24.4相似三角形的判定.docx

搭模型之框架，尋解題之靈感-“一線三等角”教學(xué)后的感悟與反思一、緣起何處相似形的知識(shí)有很重要的實(shí)用價(jià)值，它與人類的生產(chǎn)和生活有著廣泛的聯(lián)系，在物理學(xué)、工程設(shè)計(jì)、測(cè)量、繪圖等許多方面都涉及到相似形的知識(shí)。從研究圖形的全等到進(jìn)一步研究圖形的相似，用幾何變換的觀點(diǎn)來(lái)看，就是從研究圖形的保距變換進(jìn)一步到研究圖形的保角變換，從研究線段的相等進(jìn)一步到研究線段的比，這是認(rèn)識(shí)上的一次深化。學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形和四邊形之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)相似形的知識(shí)，是對(duì)于直線形圖形研究的繼續(xù)。相似形與前面學(xué)習(xí)的全等形之間既有密切的聯(lián)系，又有明顯的區(qū)別。全等形是相似形的特殊情況，相似形比全等形更具有一般性。所以，這一章所研究的知識(shí)實(shí)際上是前面學(xué)習(xí)的全等形問題的發(fā)展和拓廣。相似形與后面的“解直角三角形”和“圓”的內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，在研究三角比的定義、與圓有關(guān)的比例線段時(shí)都要依賴相似形的知識(shí)。同時(shí)，有了全等形和相似形的知識(shí)，又可大大充實(shí)和豐富圓的研究?jī)?nèi)容。所以，相似形在學(xué)習(xí)平面幾何中起著承上啟下的作用?；緢D形在幾何學(xué)中扮演著很重要的角色。所謂基本圖形就是組成一個(gè)幾何問題圖形的最簡(jiǎn)單，最基本，但又具有特定的性質(zhì)，能闡明應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的圖形。基本圖形分析法，就是建立在對(duì)圖形和圖形的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)、分析、應(yīng)用基礎(chǔ)上的思考和分析方法。很多幾何問題的分析和思考過(guò)程實(shí)質(zhì)上就是剖析并找到基本圖形，應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)規(guī)律解決問題的過(guò)程。因此，模型教學(xué)越來(lái)越受到關(guān)注，相似形因其種類多，圖形美，內(nèi)涵豐富，更是受到老師學(xué)生的青睞，而一線三等角型作為其中的重中之重，以其為基本框架而精心設(shè)計(jì)的試題，更是不見少數(shù)。因此本節(jié)課我就以相似三角形中的“一線三等角型這一基本圖為例，就一線三等角型基本圖形的應(yīng)用和意義進(jìn)行探究。二、模型引出例題1:如圖，等腰ABC中，AB=AC,在線段AB,AC上分別取點(diǎn)E,F,在BC上取一點(diǎn)D（1）作EDF=B（2） 求證：BDECFD.下圖，1=2=3,找出圖中的相似三角形,【點(diǎn)評(píng)】：1、對(duì)于九年級(jí)的學(xué)生，根據(jù)已知條件標(biāo)出聯(lián)想出來(lái)的結(jié)論，相對(duì)來(lái)說(shuō)比較容易，但作圖方面的能力還是比較欠缺的。因此，相對(duì)于大部分題目直接給出圖形,這里讓學(xué)生根據(jù)已知條件作圖,可以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。對(duì)于滿足已知條件的角的位置有無(wú)數(shù)個(gè)，實(shí)質(zhì)是把點(diǎn)D 看作是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 可以歸類于我們常說(shuō)的動(dòng)點(diǎn)問題。這樣在分析過(guò)程中可以讓學(xué)生體會(huì)動(dòng)中有靜，抓住圖形本質(zhì)特征的思考方法，又結(jié)合他們不擅長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)問題，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系。隨后把三角相等放在不同背景中，讓學(xué)生尋找相似三角形，歸納以上圖形的共性，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從“特殊”上升到“一般”，直觀經(jīng)驗(yàn)由量變引起質(zhì)變，從而引出本課主題一線三等角。整體來(lái)說(shuō)比較自然。符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和概念形成規(guī)律。2、本節(jié)課之前的期中考試中一線三角模型出現(xiàn)的比較多，學(xué)生理解利用這一模型可以方便解題，因此明白其學(xué)習(xí)的必要性。但是對(duì)于新接觸一線三等角模型的學(xué)生，這樣的引入會(huì)顯得比較突兀，不知道學(xué)習(xí)它的意義，學(xué)習(xí)的效率將會(huì)降低。這是在教學(xué)中需要關(guān)注的問題。如果作為新模型出現(xiàn)，可以通過(guò)課本例題P38頁(yè)例題6作為引入（見下）。讓學(xué)生明白一線三角存在相似，可以方便求線段長(zhǎng)度。同時(shí)以教材中某道題目作為基礎(chǔ)模型，通過(guò)挖掘背景實(shí)現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值，在完成數(shù)學(xué)習(xí)題的過(guò)程也可以有效鍛煉學(xué)生思維，為提升核心素養(yǎng)打好基礎(chǔ)。