課程設(shè)計報告-四階Runge-Kutta方法.doc

計算機數(shù)值方法課程設(shè)計報告題目四階Runge-Kutta方法學(xué)生姓名班級計科12學(xué)號 成績指導(dǎo)教師延安大學(xué)計算機學(xué)院2014年9月1日目 錄一、 摘要5二、 問題重述5三、 方法原理及實現(xiàn)5四、 計算公式或算法5五、 Matlab程序6六、 測試數(shù)據(jù)及結(jié)果6七、 結(jié)果分析10八、方法改進10九、心得體會10十、參考文獻101、 摘要本課程設(shè)計主要內(nèi)容是用四階Runge-Kutta方法解決常微分方程組初值問題的數(shù)值解法，首先分析題目內(nèi)容和要求，然后使用Matlab編寫程序計算結(jié)果并繪圖，最后對計算結(jié)果進行分析并得出結(jié)論。2、 問題描述 在計算機上實現(xiàn)用四階Runge-Kutta求一階常微分方程初值問題 的數(shù)值解，并利用最后繪制的圖形直觀分析近似解與準確解之間的比較。三、方法原理及實現(xiàn)龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法是一種在工程上應(yīng)用廣泛的高精度單步算法。由于此算法精度高，采取措施對誤差進行抑制，所以其實現(xiàn)原理也較復(fù)雜。該算法是構(gòu)建在數(shù)學(xué)支持的基礎(chǔ)之上的。龍格庫塔方法的理論基礎(chǔ)來源于泰勒公式和使用斜率近似表達微分，它在積分區(qū)間多預(yù)計算出幾個點的斜率，然后進行加權(quán)平均，用做下一點的依據(jù)，從而構(gòu)造出了精度更高的數(shù)值積分計算方法。如果預(yù)先求兩個點的斜率就是二階龍格庫塔法，如果預(yù)先取四個點就是四階龍格庫塔法。經(jīng)典的方法是一個四階的方法，它的計算公式是：四、計算公式或算法1 輸入（編寫或調(diào)用計算的函數(shù)文件），2 3For End 4輸出五、Matlab 程序x=a:h:b;y(1)=y1;n=(b-a)/h+1;for i=2:n fk1=f(x(i-1),y(i-1); fk2=f(x(i-1)+h/2,y(i-1)+fk1*h/2); fk3=f(x(i-1)+h/2,y(i-1)+fk2*h/2); fk4=f(x(i-1)+h,y(i-1)+fk3*h); y(i)=y(i-1)+h*(fk1+2*fk2+2*fk3+fk4)/6;endy六、測試數(shù)據(jù)及結(jié)果用調(diào)試好的程序解決如下問題：應(yīng)用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法解初值問題 ?。?） 步驟一：編寫函數(shù)具體程序.1.求解解析解程序：dsolve(Dy=(y2+y)/t,y(1)=-2,t)結(jié)果：2.綜合編寫程序如下：a=1;b=3;h=0.5;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; % 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s（2）步驟二：執(zhí)行上述Runge-Kutta算法，計算結(jié)果為1.00001.50002.00002.50003.0000-2.0000-1.4954-1.3306-1.2480-1.1985-2.0000-1.5000-1.3333-1.2500-1.200000.00460.00280.00200.0015（3）使用Matlab繪圖函數(shù)“plot(x,y)”繪制問題數(shù)值解和解析解的圖形。數(shù)值解的圖形：plot(x,y)解析解的圖形plot(x,yy)（4）使用Matlab中的ode45求解，并繪圖。編寫函數(shù)如下：%ode.mfunction dy=ode(x,y)dy=(y2+y)/x; T,Y=ode45(ode,1 3,-2);plot(T,Y)運行結(jié)果如下：7、 結(jié)果分析由圖可知此方法與精確解的契合度非常好，基本上與精度解保持一致，由此可見四階Runge-Kutta方法是一種高精度的單步方法。8、 方法改進同時，由于誤差的存在，我們總想盡可能的是誤差趨近于零，常用的就是傳統(tǒng)的增加取值的個數(shù)。最后，我們通過改變步長來進行改進。具體實現(xiàn)：（1）h=0.1a=1;b=3;h=0.1;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s結(jié)果：（2） h=0.2a=1;b=3;h=0.2;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s結(jié)果： （3） h=0.4a=1;b=3;h=0.4;y(1)=-2;x(1)=a;n=(b-a)/h+1;yy(1)=-2;for i=2:n k1=(y(i-1)2+y(i-1)/x(i-1); k2=(y(i-1)+h*k1/2)2+(y(i-1)+h*k1/2)/(x(i-1)+h/2); k3=(y(i-1)+h*k2/2)2+(y(i-1)+h*k2/2)/(x(i-1)+h/2); k4=(y(i-1)+h*k3)2+(y(i-1)+h*k3)/(x(i-1)+h); y(i)=y(i-1)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;% 四階Runge-Kutta公式解 x(i)=x(i-1)+h; %有解區(qū)間的值 yy(i)=-x(i)/(x(i)-1/2); %解析解 s(i)=abs(y(i)-yy(i); %誤差項endx y yy s結(jié)果：通過上述的一些結(jié)果得出，四階的Runge-Kutta方法的誤差取決于步長的選取，因此，在實驗的時候我們需要慎重的選取。一方面：我們要減少誤差，另一方面：我們也需要盡可能的減少計算次數(shù)。9、 心得體會 通過這次課程設(shè)計我們不僅鞏固了以前所學(xué)過的知識，而且學(xué)到很多在書本上沒有學(xué)到的知識，使我們充分認識到理論與實際相結(jié)合的重要性，只有把所學(xué)