人教B版選修22 第2章 2.2　直接證明與間接證明 學案.doc

2.2直接證明與間接證明22.1綜合法與分析法1理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點(重點、易混點)2會用綜合法、分析法解決問題(重點、難點)基礎初探教材整理1綜合法閱讀教材p63，完成下列問題1直接證明(1)直接證明是從命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的 、 、 ，直接推證結論的真實性(2)常用的直接證明方法有 與 【答案】1.(1)定義公理定理(2)綜合法分析法2綜合法(1)定義：綜合法是從 推導到 的思維方法，也就是從已知條件出發(fā)，經過逐步的推理，最后達到待證結論(2)符號表示：p0(已知)p1p2pn(結論)【答案】2.(1)原因結果已知a，b，c為正實數(shù)，且abc1，求證：8.證明過程如下：a，b，c為正實數(shù)，且abc1，10，10，10，8，當且僅當abc時取等號，不等式成立這種證法是 (填綜合法、分析法)【解析】本題從已知條件出發(fā)，不斷地展開思考，去探索結論，這種證法是綜合法【答案】綜合法教材整理2分析法閱讀教材p64 p65，完成下列問題1定義：分析法是一種從 追溯到產生這一結果的 的思維方法也就是從待證結論出發(fā)，一步一步尋求結論成立的 條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實2符號表示：b(結論)b1b2bna(已知)【答案】1.結果原因充分判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法()(2)分析法就是從結論推向已知()(3)綜合法的推理過程實際上是尋找它的必要條件的過程分析法的推理過程實際上是尋求結論成立的充分條件的過程()【答案】(1)(2)(3)質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型綜合法的應用(1)在abc中， 已知cos acos bsin asin b，則abc的形狀一定是 (2)已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個根組成一個首項為的等比數(shù)列，則|mn| .(3)下面的四個不等式：a2b23ab(ab)；a(1a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有 【自主解答】(1)cos acos bsin asin b，cos acos bsin asin b0，cos(ab)0，即cos(c)0，cos c0，又0c，c0時，用分析法證明如下：要證(ab)，只需證()22，即證a2b2(a2b22ab)，即證a2b22ab.a2b22ab對一切實數(shù)恒成立，(ab)成立綜上所述，不等式成立1當已知條件簡單而證明的結論比較復雜時，一般采用分析法，在敘述過程中“要證”“只需證”“即要證”這些詞語必不可少，否則會出現(xiàn)錯誤2逆向思考是用分析法證題的主題思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向，使問題順利獲解再練一題2已知a0，1，求證：.【證明】由已知1及a0可知0b，只需證1，只需證1abab1，只需證abab0，即1，即1，這是已知條件，所以原不等式得證探究共研型綜合法與分析法的綜合應用探究1綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？【提示】綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，它們的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，從而得到的每一個結論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”探究2綜合法與分析法有什么區(qū)別？【提示】綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因導果；分析法是從待求結論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因已知abc的三個內角a，b，c為等差數(shù)列，且a，b，c分別為角a，b，c的對邊，求證：(ab)1(bc)13(abc)1.【精彩點撥】先求出角b，然后利用余弦定理轉化為邊之間的關系解決【自主解答】法一：(分析法)要證(ab)1(bc)13(abc)1，即證，只需證3，化簡，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需證c2a2b2ac.因為abc的三個內角a，b，c成等差數(shù)列，所以b60，所以cos b，即a2c2b2ac成立(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(綜合法)因為abc的三內角a，b，c成等差數(shù)列，所以b60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，兩邊加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，兩邊同時除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1.綜合法由因導果，分析法執(zhí)果索因，因此在實際解題時，常常把分析法和綜合法結合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.再練一題3設x1，y1，證明：xyxy.【證明】因為x1，y1，所以要證明xyxy，只需證明xy(xy)1yx(xy)2.將上式中的右式減左式，得yx(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)因為x1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而可得不等式xyxy成立構建體系1下面敘述正確的是()a綜合法、分析法是直接證明的方法b綜合法是直接證法，分析法是間接證法c綜合法、分析法所用語氣都是肯定的d綜合法、分析法所用語氣都是假定的【解析】直接證明包括綜合法和分析法【答案】a2欲證不等式成立，只需證()a()2()2b()2()2c()2()2d()2()2【解析】要證成立，只需證成立，只需證()2()2成立【答案】c3將下面用分析法證明ab的步驟補充完整：要證ab，只需證a2b22ab，也就是證 ，即證 由于 顯然成立，因此原不等式成立【解析】用分析法證明ab的步驟為：要證ab成立，只需證a2b22ab，也就是證a2b22ab0，即證(ab)20.由于(ab)20顯然成立，所以原不等式成立【答案】a2b22ab0(ab)20(ab)204設a0，b0，c0，若abc1，則的最小值為 . 【導學號：05410045】【解析】因為abc1，且a0，b0，c0，所以33222369.當且僅當abc時等號成立【答案】95已知a0，b0，求證：.(要求用兩種方法證明