3、一線三等角導(dǎo)出相似后，讓學(xué)生把能夠聯(lián)想到的結(jié)論寫出，力求幫助學(xué)生全面認(rèn)識(shí)圖形及鞏固對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，為之后復(fù)雜圖形中提煉出抽象模型做鋪墊。學(xué)生很多時(shí)候?qū)︻}目束手無(wú)策，對(duì)聯(lián)想出來(lái)的條件無(wú)法合理利用，但是學(xué)生靜下心來(lái)，把已知和聯(lián)想的條件梳理后書寫，經(jīng)過(guò)觀察往往會(huì)找到問題突破口。上課時(shí)卻往往因?yàn)樯倭艘粋€(gè)這樣的過(guò)程，學(xué)生缺乏自主深入思考的時(shí)間，以后教學(xué)過(guò)程中注意少慢精深。三 模型強(qiáng)化在例題1的條件下，強(qiáng)化條件：增加條件：若D為BC中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，找出此時(shí)圖中的相似三角形，并證明。師問 D為BC中點(diǎn)，相當(dāng)于增加了什么條件？生答 BD=DC，其實(shí)給了一組線段相等師問 聯(lián)結(jié)EF, 又多了哪些三角形?生答 AEF,DEF。師問 很顯然哪一組三角形相似。生答 BED , CDF。師問 猜測(cè)下會(huì)增加了其他相似三角形嗎？如何證明。接下來(lái)給生時(shí)間思考，生講方法及如何想到的。思考：若上述結(jié)論中BED,FCD，EFD兩兩相似還可以添加什么條件？（有關(guān)角的）【點(diǎn)評(píng)】1、在原有題目基礎(chǔ)上增加條件，或者對(duì)條件稍加改變，將一個(gè)問題從多個(gè)角度或者反向來(lái)研究，使得“問題探究+變式”這條主線串起來(lái)，使得外延更清楚，同時(shí)也可以豐富一線三等角模型的內(nèi)涵。這種系列試題的研究不僅可以考查學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解程度，也能夠有效的考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)于幾何圖形的把握。2、通過(guò)變式題目講解把規(guī)律性的問題總結(jié)在一起，對(duì)題型進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)解題方法進(jìn)行梳理，幫助學(xué)生把陳述性知識(shí)變成程序性知識(shí)，即讓學(xué)生掌握分析問題、解決問題的方法，可以培養(yǎng)學(xué)生遷移知識(shí)的自主學(xué)習(xí)能力。同時(shí)，這樣做還可以避免“題?！睉?zhàn)術(shù)，在減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的同時(shí)提高課堂教學(xué)的質(zhì)量和效率，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而使學(xué)生勤學(xué)，樂學(xué)。并且在師生共同的活動(dòng)過(guò)程中，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂，有效地鍛煉了學(xué)生的開拓進(jìn)取、知難而進(jìn)的意志品質(zhì)。3、變式的研究方向之一是點(diǎn)的特殊化，通過(guò)D是中點(diǎn)，得到三相似和兩條角平分線，二是分類討論涉及到點(diǎn)和線的特殊化。整個(gè)課堂從特殊到一般，再由一般到特殊。但是反向思考時(shí)只是簡(jiǎn)單說(shuō)了思路，并沒有讓學(xué)生筆頭落實(shí)，導(dǎo)致學(xué)生似懂非懂，導(dǎo)致后面的跟進(jìn)題做不出來(lái)。與第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)需要注意問題相同。四:知識(shí)應(yīng)用例題2: 如圖，在梯形ABCD中，ABCD，A=90，AB=3，CD=6，BEBC交直線AD于點(diǎn)E.問： 當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)(E不與A、D重合)，設(shè)AD=x，ED=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域【師述】 請(qǐng)大家一邊讀題，一邊標(biāo)已知條件，標(biāo)圈畫關(guān)鍵字，學(xué)生思考，說(shuō)解題思路。接下來(lái)是題后的幾點(diǎn)反思。1與前面題目的聯(lián)系，異同點(diǎn) 。2關(guān)注射線直線等關(guān)鍵字，如果點(diǎn)E在AD延長(zhǎng)線呢？回歸例題1若點(diǎn)在射線BC上運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)在直線AC上，原兩個(gè)相似的三角形是否還相似，此時(shí)圖中還有沒有相似三角形。3 若題目中給了兩個(gè)角相等，可以怎么考慮解題。4相似和三角比的結(jié)合，包含直角時(shí)能夠用相似解題也可以用三角比知識(shí)解題。布置作業(yè)：學(xué)生根據(jù)例題2和以往經(jīng)驗(yàn)，自己編制題目。【點(diǎn)評(píng)】：1、改變圖形給學(xué)生不同的幾何形象,可以通過(guò)標(biāo)注條件,找角、定線, 搭設(shè)框架,在原圖基礎(chǔ)上構(gòu)造出基本圖形, 培養(yǎng)學(xué)生補(bǔ)全為基本圖形的空間想象能力，但是解題方法不唯一，可以培養(yǎng)學(xué)生一題多解能力，讓學(xué)生心中有模型又不拘泥于模型。2、題目的反思小結(jié)可以引發(fā)學(xué)生對(duì)探求知識(shí)的好奇心，引發(fā)對(duì)課堂認(rèn)知及自我知識(shí)結(jié)構(gòu)的再認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生概括，總結(jié)，檢驗(yàn)，提煉，反思的能力，養(yǎng)成反思的習(xí)慣，提