蘇教版選修21 第三章 3.2.3　空間的角的計(jì)算 學(xué)案.doc

3.2.3空間的角的計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解決空間角的計(jì)算問題.3.體會(huì)空間向量解決立體幾何問題的三步曲知識(shí)點(diǎn)一空間角的計(jì)算(向量法)空間三種角的向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為，它們的方向向量為a，b，則cos|cosa，b|.直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面所成的角為，l的方向向量為e，平面的法向量為n，則sin|cose，n|二面角設(shè)二面角l為，平面，的法向量分別為n1，n2，則|cos|cosn1，n2|.0，知識(shí)點(diǎn)二向量法求線面角、二面角的原理1向量法求直線與平面所成角的原理?xiàng)l件直線l(方向向量為e)與平面(法向量為n)所成的角為圖形關(guān)系e，n，e，ne，n，e，n計(jì)算sin|cose，n|2.向量法求二面角的原理?xiàng)l件平面，的法向量分別為n1，n2，所構(gòu)成的二面角的大小為，n1，n2圖形關(guān)系計(jì)算coscoscoscos1兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等()2若向量n1，n2分別為二面角的兩個(gè)半平面的法向量，則二面角的平面角的余弦值為cosn1，n2.()3直線與平面所成角的范圍為.()類型一求兩條異面直線所成的角例1如圖，在三棱柱oab-o1a1b1中，平面obb1o1平面oab，o1ob60，aob90，且oboo12，oa，求異面直線a1b與ao1所成角的余弦值的大小解以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則o(0,0,0)，o1(0,1，)，a(，0,0)，a1(，1，)，b(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，|.異面直線a1b與ao1所成角的余弦值為.反思與感悟在解決立體幾何中兩異面直線所成角的問題時(shí)，若能構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解但應(yīng)用向量法時(shí)一定要注意向量所成角與異面直線所成角的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1已知正方體abcd-a1b1c1d1中，e，f分別是a1d1，a1c1的中點(diǎn)，求異面直線ae與cf所成角的余弦值解不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以d點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別取da，dc，dd1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(2,0,0)，c(0,2,0)，e(1,0,2)，f(1,1,2)，則(1,0,2)，(1，1,2)，|，|，1043.又|cos，cos，cos，異面直線ae與cf所成角的余弦值為.類型二求直線和平面所成的角例2已知正三棱柱abc-a1b1c1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為a，求ac1與側(cè)面abb1a1所成的角解以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，aa1所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，b(0，a,0)，a1(0,0，a)，c1，方法一取a1b1的中點(diǎn)m，則m，連結(jié)am，mc1，有，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，則mc1ab，mc1aa1，又abaa1a，ab，aa1平面abb1a1，mc1平面abb1a1.c1am是ac1與側(cè)面abb1a1所成的角由于，02a2，|a，|a，cos，.，0，180，30，又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，ac1與側(cè)面abb1a1所成的角為30.方法二(0，a,0)，(0,0，a)，.設(shè)側(cè)面abb1a1的法向量為n(，y，z)，即yz0.故n(，0,0)，cos，n，|cos，n|.又直線與平面所成的角在0，90范圍內(nèi)，ac1與側(cè)面abb1a1所成的角為30.反思與感悟用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再用向量的有關(guān)知識(shí)求解線面角方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再進(jìn)行換算跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，已知直角梯形abcd，其中abbc2ad，as平面abcd，adbc，abbc，且asab.求直線sc與底面abcd的夾角的余弦值解由題設(shè)條件知，以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ad，ab，as所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)設(shè)ab1，則a(0,0,0)，b(0,1,0)，c(1,1,0)，d，s(0,0,1)，(0,0,1)，(1，1,1)顯然是底面abcd的法向量，它與已知向量的夾角90，故有sincos，0，90，cos.類型三求二面角例3在底面為平行四邊形的四棱錐p-abcd中，abac，pa平面abcd，且paab，e是pd的中點(diǎn)，求平面eac與平面abcd的夾角解方法一如圖，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ac，ab，ap所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)paaba，acb，連結(jié)bd與ac交于點(diǎn)o，取ad的中點(diǎn)f，則c(b,0,0)，b(0，a,0)，.d(b，a,0)，p(0,0，a)，e，o，(b,0,0)0，0，.eof為平面eac與平面abcd的夾角(或補(bǔ)角)cos，.又，0，180，平面eac與平面abcd的夾角為45.方法二建系如方法一，pa平面abcd，(0,0，a)為平面abcd的法向量，(b,0,0)設(shè)平面aec的法向量為m(x，y，z)由得x0，yz，取m(0,1,1)，cosm，.又m，0，180，平面aec與平面abcd的夾角為45.反思與感悟1.當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時(shí)，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可求出，有時(shí)不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論，因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是明顯的.2.注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，abac2，a1a4，點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)(1)求異面直線a1b與c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值解(1)以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ab，ac，aa1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz，則a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,0,4)，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因?yàn)閏os，又異面直線所成角的范圍為，所以異面直線a1b與c1d所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面adc1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1,1,0)，(0,2,4)，所以即取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面adc1的法向量同理，取平面aba1的法向量為n2(0,1,0)設(shè)平面adc1與平面aba1所成二面角的大小為，由|cos|，得sin.