人教B版選修22 1.4.2 微積分基本定理(二) 學(xué)案.docx

14.2微積分基本定理(二)明目標(biāo)、知重點(diǎn)會(huì)應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積1曲邊梯形的面積(1)當(dāng)xa，b時(shí)，若f(x)0，由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積sf(x)dx.(2)當(dāng)xa，b時(shí)，若f(x)g(x)0，由直線xa，xb(ab)和曲線yf(x)，yg(x)圍成的平面圖形的面積sf(x)g(x)dx.(如圖)探究點(diǎn)一求不分割型圖形的面積思考怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？答求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來(lái)表示面積，然后計(jì)算定積分即可例1求由曲線yx2，直線y2x和yx圍成的圖形的面積解方法一如圖，由和解出o，a，b三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是0,1,2.故所求的面積s(2xx)dx(2xx2)dx0(4)(1).方法二由于點(diǎn)d的橫坐標(biāo)也是2，故s(2xx)dx(x2x)dx2(2)().方法三因?yàn)椋仕蟮拿娣e為s(y)dy()dy(816)().反思與感悟求由曲線圍成圖形面積的一般步驟：(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形；(2)找出范圍，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)將面積用定積分表示；(5)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出結(jié)果跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線yx24與直線yx2所圍成圖形的面積解由得或，所以直線yx2與拋物線yx24的交點(diǎn)為(3,5)和(2,0)，設(shè)所求圖形面積為s，根據(jù)圖形可得s(x2)dx(x24)dx(2xx2)|(x34x)|().探究點(diǎn)二分割型圖形面積的求解思考由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)間位于上方和下方的曲線不同時(shí)，這種圖形的面積如何求？答求出曲線的不同的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分別求出相應(yīng)區(qū)間曲邊梯形的面積再求和，注意在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下例2計(jì)算由直線yx4，曲線y以及x軸所圍圖形的面積s.解方法一作出直線yx4，曲線y的草圖解方程組得直線yx4與曲線y交點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,4)直線yx4與x軸的交點(diǎn)為(4,0)因此，所求圖形的面積為ss1s2dxx|x|(x4)2|.方法二把y看成積分變量，則s(y4y2)dy(y24yy3)|.反思與感悟兩條或兩條以上的曲線圍成的圖形，一定要確定圖形范圍，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，定出積分上、下限，若積分變量選x運(yùn)算較繁鎖，則積分變量可選y，同時(shí)要更換積分上、下限跟蹤訓(xùn)練2求由曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解畫(huà)出圖形，如圖所示解方程組及得交點(diǎn)分別為(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以s(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2xx)dx(x2)|(2xx2x2)|(2xx2)|692.探究點(diǎn)三定積分的綜合應(yīng)用例3在曲線yx2(x0)上某一點(diǎn)a處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，試求：切點(diǎn)a的坐標(biāo)以及在切點(diǎn)a處的切線方程解如圖，設(shè)切點(diǎn)a(x0，y0)，其中x00，由y2x，過(guò)點(diǎn)a的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0xx，令y0，得x，即c(，0)，設(shè)由曲線和過(guò)點(diǎn)a的切線與x軸圍成圖形的面積為s，則ss曲邊aobsabc，s曲邊aobsabc|bc|ab|(x0)xx.sxxx.x01，從而切點(diǎn)為a(1,1)，切線方程為2xy10.反思與感悟本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的意義以及定積分等知識(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法，先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，建立了切線方程，然后利用定積分以及平面幾何的性質(zhì)求出所圍成的平面圖形的面積，根據(jù)條件建立方程求解，從而使問(wèn)題得以解決跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，直線ykx分拋物線yxx2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值解拋物線yxx2與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x10，x21，所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積s(xx2)dx|.又由此可得，拋物線yxx2與ykx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x30，x41k，所以，(xx2kx)dx|(1k)3.又知s，所以(1k)3，于是k1 1.1在下面所給圖形的面積s及相應(yīng)表達(dá)式中，正確的有()sf(x)g(x)dxs(22x8)dxsf(x)dxf(x)dx a bc d答案d解析應(yīng)是sf(x)g(x)dx，應(yīng)是s2dx(2x8)dx，和正確，故選d.2曲線ycos x(0x)與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積是()a2 b3c. d4答案b解析sin sin 0sin sin 10113.3由曲線yx2與直線y2x所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)答案解析解方程組得曲線yx2與直線y2x交點(diǎn)為(2,4)，(0,0)s(2xx2)dx(x2x3)|(4)0.4由曲線yx24與直線y5x，x0，x4所圍成平面圖形的面積是_答案解析由圖形可得s(x245x)dx(5xx24)dx(x34xx2)|(x2x34x)|44243444.呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律對(duì)于簡(jiǎn)單圖形的面積求解，我們可直接運(yùn)用定積分的幾何意義，此時(shí)(1)確定積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