高中數(shù)學第三章推理與證明3.2數(shù)學證明學案北師大版選修1_2.doc

2數(shù)學證明1理解演繹推理的概念(重點)2掌握演繹推理的基本模式，并能用它們進行一些簡單的推理(重點)3能用“三段論”證明簡單的數(shù)學問題(難點)基礎初探教材整理數(shù)學證明閱讀教材P58P59“例2”以上部分，完成下列問題1證明(1)證明命題的依據(jù)：命題的條件和已知的定義、公理、定理(2)證明的方法：演繹推理2演繹推理的主要形式演繹推理的一種形式：三段論，其推理形式如下：(1)大前提：提供了一個一般性道理(2)小前提：研究對象的特殊情況(3)結論：根據(jù)大前提和小前提作出的判斷判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)“三段論”就是演繹推理()(2)演繹推理的結論是一定正確的()(3)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理()【答案】(1)(2)(3)質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型把演繹推理寫成三段論的形式將下列演繹推理寫成三段論的形式(1)一切奇數(shù)都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇數(shù)；(2)三角形的內(nèi)角和為180，RtABC的內(nèi)角和為180；(3)通項公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列【精彩點撥】三段論推理是演繹推理的主要模式，推理形式為“如果bc，ab，則ac.”其中，bc為大前提，提供了已知的一般性原理；ab為小前提，提供了一個特殊情況；ac為大前提和小前提聯(lián)合產(chǎn)生的邏輯結果【自主解答】(1)一切奇數(shù)都不能被2整除(大前提)75不能被2整除(小前提)75是奇數(shù)(結論)(2)三角形的內(nèi)角和為180.(大前提)RtABC是三角形(小前提)RtABC的內(nèi)角和為180.(結論)(3)數(shù)列an中，如果當n2時，anan1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列(大前提)通項公式an3n2，n2時，anan13n23(n1)23(常數(shù))(小前提)通項公式為an3n2(n2)的數(shù)列an為等差數(shù)列(結論)把演繹推理寫成“三段論”的一般方法：(1)用“三段論”寫推理過程時，關鍵是明確大、小前提，三段論中大前提提供了一個一般性原理，小前提提供了一種特殊情況，兩個命題結合起來，揭示一般性原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系(2)在尋找大前提時，要保證推理的正確性，可以尋找一個使結論成立的充分條件作為大前提再練一題1將下列演繹推理寫成三段論的形式(1)平行四邊形的對角線互相平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線互相平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，A，B是等腰三角形的兩底角，則AB.【解析】(1)平行四邊形的對角線互相平分，(大前提)菱形是平行四邊形，(小前提)菱形的對角線互相平分(結論)(2)等腰三角形的兩底角相等，(大前提)A，B是等腰三角形的兩底角，(小前提)AB.(結論)演繹推理在幾何中的應用如圖321所示，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB邊上的點，BFDA，DEBA，求證：DEAF.寫出“三段論”形式的演繹推理. 【導學號：67720015】圖321【精彩點撥】用三段論的模式依次證明：(1)DFAE，(2)四邊形AEDF為平行四邊形，(3)DEAF.【自主解答】(1)同位角相等，兩直線平行，(大前提)BFD和A是同位角，且BFDA，(小前提)所以DFAE.(結論)(2)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DEBA且DFEA，(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形(結論)(3)平行四邊形的對邊相等，(大前提)DE和AF為平行四邊形的對邊，(小前提)所以DEAF.(結論)1用“三段論”證明命題的步驟(1)理清楚證明命題的一般思路；(2)找出每一個結論得出的原因；(3)把每個結論的推出過程用“三段論”表示出來2幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用于特殊情況，就能得出相應結論再練一題2證明：如果梯形的兩腰和一底相等，那么它的對角線必平分另一底上的兩個角【解】已知在梯形ABCD中(如圖所示)，ABDCAD，AC和BD是它的對角線，求證：CA平分BCD，BD平分CBA.證明：等腰三角形的兩底角相等，(大前提)DAC是等腰三角形，DCDA，(小前提)12.(結論)兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，(大前提)1和3是平行線AD，BC被AC 所截的內(nèi)錯角，(小前提)13.(結論)等于同一個量的兩個量相等，(大前提)2，3都等于1，(小前提)2和3相等(結論)即CA平分BCD.同理BD平分CBA.探究共研型演繹推理在代數(shù)中的應用探究1演繹推理的結論一定正確嗎？【提示】演繹推理的結論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結論一定正確探究2因為對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，a1)是增函數(shù)，而yx是對數(shù)函數(shù)，所以yx是增函數(shù)上面的推理形式和結論正確嗎？【提示】推理形式正確，結論不正確因為大前提是錯誤的已知a，b，m均為正實數(shù)，ba，用三段論形式證明：.【精彩點撥】利用不等式的性質(zhì)證明【自主解答】因為不等式(兩邊)同乘以一個正數(shù)，不等號不改變方向，(大前提)b0，(小前提)所以mbma.(結論)因為不等式兩邊同加上一個數(shù)，不等號方向不變，(大前提)mbma，(小前提)所以mbabmaab，即b(am)a(bm)(結論)因為不等式兩邊同除以一個正數(shù)，不等號方向不變，(大前提)b(am)0，(小前提)所以，即0”，你認為這個推理()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D是正確的【解析】這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結論是“a20”顯然結論錯誤，原因是大前提錯誤【答案】A3函數(shù)y2x5的圖像是一條直線，用三段論表示為：大前提：_；小前提：_；結論：_.