圓錐曲線第一天弦的垂直平分線問題.doc

弦的垂直平分線問題(3道題全做，水磨的功夫，仔細體會垂直平分的應用，不要急于求成，不然不如不做)例題1、已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（）求過點O、F，并且與相切的圓的方程；（）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍。分析：第一問求圓的方程，運用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點的距離；第二問，過定點的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設出弦AB所在的直線的方程，運用韋達定理求出弦中點的橫坐標，由弦AB的方程求出中點的總坐標，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點G的坐標。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2.圓過點O、F,圓心M在直線x=-設M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=由|OM|=r，得，解得t=，所求圓的方程為(x+)2+(y)2=.(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設直線AB的方程為y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直線AB過橢圓的左焦點F， 方程一定有兩個不等實根,設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點N(x0，y0)，則x1+x1=-AB垂直平分線NG的方程為令y=0，得點G橫坐標的取值范圍為（）。技巧提示：直線過定點設直線的斜率k，利用韋達定理，將弦的中點用k表示出來，韋達定理就是同類坐標變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個技巧。再利用垂直關系將弦AB的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的坐標（關于k的函數(shù)）。直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。練習1：已知橢圓過點，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關系式，再根據(jù)“過點”得到的第2個關系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設出交點坐標，聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達定理，得出弦MN的中點的橫坐標，利用弦的直線方程，得到中點的縱坐標，由中點坐標和定點，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設，弦MN的中點A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點，即（1）由韋達定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。老師支招：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點或沒給出直線的斜率，就直接設直線的方程為：，再和曲線聯(lián)立，轉化成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運用了兩大解題技巧：與韋達定理有關的同類坐標變換技巧，與點的縱、橫坐標有關的同點縱橫坐標變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關鍵就是充分、靈活的運用這兩大解題技巧。練習2、設、分別是橢圓的左右焦點是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由分析：由得，點C、D關于過的直線對稱，由直線l過的定點A(5,0)不在的內部，可以設直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范圍，由韋達定理得弦CD的中點M的坐標，由點M和點F1的坐標，得斜率為，解出k值，看是否在判別式的取值范圍內。解：假設存在直線滿足題意，由題意知，過A的直線的斜率存在，且不等于。設直線l的方程為：，C、D，CD的中點M。由得：，又直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，則，即。由韋達定理得：，則，M(，)。又點，則直線的斜率為，根據(jù)得：，即，此方程無解，即k不存在，也就是不存在滿足條件的直線。老師提醒：通過以上2個例題和2個練習，我們可以看出，解決垂直平分線的問題，即對稱問題分兩步：第一步，有弦所在的直線和曲線聯(lián)立，轉化為一元二次方程（或類一元二次方程），通過判別式得不等式，由韋達定