北師大版必修四 3.2兩角和與差的三角函數(shù)2 教案.doc

3.2兩角和與差的三角函數(shù)2一、教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力過程與方法：通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學(xué)生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)二重點難點重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)難點：靈活運用所學(xué)公式進行求值、化簡、證明三、教材與學(xué)情分析1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的在這些公式的推導(dǎo)中，教 書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點，如比較cos()與cos()，它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即()的關(guān)系，從而由公式c()推得公式c()，又如比較sin()與cos()，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式(5)(6)即可推得公式s()、s()等2本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進行引導(dǎo)，例如在面對問題時，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的四、教學(xué)方法 問題引導(dǎo)，主動探究，啟發(fā)式教 五、教學(xué)過程1、導(dǎo)入新課思路1.(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片，注意有意識地讓學(xué)生寫整齊然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos()與cos()、sin()的內(nèi)在聯(lián)系，進行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)出c()、s()、s()本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用思路2.(問題導(dǎo)入)教師出示問題，先讓學(xué)生計算以下幾個題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備若sin，(0，)，cos，(0，)，求cos()，cos()的值學(xué)生利用公式c()很容易求得cos()，但是如果求cos()的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式c()的形式來求，此時思路受阻，從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式2、還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學(xué)到黑板上默寫出來在公式c()中，角是任意角，請學(xué)生思考角中換成角是否可以？此時觀察角與()之間的聯(lián)系，如何利用公式c()來推導(dǎo)cos()？分析觀察c()的結(jié)構(gòu)有何特征？在公式c()、c()的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin()？sin()？公式s()、s()的結(jié)構(gòu)特征如何？對比分析公式c()、c()、s()、s()，能否推導(dǎo)出tan()？tan()？分析觀察公式t()、t()的結(jié)構(gòu)特征如何？思考如何靈活運用公式解題？活動：對問題，學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點撥學(xué)生思考公式中的，既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos()與cos()中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會發(fā)現(xiàn)中的角可以變?yōu)榻?，所?)也有的會根據(jù)加減運算關(guān)系直接把和角化成差角()的形式這時教師適時引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式c()上來，這樣就很自然地得到cos()cos()coscos()sinsin()coscossinsin.所以有如下公式：我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作c()對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式c()的結(jié)構(gòu)特征，可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學(xué)生對比公式c()進行記憶，并填空：cos75cos(_)_.對問題，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式(5)(6)來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2cos21來互化，此法讓學(xué)生課下進行)，因此有sin()cos()cos()cos()cossin()sinsincoscossin.在上述公式中，用代之，則sin()sin()sincos()cossin()sincoscossin.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為s()、s()sin（sincoscossin， sin（）sincoscossin.對問題，教師恰時恰點地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進行記憶，同時進一步體會本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美為強化記憶，教師可讓學(xué)生填空，如sin()_，sincoscossin_.對問題，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式c()、c()、s()、s()后，自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan()？，tan()？呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到在學(xué)生探究推導(dǎo)時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來當(dāng)cos()0時，tan().如果coscos0，即cos0且cos0時，分子、分母同除以coscos得tan()，據(jù)角、的任意性，在上面的式子中，用代之，則有tan().由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為t()、t()tan（），tan（）.對問題，讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中、的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知，、都不能等于 ( )，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶對問題，教師與學(xué)生一起歸類總結(jié)，我們把前面六個公式分類比較可得c()、s()、t()叫和角公式；s()、c()、t()叫差角公式并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個公式的推導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖可讓學(xué)生自己畫出這六個框圖通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運用這些公式同時教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用如兩角和與差的正切公式的變形式tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)，在化簡求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過程大大簡化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美對于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tan，tan或tan()的值不存在時，不能使用t( )處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡tan()，因為tan的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan()來處理等3. 例1已知sin，是第四象限角，求sin()，cos()，tan()的值活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對問題時要注意認(rèn)真分析條件，明確要求再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進行等例如本題中，要先求出cos，tan的值，才能利用公式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨立完成解：由sin，是第四象限角，得cos.tan. 于是有sin()sincoscossin()，cos()coscossinsin()，tan()7.點評：本例是運用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣變式訓(xùn)練1. 不查表求cos75，tan105的值解：cos75cos(4530)cos45cos30sin45sin30，tan105tan(6045)(2)2設(shè)(0，)，若sin，則sin()等于( )a. b. c. d4答案：a例2已知sin，(，)，cos，(，)求sin()，cos()，tan()活動：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c撥，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系根據(jù)公式s()、c()、t()應(yīng)先求出cos、sin、tan、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號解：由sin，(，)，得cos，tan.又由cos，(，)，得sin，tan.sin()sincoscossin()()().cos()coscossinsin()()().tan().點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運算能力.變式訓(xùn)練2.引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強學(xué)生的應(yīng)用意識解：設(shè)電視發(fā)射塔高cdx米，cab，則sin，在rtabd中，tan(45)tan.于是x30，又sin，(0，)，cos，tan.tan(45)3，x30150(米)答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.例3在abc中，sina(0a45)，cosb(45b90)，求sinc與cosc的值活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的同時也能加強學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一隱含條件解：在abc中，abc180，c180(ab)又sina且0a45，cosa. 又cosb且45b90，sinb.sincsin180(ab)sin(ab)sinacosbcosasinb，cosccos180(ab)cos(ab)sinasinbcosacosb.點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，也使學(xué)生更加認(rèn)識了公式的作用，解決三角形問題時，要注意三角形內(nèi)角和等于180這一隱含條件.變式訓(xùn)練3.在abc中，已知sin(ab)cosbcos(ab)sinb1，則abc是( )a銳角三角形 b鈍角三角形c直角三角形 d等腰非直角三角形答案：c六、課堂小結(jié)1先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，有哪些收獲與提高，在公式推導(dǎo)中你悟出了什么樣的數(shù)學(xué)思想？對于這六個公式應(yīng)如何對比記憶？其中正切公式的應(yīng)用有什么條件限制？怎樣用公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明2教師畫龍點睛：我們本節(jié)課要理解并掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)，明白從已知推得未知，理解數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，并要正確熟練地運用公式解題在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟，領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法之目的七、課后作業(yè)1.課時練與測八、教學(xué)反思1本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，是在兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上進行的，因此本教案的設(shè)計流程是“提出問題轉(zhuǎn)化推導(dǎo)分析記憶應(yīng)用訓(xùn)練”它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體，進行主動探索數(shù)