2014年高考立體幾何(解析版).doc

.2014年高考真題立體幾何匯編解析版16（2014江蘇）(本小題滿分14 分)如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)已知（1）求證：直線PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC【答案】本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.（1）為中點(diǎn) DEPA平面DEF，DE平面DEF PA平面DEF（2）為中點(diǎn) 為中點(diǎn) ，DEEF， DE平面ABCDE平面BDE， 平面BDE平面ABC17.（2014山東）（本小題滿分12分） 如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是線段的中點(diǎn). （I）求證：； （II）若垂直于平面且，求 平面和平面所成的角（銳角）的余弦值.解：（）連接為四棱柱， 又為的中點(diǎn)，,為平行四邊形又 （）方法一： 作,連接則即為所求二面角在中， 在中，, 方法二：作于點(diǎn)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為 顯然平面的法向量為顯然二面角為銳角，所以平面和平面所成角的余弦值為18三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示。設(shè)，分別為線段，的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且。（1）證明：為線段的中點(diǎn)；（2）求二面角的余弦值。解：（1）由三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖可知，在三棱錐中：平面平面，設(shè)為的中點(diǎn)，連接， 于是， 所以平面因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，又，故假設(shè)不是線段的中點(diǎn)，則直線與直線是平面內(nèi)相交直線從而平面，這與矛盾所以為線段的中點(diǎn)（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，于是，設(shè)平面和平面的法向量分別為和由，設(shè)，則由，設(shè)，則所以二面角的余弦值17.（本小題滿分12分）在平行四邊形中，.將沿折起，使得平面平面，如圖.（1） 求證：；（2） 若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.（17）（2014天津）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).（）證明 ；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.（17）本小題主要考查空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角、直線與平面所成的角，直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí). 考查用空間向量解決立體幾何問題的方法. 考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力. 滿分13分.依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，.由為棱的中點(diǎn)，得.（）證明：向量，故. 所以，.（）解：向量，.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.于是有. 所以，直線與平面所成角的正弦值為.（）解：向量，.由點(diǎn)在棱上，設(shè)，.故.由，得，因此，解得.即.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.取平面的法向量，則.易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.19 （2014湖南）（本小題滿分12分）如圖6，四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，四邊形均為矩形（I） 證明：（II） 若的余弦值19、（本小題滿分12份）解：（I）如圖（a），因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?同理。因?yàn)?，所以。而，因此底面ABCD。由題設(shè)知，。故底面ABCD。（）解法I如圖（a），過作于H，連接.由（I）知，底面ABCD，所以底面，于是.又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形是菱形，因此，從而，所以，于是，進(jìn)而。故是二面角的平面角。不妨設(shè)AB=2。因?yàn)?，所以，。在中，易知。而，于是。故。即二面角的余弦值為。解? 因?yàn)樗睦庵鵄BCD-的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，從而OB，OC, 兩兩垂直。如圖（b），以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC, 所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系。不妨設(shè)AB=2.因?yàn)?，所以，于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：O(0，0，0)，.易知，是平面的一個(gè)法向量。設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即取，則，所以。設(shè)二面角的大小為，易知是銳角，于是。故二面角的余弦值為18（2014廣東）（本小題滿分13分）如圖4，四邊形為正方形，平面，于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）證明：ABCDEFP（2）求二面角的余弦值。18.（）平面，又，平面，又，平面，即；（）設(shè)，則中，又，ABCDEFPxyz，由（）知，又，同理，如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的法向量，則，又，所以，令，得，由（）知平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，即所求20（2014安徽）(本題滿分13分)如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為。（）證明：為的中點(diǎn)；（）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；（）若，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小。20（本小題滿分13分） （）證：從而平面與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是，即為的中點(diǎn)。（）解：如圖，連接QA，QD。設(shè)，梯形ABCD的高為， 四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和， ，則。 ，圖1 又， 故（）解法1：如圖1，在中，作，垂足為E，連接 又，且 ，為平面和平面ABCD所成二面角的平面角。， 又梯形ABCD的面積為6，DC=2，于是，,故平面和底面ABCD所成二面角的大小為。解法2：如圖2，以D為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)因?yàn)?，所以，從而，設(shè)平面的法向量為由得所以又平面ABCD的法向量所以故平面和底面ABCD所成二面角的大小為。17.（2014北京）（本小題14分） 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，在五棱錐 中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn). （1）求證：； （2）若底面，且，求直線與平面所成角的大小，并 求線段的長(zhǎng).（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以。又因?yàn)槠矫鍼DE，所以平面PDE，因?yàn)槠矫鍭BF，且平面平面，所以。（）因?yàn)榈酌鍭BCDE,所以，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，, .設(shè)平面ABF的法向量為，則即令，則。所以，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,則。設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為。因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)，即。所以。因?yàn)槭瞧矫鍭BF的法向量，所以，即。解得，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為。所以19、（2014上海）（本題滿分12分）底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐,其表面展開圖是三角形，如圖，求的各邊長(zhǎng)及此三棱錐的體積.19.解：由題得，三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底邊所成角相同且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形由題得，又三點(diǎn)恰好在構(gòu)成的的三條邊上，三棱錐是邊長(zhǎng)為2的正四面體如右圖所示作圖，設(shè)頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為，連接，并延長(zhǎng)交于為中點(diǎn)，為的重心，底面，19（2014湖北）(本小題滿分12分)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.（1） 當(dāng)時(shí)，證明：直線平面;（2） 是否存在，使平面與面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19（2014江西）(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.（1） 求證：（2） 若問為何值時(shí)，四棱錐的體積最大？并求此時(shí)平面與平面夾角的余弦值.19. （2014遼寧）（本小題滿分12分）如圖，和所在平面互相垂直，且，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.17. （2014陜西）（本小題滿分12分）四面體及其三視圖如圖所示，過被的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四面體的棱于點(diǎn).（I）證明：四邊形