雙曲線 題型歸納 含答案..doc

三、典型例題選講（一）考查雙曲線的概念例1 設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若，則（ ）A或 B6 C7 D9分析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，兩個方程對比求出的值，利用雙曲線的定義求出的值解：雙曲線漸近線方程為y=，由已知漸近線為，.，.故選C歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸近線方程的表示法（二）基本量求解例2(2009山東理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）A B5 C D解析：雙曲線的一條漸近線為，由方程組，消去y，得有唯一解，所以=，所以，故選D歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，只有一個公共點(diǎn)，則解方程組有唯一解本題較好地考查了基本概念、基本方法和基本技能例3（2009全國理）設(shè)雙曲線（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2 +1相切，則該雙曲線的離心率等于( )A. B.2 C. D.解析：設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為由題意有又有，聯(lián)立兩式解得:因此選C例4（2009江西）設(shè)和為雙曲線()的兩個焦點(diǎn)，若，是正三角形的三個頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D3解析：由有，則，故選B歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而得出，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（三）求曲線的方程例5（2009，北京）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值分析：（1）由已知條件列出的關(guān)系，求出雙曲線C的方程；（2）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在圓上求出m的值解：（1）由題意，得，解得.，所求雙曲線的方程為（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為，由得（判別式），點(diǎn)在圓上，另解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為，由，兩式相減得.由直線的斜率為1，代入上式，得.又在圓上，得，又在直線上，可求得m的值.歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力例6 過的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若為弦的中點(diǎn)，求直線的方程分析：求過定點(diǎn)的直線方程，只需要求出它的斜率為此可設(shè)其斜率是，利用M為弦的中點(diǎn)，即可求得的值，由此寫出直線的方程也可設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)用“點(diǎn)差法”求解解法一：顯然直線不垂直于軸，設(shè)其斜率是，則方程為由消去得 設(shè)，由于M為弦的中點(diǎn)，所以，所以顯然，當(dāng)時方程的判別式大于零.所以直線的方程為，即解法二：設(shè)，則得.又因?yàn)?，所以若則，由得，則點(diǎn)都不在雙曲線上，與題設(shè)矛盾，所以所以所以直線的方程為，即經(jīng)檢驗(yàn)直線符合題意，故所求直線為解法三：設(shè)（），由于關(guān)于點(diǎn)M（1，1）對稱，所以的坐標(biāo)為（），則消去平方項(xiàng)，得 即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，同理點(diǎn)的坐標(biāo)也滿足方程故直線的方程為歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦不一定存在，所以在求雙曲線（拋物線）中點(diǎn)弦方程時，必須判斷滿足條件的直線是否存在（四）軌跡問題例7 已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，過作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為，連接并延長交軸于求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程分析：求軌跡問題有多種方法，如相關(guān)點(diǎn)法等，本題注意到點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，可利用相關(guān)點(diǎn)法解：由已知得，則直線的方程為：令得，即設(shè)，則，即代入得：，即的軌跡的方程為歸納小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是解析幾何常用方法（五）突出幾何性質(zhì)的考查例8（2006江西）是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9解析：雙曲線的兩個焦點(diǎn)與恰好是兩圓的圓心，欲使的值最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大且最小，由平面幾何性質(zhì)知，點(diǎn)在線段的延長線上，點(diǎn)是線段與圓的交點(diǎn)時所求的值最大.此時因此選D例9（2009重慶）已知以原點(diǎn)為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，離心率（1）求該雙曲線的方程；（2）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點(diǎn)的坐標(biāo).分析：（1）比較基礎(chǔ)，利用所給條件可求得雙曲線的方程；（2）利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解解：（1）由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，由準(zhǔn)線方程為得，由得解得.從而，該雙曲線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn)，則.所以因?yàn)槭菆A上的點(diǎn)，其圓心為，半徑為