(1)，f(0)0，f(1)f(x)在1,1上最小值為0.故應選A.3函數yx3x2x1在區(qū)間2,1上的最小值為()A. B2 C1 D4答案C解析y3x22x1(3x1)(x1)令y0解得x或x1當x2時，y1；當x1時，y2；當x時，y；當x1時，y2.所以函數的最小值為1，故應選C.4函數f(x)x2x1在區(qū)間3,0上的最值為()A最大值為13，最小值為B最大值為1，最小值為4C最大值為13，最小值為1D最大值為1，最小值為7答案A解析yx2x1，y2x1，令y0，x，f(3)13，f，f(0)1.5函數y在(0,1)上的最大值為()A. B1 C0 D不存在答案A解析y由y0得x，在上y0，在上y0.x時y極大，又x(0,1)，ymax.6函數f(x)x44x (|x|1)()A有最大值，無最小值B有最大值，也有最小值C無最大值，有最小值D既無最大值，也無最小值答案D解析f(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)該方程無解，故函數f(x)在(1,1)上既無極值也無最值故選D.7函數y2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分別是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16答案A解析y6x26x126(x2)(x1)，令y0，得x2或x1(舍)f(0)5，f(2)15，f(3)4，ymax5，ymin15，故選A.8已知函數yx22x3在a,2上的最大值為，則a等于()A B.C D.或答案C解析y2x2，令y0得x1.當a1時，最大值為f(1)4，不合題意當1a2時，f(x)在a,2上單調遞減，最大值為f(a)a22a3，解得a或a(舍去)9若函數f(x)x312x在區(qū)間(k1，k1)上不是單調函數，則實數k的取值范圍是()Ak3或1k1或k3B3k1或1k3C2k0得函數的增區(qū)間是(，2)和(2，)，由y0，得函數的減區(qū)間是(2,2)，由于函數在(k1，k1)上不是單調函數，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k0得x，由y0得x時，函數為增函數，當2x時，函數為減函數，所以無最大值，又因為f(2)57，f28，所以最小值為28.13若函數f(x)(a0)在1，)上的最大值為，則a的值為_答案1解析f(x)令f(x)0，解得x或x(舍去)當x時，f(x)0；當0x0；當x時，f(x)，0得x2或x2，由f(x)0得2x2.f(x)在3，2上單調遞增，在2,2上單調遞減，在2,3上單調遞增又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，最大值M24，最小值m8，Mm32.三、解答題15求下列函數的最值：(1)f(x)sin2xx；(2)f(x)x.解析(1)f(x)2cos2x1.令f(x)0，得cos2x.又x，2x，2x，x.函數f(x)在上的兩個極值分別為f，f.又f(x)在區(qū)間端點的取值為f，f.比較以上函數值可得f(x)max，f(x)min.(2)函數f(x)有意義，必須滿足1x20，即1x1，函數f(x)的定義域為1,1f(x)1(1x2)(1x2)1 .令f(x)0，得x .f(x)在1,1上的極值為f.又f(x)在區(qū)間端點的函數值為f(1)1，f(1)1，比較以上函數值可得f(x)max，f(x)min1.16設函數f(x)ln(2x3)x2.求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解析f(x)的定義域為.f(x)2x.當x0；當1x時，f(x)時，f(x)0，所以f(x)在上的最小值為fln2.又fflnlnlnln21且x0時，exx22ax1.分析本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調區(qū)間，求函數的極值和證明函數不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力解題思路是：(1)利用導數的符號判定函數的單調性，進而求出函數的極值(2)將不等式轉化構造函數，再利用函數的單調性證明解析(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)單調遞減2(1ln2a)單調遞增故f(x)的單調遞減區(qū)間是(，ln2)，單調遞增區(qū)間是(ln2，)，f(x)在xln2處取得極小值，極小值為f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)證明：設g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當aln21時，g(x)最小值為g(ln2)2(1ln2a)0.于是對任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R內單調遞增于是當aln21時，對任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.18已知函數f(x)，x0,1(1)求f(x)的單調區(qū)間和值域；(2)設a1，函數g(x)x33a2x2a，x0,1若對于任意x10,1，總存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范圍解析(1)對函數f(x)求導，得f(x)令f(x)0解得x或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)43所以，當x(0，)時，f(x)是減函數；當x時，f(x)是增函數當x0,1時，f(x)的值域為4，3(2)g(x)3(x2a2)因為a1，當x(0,1)時，g(x)0.因此當x(0,1)時，g(x)為減函數，從而當x0,1時有g(x)g(1)，