所以平面adc1與平面aba1所成二面角的正弦值為.1在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，1,3)，(2,2,4)，則這個(gè)二面角的余弦值為_答案解析由，可知這個(gè)二面角的余弦值為或.2已知a，b是異面直線，a，ba，c，db，acb，bdb，且ab2，cd1，則a與b所成的角是_答案60解析，()201201，又|2，|1.cos，.異面直線所成的角是銳角或直角，a與b所成的角是60.3已知在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，則cd與平面bdc1所成角的正弦值是_答案解析以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)aa12ab2，則b(1,1,0)，c(0,1,0)，d(0,0,0)，c1(0,1,2)，故(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,0)，設(shè)平面bdc1的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則y2，x2，所以n(2，2,1)設(shè)直線cd與平面bdc1所成的角為，則sin|cosn，|.4在矩形abcd中，ab1，bc，pa平面abcd，pa1，則pc與平面abcd所成的角是_答案30解析以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則p(0,0,1)，c(1，0)，(1，1)，平面abcd的一個(gè)法向量為n(0,0,1), 所以cos，n，又因?yàn)?，n0，180，所以，n120，所以斜線pc與平面abcd的法向量所在直線所成的角為60，所以斜線pc與平面abcd所成的角是30.向量法求角(1)兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角求得，即cos|cos|.(2)直線與平面所成的角可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin|cos|或cossin.(3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩個(gè)法向量的夾角或其補(bǔ)角一、填空題1若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150，則l1與l2這兩條異面直線所成的角為_答案30解析異面直線所成角的范圍是(0，90，所以l1與l2這兩條異面直線所成的角為18015030.2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為_答案45或135解析cosm，n，即m，n45.所以兩平面所成的二面角為45或135.3設(shè)直線l與平面相交，且l的方向向量為a，的法向量為n，若a，n，則l與所成的角為_答案解析線面角的范圍是.a，n，l與法向量所在直線所成角為，l與所成的角為.4已知在棱長(zhǎng)為2的正方體abcda1b1c1d1中，e是dc的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則ab1與ed1所成角的余弦值為_答案解析a(2,2,0)，b1(2,0,2)，e(0,1,0)，d1(0,2,2)，(0，2,2)，(0,1,2)，|2，|，0242，cos，ab1與ed1所成角的余弦值為.5正方體abcda1b1c1d1中，bb1與平面acd1所成角的余弦值為_答案解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖則d(0,0,0)，b(1,1,0)，b1(1,1,1)平面acd1的一個(gè)法向量為(1,1,1)又(0,0,1)，則cos，.故bb1與平面acd1所成角的余弦值為.6已知在正方體abcda1b1c1d1中，點(diǎn)e是棱a1b1的中點(diǎn)，則直線ae與平面bdd1b1所成角的正弦值為_答案解析以a1為坐標(biāo)原點(diǎn)，a1b1，a1d1，a1a所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則a(0,0,2)，c(2,2,2)，e(1,0,0)，(2,2,0)，(1,0，2)acbd，acbb1，bdbb1b，ac平面bdd1b1，則(2,2,0)是平面bdd1b1的一個(gè)法向量設(shè)直線ae與平面bdd1b1所成的角為，則sin|cos，|.7在正三棱柱abc-a1b1c1中，若abbb1，則ab1與c1b所成角的大小為_答案90解析以a1為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)bb11，則a(0,0,1)，b1，c1(0，0)，b.，10，.即ab1與c1b所成角的大小為90.8如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則bb1與平面ab1c1所成的角的大小為_答案解析如圖所示，取ac的中點(diǎn)o，連結(jié)ob，取a1c1的中點(diǎn)o1，連結(jié)oo1，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc，oo1所在直線分別為y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易得b(，0,0)，a(0，1,0)，c1(0,1,3)，b1(，0,3)，(0,0,3)，(，1,3)，(0,2,3)，設(shè)平面ab1c1的法向量為n(x，y，z)，則即n，設(shè)bb1與平面ab1c1所成的角為，sin|cos，n|，.9.如圖，平面pad平面abcd，abcd為正方形，pad90，且paad2，e，f分別是線段pa，cd的中點(diǎn)，則異面直線ef與bd所成角的余弦值為_答案解析以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ad，ap所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則e(0,0,1)，f(1,2,0)，b(2,0,0)，d(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故cos，.10已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，則cd與平面bdc1所成角的正弦值為_答案解析如圖，以點(diǎn)d1為坐標(biāo)原點(diǎn)，d1a1d1c1，d1d所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)aba，則aa12a，所以d(0,0,2a)，c1(0，a,0)，b(a，a,2a)，c(0，a,2a)設(shè)平面bdc1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則n，n(0，a,0)a，cos，n，設(shè)cd與平面bdc1所成角為，sin.二、解答題11二面角的棱上有a，b兩點(diǎn)，直線ac，bd分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，求該二面角的大小解由條件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2.cos，又，0，180，120，二面角的大小為60.12已知正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2，e，f，g分別是cc1，d1a1，ab的中點(diǎn)，求ga與平面efg所成角的正弦值解如圖，以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則a(2,0,0)，e(0,2,1)，f(1,0,2)，g(2,1,0)(1，2,1)，(2，1，1)，(0，1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面efg的一個(gè)法向量，則由n，n，得即解得xyz.令x1，得n(1,1,1)設(shè)ga與平面efg所成的角為，則sin|cos，n|，ga與平面efg所成角的正弦值為.13.如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，e為ab的中點(diǎn)(1)求異面直線bd1與ce所成的角的余弦值；(2)求二面角a1eca的余弦值解如圖所示，以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da，dc，dd1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ab1，則b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c(0,1,