【答案】一次函數(shù)的圖像是一條直線函數(shù)y2x5是一次函數(shù)函數(shù)y2x5的圖像是一條直線4如圖322所示，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD，BCAD.圖322又因為ABC和CDA的三邊對應相等，所以ABCCDA.上述推理的兩個步驟中分別省略了 _、_.【答案】大前提大前提5用三段論的形式寫出下列演繹推理(1)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(2)0.是有理數(shù)【解】(1)因為矩形的對角線相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的對角線相等(結論)(3)所有的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)，(大前提)0.是循環(huán)小數(shù)，(小前提)所以，0.是有理數(shù)(結論)我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學業(yè)分層測評(八)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1給出下面一段演繹推理：有理數(shù)是真分數(shù)，(大前提)整數(shù)是有理數(shù)，(小前提)整數(shù)是真分數(shù)(結論)結論顯然是錯誤的，是因為()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D非以上錯誤【解析】舉反例，如2是有理數(shù)，但不是真分數(shù)，故大前提錯誤【答案】A2已知在ABC中，A30，B60，求證：BCAC.方框部分的證明是演繹推理的()A大前提B小前提C結論D三段論【解析】因為本題的大前提是“在同一個三角形中，大角對大邊，小角對小邊”，證明過程省略了大前提，方框部分的證明是小前提，結論是“BCAC”故選B.【答案】B3在證明f(x)2x1為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：增函數(shù)的定義是大前提；增函數(shù)的定義是小前提；函數(shù)f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義是大前提；函數(shù)f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義是小前提其中正確的命題是()ABCD【解析】根據(jù)三段論特點，過程應為：大前提是增函數(shù)的定義；小前提是f(x)2x1滿足增函數(shù)的定義；結論是f(x)2x1為增函數(shù)，故正確【答案】A4(2016鄭州高二檢測)在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x都成立，則()A1a1B0a2CaDa【解析】xyx(1y)，(xa)(xa)(xa)(1xa)x2xa2a0，不等式(xa)(xa)1對任意實數(shù)x都成立，14(a2a1)0，解得a.故選C.【答案】C5“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，補充該推理的大前提是()A正方形的對角線相等B矩形的對角線相等C等腰梯形的對角線相等D矩形的對邊平行且相等【解析】得出“四邊形ABCD的對角線相等”的大前提是“矩形的對角線相等”【答案】B二、填空題6在三段論“因為a(1,0)，b(0，1)，所以ab(1,0)(0，1)100(1)0，所以ab”中，大前提：_，小前提：_，結論：_.【解析】本題省略了大前提，即“a，b均為非零向量，若ab0，則ab”【答案】若a，b均為非零向量，ab0，則aba(1,0)，b(0，1)，且ab(1,0)(0，1)100(1)0ab7(2016蘇州高二檢測)一切奇數(shù)都不能被2整除，21001是奇數(shù)，所以21001不能被2整除其演繹推理的“三段論”的形式為_.【答案】一切奇數(shù)都不能被2整除，(大前提)21001是奇數(shù)，(小前提)所以21001不能被2整除(結論)8若f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)，且f(1)2，則_.【解析】利用三段論f(ab)f(a)f(b)(a，bN*)(大前提)令b1，則f(1)2.(小前提)2，(結論)原式222 018.【答案】2 018三、解答題9用三段論的形式寫出下列演繹推理(1)自然數(shù)是整數(shù)，所以6是整數(shù)；(2)ycos x(xR)是周期函數(shù)【解】(1)自然數(shù)是整數(shù)，(大前提)6是自然數(shù)，(小前提)所以6是整數(shù)(結論)(2)三角函數(shù)是周期函數(shù)，(大前提)ycos x(xR)是三角函數(shù)，(小前提)所以ycos x(xR)是周期函數(shù)(結論)10已知yf(x)在(0，)上單調(diào)遞增且滿足f(2)1，f(xy)f(x)f(y). 【導學號：67720016】(1)求證：f(x2)2f(x)；(2)求f(1)的值；(3)若f(x)f(x3)2，求x的取值范圍【解】(1)f(xy)f(x)f(y)，(大前提)f(x2)f(xx)f(x)f(x)2f(x)(結論)(2)f(1)f(12)2f(1)，(小前提)f(1)0.(結論)(3)f(x)f(x3)f(x(x3)22f(2)f(4)，(小前提)且函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，(大前提)解得0x1.(結論)能力提升1有一段演繹推理是這樣的：直線平行于平面，則直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a.結論顯然是錯誤的，這是因為()A大前提錯誤B小前提錯誤C推理形式錯誤D非以上錯誤【解析】大前提是錯誤的，直線平行于平面，但不一定平行于平面內(nèi)所有直線，還有異面直線的情況【答案】A2“1a2”是“對任意的正數(shù)x，都有2x1”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解析】當“對任意的正數(shù)x，都有2x1”成立時，ax2x2對xR恒成立，而x2x222，a.(1,2)，“1a2”是“對任意的正數(shù)x，都有2x1”的充分不必要條件【答案】A3已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且對任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2，f(m1,1)2f(m,1)給出以下三個結論：(1)f(1,5)9，(2)f(5,1)16，(3)f(5,6)26.其中正確結論為_【解析】由題設條件可知：(1)f(1,5)f(1,4)2f(1,3)4f(1,2)6f(1,1)8189.(2)f(5,1)2f(4,1)4f(3,1)8f(2,1)16f(1,1)16.(3)f(5,6)f(5,5)2f(5,4)4f(5,1)102f(4,1)104f(3,1)1016f(1,1)10161026.【答案】(1)(2